1 ベクトル値の曲線積分 定義 1.1. E E E U ⊆ C U\subseteq\C U ⊆ C F : U → E F:U\to E F : U → E F F F ノルム正則 (norm holomorphic )
γ : [ a , b ] → C \gamma:[a,b]\to\C γ : [ a , b ] → C F : ∣ γ ∣ → E F:|\gamma|\to E F : ∣ γ ∣ → E F F F γ \gamma γ
∫ γ F ( z ) d z = ∫ a b F ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) d t \int_\gamma F(z)\,dz=\int_a^bF(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt ∫ γ F ( z ) d z = ∫ a b F ( γ ( t )) γ ′ ( t ) d t で定める。右辺は各連続微分可能な区間での Bochner 積分の和であり、分割点での被積分関数の値は任意に定める。サイクルΓ \Gamma Γ Γ = ∑ j = 1 m n j γ j \Gamma=\sum_{j=1}^m n_j\gamma_j Γ = ∑ j = 1 m n j γ j n j n_j n j γ j : [ a j , b j ] → C \gamma_j:[a_j,b_j]\to\C γ j : [ a j , b j ] → C Γ \Gamma Γ F : ∣ Γ ∣ → E F:|\Gamma|\to E F : ∣Γ∣ → E
∫ Γ F ( z ) d z = ∑ j = 1 m n j ∫ γ j F ( z ) d z , L ( Γ ) = ∑ j = 1 m ∣ n j ∣ ∫ a j b j ∣ γ j ′ ( t ) ∣ d t \int_\Gamma F(z)\,dz=\sum_{j=1}^m n_j\int_{\gamma_j}F(z)\,dz,
\qquad
L(\Gamma)=\sum_{j=1}^m|n_j|\int_{a_j}^{b_j}|\gamma_j'(t)|\,dt ∫ Γ F ( z ) d z = j = 1 ∑ m n j ∫ γ j F ( z ) d z , L ( Γ ) = j = 1 ∑ m ∣ n j ∣ ∫ a j b j ∣ γ j ′ ( t ) ∣ d t と定める。零サイクルの場合はm = 0 m=0 m = 0 0 0 0
補題 1.2. E E E Γ \Gamma Γ F : ∣ Γ ∣ → E F:|\Gamma|\to E F : ∣Γ∣ → E F F F Γ ≠ 0 \Gamma\ne0 Γ = 0
∥ ∫ Γ F ( z ) d z ∥ ≤ L ( Γ ) sup z ∈ ∣ Γ ∣ ∥ F ( z ) ∥ \left\|\int_\Gamma F(z)\,dz\right\|
\le L(\Gamma)\sup_{z\in|\Gamma|}\|F(z)\| ∫ Γ F ( z ) d z ≤ L ( Γ ) z ∈ ∣Γ∣ sup ∥ F ( z ) ∥ が成り立つ。零サイクルに沿う積分は0 0 0 E ′ E' E ′ S : E → E ′ S:E\to E' S : E → E ′
S ( ∫ Γ F ( z ) d z ) = ∫ Γ S F ( z ) d z S\left(\int_\Gamma F(z)\,dz\right)=\int_\Gamma SF(z)\,dz S ( ∫ Γ F ( z ) d z ) = ∫ Γ S F ( z ) d z が成り立つ。
証明. Γ = ∑ j = 1 m n j γ j \Gamma=\sum_{j=1}^m n_j\gamma_j Γ = ∑ j = 1 m n j γ j j j j t ↦ F ( γ j ( t ) ) γ j ′ ( t ) t\mapsto F(\gamma_j(t))\gamma_j'(t) t ↦ F ( γ j ( t )) γ j ′ ( t ) E E E §E10.18 補題 7.3 (1) により Bochner 可積分である。分割点の有限集合は Lebesgue 零集合であり、そこでの値は積分を変えない。線形性と評価は§E10.18 命題 4.3 と有限和の三角不等式から、有界線形写像との交換は§E10.18 命題 5.2 から従う。m = 0 m=0 m = 0 0 0 0 §E10.18 命題 4.4 により通常の曲線積分に一致する。▨
定理 1.3. E E E U ⊆ C U\subseteq\C U ⊆ C F : U → E F:U\to E F : U → E Γ \Gamma Γ U U U
∫ Γ F ( z ) d z = 0 \int_\Gamma F(z)\,dz=0 ∫ Γ F ( z ) d z = 0 であり、任意のw ∈ U ∖ ∣ Γ ∣ w\in U\setminus|\Gamma| w ∈ U ∖ ∣Γ∣
1 2 π i ∫ Γ F ( z ) z − w d z = n ( Γ , w ) F ( w ) \frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\frac{F(z)}{z-w}\,dz=n(\Gamma,w)F(w) 2 π i 1 ∫ Γ z − w F ( z ) d z = n ( Γ , w ) F ( w ) が成り立つ。
補題 1.4. K ⊆ C K\subseteq\C K ⊆ C U ⊆ C U\subseteq\C U ⊆ C K K K Γ \Gamma Γ
∣ Γ ∣ ⊆ U ∖ K , n ( Γ , z ) = 1 ( z ∈ K ) , n ( Γ , z ) = 0 ( z ∉ U ) |\Gamma|\subseteq U\setminus K,\qquad
n(\Gamma,z)=1\quad(z\in K),\qquad
n(\Gamma,z)=0\quad(z\notin U) ∣Γ∣ ⊆ U ∖ K , n ( Γ , z ) = 1 ( z ∈ K ) , n ( Γ , z ) = 0 ( z ∈ / U ) を満たすものが存在する。
証明. K = ∅ K=\varnothing K = ∅ K ≠ ∅ K\ne\varnothing K = ∅ K K K U U U { z : dist ( z , K ) ≤ δ } ⊆ U \{z:\operatorname{dist}(z,K)\le\delta\}\subseteq U { z : dist ( z , K ) ≤ δ } ⊆ U δ > 0 \delta>0 δ > 0 ( 1 + 2 ) h < δ (1+\sqrt2)h<\delta ( 1 + 2 ) h < δ h > 0 h>0 h > 0 h h h K K K h h h Q Q Q K K K 2 h \sqrt2h 2 h Q ⊆ U Q\subseteq U Q ⊆ U K K K h h h Q Q Q
選んだ正方形の境界に正の向きを与え、共有する辺を相殺する。残る有向辺はQ Q Q Γ \Gamma Γ ∣ Γ ∣ ⊆ ∂ Q ⊆ U ∖ K |\Gamma|\subseteq\partial Q\subseteq U\setminus K ∣Γ∣ ⊆ ∂ Q ⊆ U ∖ K
格子線上にない点z z z §E5.5 命題 5.6 (2) により、n ( Γ , z ) n(\Gamma,z) n ( Γ , z ) z ∈ Q z\in Q z ∈ Q 1 1 1 z ∉ Q z\notin Q z ∈ / Q 0 0 0 §E5.5 命題 5.4 により、n ( Γ , ⋅ ) n(\Gamma,\cdot) n ( Γ , ⋅ ) C ∖ ∣ Γ ∣ \C\setminus|\Gamma| C ∖ ∣Γ∣ K ⊆ int ( Q ) K\subseteq\tpint{Q} K ⊆ int ( Q ) Q ⊆ U Q\subseteq U Q ⊆ U K K K 1 1 1 U U U 0 0 0 ▨
2 Riesz–Dunford 積分 定義 2.1. A A A a ∈ A a\in A a ∈ A f f f σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) U U U ∣ Γ ∣ ⊆ U ∖ σ ( a ) |\Gamma|\subseteq U\setminus\sigma(a) ∣Γ∣ ⊆ U ∖ σ ( a ) σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) n ( Γ , ⋅ ) = 1 n(\Gamma,\cdot)=1 n ( Γ , ⋅ ) = 1 C ∖ U \C\setminus U C ∖ U n ( Γ , ⋅ ) = 0 n(\Gamma,\cdot)=0 n ( Γ , ⋅ ) = 0 Γ \Gamma Γ
f ( a ) = 1 2 π i ∫ Γ f ( z ) ( z 1 − a ) − 1 d z f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma f(z)(z1-a)^{-1}\,dz f ( a ) = 2 π i 1 ∫ Γ f ( z ) ( z 1 − a ) − 1 d z をf f f a a a 正則汎関数計算 (holomorphic functional calculus )Riesz–Dunford 積分 (Riesz–Dunford integral )
補題 2.2. A A A a ∈ A a\in A a ∈ A f f f σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) U U U f ( a ) f(a) f ( a ) g g g σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) f f f g g g σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) f ( a ) = g ( a ) f(a)=g(a) f ( a ) = g ( a )
証明. §E12.47 定理 2.5 によりσ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) 補題 1.4 によりサイクルが存在する。二つのサイクルΓ 1 , Γ 2 \Gamma_1,\Gamma_2 Γ 1 , Γ 2 Γ 1 − Γ 2 \Gamma_1-\Gamma_2 Γ 1 − Γ 2 U ∖ σ ( a ) U\setminus\sigma(a) U ∖ σ ( a ) σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) 1 1 1 U U U 0 0 0 §E12.47 命題 2.3 (2) によりz ↦ f ( z ) ( z 1 − a ) − 1 z\mapsto f(z)(z1-a)^{-1} z ↦ f ( z ) ( z 1 − a ) − 1 U ∖ σ ( a ) U\setminus\sigma(a) U ∖ σ ( a ) 定理 1.3 により二つの積分は等しい。
f = g f=g f = g σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) V V V V V V 補題 1.4 を適用する。そのサイクルはそれぞれの定義域についても積分を定める条件を満たし、被積分関数が一致するのでf ( a ) = g ( a ) f(a)=g(a) f ( a ) = g ( a ) ▨
定理 2.3. A A A a ∈ A a\in A a ∈ A U U U σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) O ( U ) \mathcal O(U) O ( U ) U U U
写像O ( U ) → A \mathcal O(U)\to A O ( U ) → A f ↦ f ( a ) f\mapsto f(a) f ↦ f ( a ) ι ( z ) = z \iota(z)=z ι ( z ) = z ι ( a ) = a \iota(a)=a ι ( a ) = a
多項式p , q p,q p , q q q q σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) q ( a ) q(a) q ( a ) ( p / q ) ( a ) = p ( a ) q ( a ) − 1 (p/q)(a)=p(a)q(a)^{-1} ( p / q ) ( a ) = p ( a ) q ( a ) − 1 a a a
f n , f ∈ O ( U ) f_n,f\in\mathcal O(U) f n , f ∈ O ( U ) U U U f n → f f_n\to f f n → f ∥ f n ( a ) − f ( a ) ∥ → 0 \|f_n(a)-f(a)\|\to0 ∥ f n ( a ) − f ( a ) ∥ → 0 b ∈ A b\in A b ∈ A a b = b a ab=ba ab = ba f ∈ O ( U ) f\in\mathcal O(U) f ∈ O ( U ) b f ( a ) = f ( a ) b bf(a)=f(a)b b f ( a ) = f ( a ) b 証明. 補題 1.4 によりσ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) Γ 2 \Gamma_2 Γ 2 U U U σ ( a ) ⊆ V ⊆ U ∖ ∣ Γ 2 ∣ \sigma(a)\subseteq V\subseteq U\setminus|\Gamma_2| σ ( a ) ⊆ V ⊆ U ∖ ∣ Γ 2 ∣ V V V n ( Γ 2 , ⋅ ) = 1 n(\Gamma_2,\cdot)=1 n ( Γ 2 , ⋅ ) = 1 V V V V V V σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) Γ 1 \Gamma_1 Γ 1 ∣ Γ 1 ∣ ∩ ∣ Γ 2 ∣ = ∅ |\Gamma_1|\cap|\Gamma_2|=\varnothing ∣ Γ 1 ∣ ∩ ∣ Γ 2 ∣ = ∅ ∣ Γ 2 ∣ |\Gamma_2| ∣ Γ 2 ∣ n ( Γ 1 , ⋅ ) = 0 n(\Gamma_1,\cdot)=0 n ( Γ 1 , ⋅ ) = 0
f , g ∈ O ( U ) f,g\in\mathcal O(U) f , g ∈ O ( U ) R ( z ) = ( z 1 − a ) − 1 R(z)=(z1-a)^{-1} R ( z ) = ( z 1 − a ) − 1 §E12.47 命題 2.3 (3) により
R ( z ) R ( w ) = R ( z ) − R ( w ) w − z ( z ∈ ∣ Γ 1 ∣ , w ∈ ∣ Γ 2 ∣ ) R(z)R(w)=\frac{R(z)-R(w)}{w-z}
\qquad(z\in|\Gamma_1|,\ w\in|\Gamma_2|) R ( z ) R ( w ) = w − z R ( z ) − R ( w ) ( z ∈ ∣ Γ 1 ∣ , w ∈ ∣ Γ 2 ∣ ) である。各折れ線の辺の媒介変数上で、この式にf ( z ) g ( w ) f(z)g(w) f ( z ) g ( w ) 補題 1.2 による積との交換と、スカラー値の Cauchy の積分公式を用いると
f ( a ) g ( a ) = 1 ( 2 π i ) 2 ∫ Γ 1 ∫ Γ 2 f ( z ) g ( w ) R ( z ) − R ( w ) w − z d w d z = 1 2 π i ∫ Γ 1 f ( z ) g ( z ) R ( z ) d z = ( f g ) ( a ) . \begin{aligned}
f(a)g(a)
&=\frac{1}{(2\pi i)^2}\int_{\Gamma_1}\int_{\Gamma_2}
f(z)g(w)\frac{R(z)-R(w)}{w-z}\,dw\,dz\\
&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_1}f(z)g(z)R(z)\,dz
=(fg)(a).
\end{aligned} f ( a ) g ( a ) = ( 2 π i ) 2 1 ∫ Γ 1 ∫ Γ 2 f ( z ) g ( w ) w − z R ( z ) − R ( w ) d w d z = 2 π i 1 ∫ Γ 1 f ( z ) g ( z ) R ( z ) d z = ( f g ) ( a ) . 第二項が零であるのは、w ∈ ∣ Γ 2 ∣ w\in|\Gamma_2| w ∈ ∣ Γ 2 ∣ Γ 1 \Gamma_1 Γ 1 U ∖ { w } U\setminus\{w\} U ∖ { w } z ↦ f ( z ) / ( w − z ) z\mapsto f(z)/(w-z) z ↦ f ( z ) / ( w − z )
線形性は積分の線形性から従う。定数関数1 1 1 補題 2.2 により半径r > ∥ a ∥ r>\|a\| r > ∥ a ∥ §E12.47 命題 2.3 (1) の級数はこの円周上でノルムについて一様収束する。項別積分すると、R ( z ) = ∑ n ≥ 0 a n z − n − 1 R(z)=\sum_{n\ge0}a^nz^{-n-1} R ( z ) = ∑ n ≥ 0 a n z − n − 1 n = 0 n=0 n = 0 z R ( z ) zR(z) z R ( z ) n = 1 n=1 n = 1 1 ( a ) = 1 1(a)=1 1 ( a ) = 1 ι ( a ) = a \iota(a)=a ι ( a ) = a 主張 (1) が従い、多項式の値は代入による値と一致する。
q q q σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) 1 / q 1/q 1/ q q ( a ) ( 1 / q ) ( a ) = ( 1 / q ) ( a ) q ( a ) = 1 q(a)(1/q)(a)=(1/q)(a)q(a)=1 q ( a ) ( 1/ q ) ( a ) = ( 1/ q ) ( a ) q ( a ) = 1 主張 (2) を得る。
固定した積分サイクルΓ \Gamma Γ 補題 1.2 より
∥ f n ( a ) − f ( a ) ∥ ≤ L ( Γ ) 2 π sup z ∈ ∣ Γ ∣ ∥ R ( z ) ∥ sup z ∈ ∣ Γ ∣ ∣ f n ( z ) − f ( z ) ∣ \|f_n(a)-f(a)\|
\le\frac{L(\Gamma)}{2\pi}
\sup_{z\in|\Gamma|}\|R(z)\|\,
\sup_{z\in|\Gamma|}|f_n(z)-f(z)| ∥ f n ( a ) − f ( a ) ∥ ≤ 2 π L ( Γ ) z ∈ ∣Γ∣ sup ∥ R ( z ) ∥ z ∈ ∣Γ∣ sup ∣ f n ( z ) − f ( z ) ∣ である。∣ Γ ∣ |\Gamma| ∣Γ∣ R R R 主張 (3) が従う。
a b = b a ab=ba ab = ba b ( z 1 − a ) = ( z 1 − a ) b b(z1-a)=(z1-a)b b ( z 1 − a ) = ( z 1 − a ) b b R ( z ) = R ( z ) b bR(z)=R(z)b b R ( z ) = R ( z ) b 主張 (4) が従う。▨
例 2.4. λ ∈ C \lambda\in\C λ ∈ C C 2 \C^2 C 2
N = ( 0 1 0 0 ) , T = λ I + N = ( λ 1 0 λ ) N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad T=\lambda I+N=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix} N = ( 0 0 1 0 ) , T = λ I + N = ( λ 0 1 λ ) で定める。このT T T λ \lambda λ Jordan ブロック (Jordan block )N 2 = 0 N^2=0 N 2 = 0 z ≠ λ z\ne\lambda z = λ
( z I − T ) − 1 = I z − λ + N ( z − λ ) 2 (zI-T)^{-1}=\frac{I}{z-\lambda}+\frac{N}{(z-\lambda)^2} ( z I − T ) − 1 = z − λ I + ( z − λ ) 2 N である。λ I − T = − N \lambda I-T=-N λ I − T = − N σ ( T ) = { λ } \sigma(T)=\{\lambda\} σ ( T ) = { λ } f f f λ \lambda λ λ \lambda λ §E5.6 定理 2.1 と§E5.6 定理 4.1 により
f ( T ) = f ( λ ) I + f ′ ( λ ) N = ( f ( λ ) f ′ ( λ ) 0 f ( λ ) ) f(T)=f(\lambda)I+f'(\lambda)N
=\begin{pmatrix}f(\lambda)&f'(\lambda)\\0&f(\lambda)\end{pmatrix} f ( T ) = f ( λ ) I + f ′ ( λ ) N = ( f ( λ ) 0 f ′ ( λ ) f ( λ ) ) となる。特にf ( z ) = z − λ f(z)=z-\lambda f ( z ) = z − λ σ ( T ) \sigma(T) σ ( T ) f ( T ) = N ≠ 0 f(T)=N\ne0 f ( T ) = N = 0
3 スペクトル写像と Riesz 射影 定理 3.1. A A A a ∈ A a\in A a ∈ A f f f σ ( a ) \sigma(a) σ ( a )
σ ( f ( a ) ) = f ( σ ( a ) ) \sigma(f(a))=f(\sigma(a)) σ ( f ( a )) = f ( σ ( a )) が成り立つ。
証明. μ ∉ f ( σ ( a ) ) \mu\notin f(\sigma(a)) μ ∈ / f ( σ ( a )) σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) g ( z ) = ( μ − f ( z ) ) − 1 g(z)=(\mu-f(z))^{-1} g ( z ) = ( μ − f ( z ) ) − 1 定理 2.3 (1) により
( μ 1 − f ( a ) ) g ( a ) = g ( a ) ( μ 1 − f ( a ) ) = 1 (\mu1-f(a))g(a)=g(a)(\mu1-f(a))=1 ( μ 1 − f ( a )) g ( a ) = g ( a ) ( μ 1 − f ( a )) = 1 であるからμ ∉ σ ( f ( a ) ) \mu\notin\sigma(f(a)) μ ∈ / σ ( f ( a ))
λ ∈ σ ( a ) \lambda\in\sigma(a) λ ∈ σ ( a ) z ≠ λ z\ne\lambda z = λ h ( z ) = ( f ( z ) − f ( λ ) ) / ( z − λ ) h(z)=(f(z)-f(\lambda))/(z-\lambda) h ( z ) = ( f ( z ) − f ( λ )) / ( z − λ ) f f f h h h λ \lambda λ §E5.11 命題 3.2 によりh ( λ ) = f ′ ( λ ) h(\lambda)=f'(\lambda) h ( λ ) = f ′ ( λ )
f ( a ) − f ( λ ) 1 = ( a − λ 1 ) h ( a ) = h ( a ) ( a − λ 1 ) f(a)-f(\lambda)1=(a-\lambda1)h(a)=h(a)(a-\lambda1) f ( a ) − f ( λ ) 1 = ( a − λ 1 ) h ( a ) = h ( a ) ( a − λ 1 ) である。左辺が可逆であると仮定し、その逆元をc c c a − λ 1 a-\lambda1 a − λ 1 h ( a ) h(a) h ( a ) c c c h ( a ) c h(a)c h ( a ) c a − λ 1 a-\lambda1 a − λ 1 λ ∈ σ ( a ) \lambda\in\sigma(a) λ ∈ σ ( a ) f ( λ ) ∈ σ ( f ( a ) ) f(\lambda)\in\sigma(f(a)) f ( λ ) ∈ σ ( f ( a )) ▨
定理 3.2. A A A a ∈ A a\in A a ∈ A σ ( a ) = K 1 ⊔ K 2 \sigma(a)=K_1\sqcup K_2 σ ( a ) = K 1 ⊔ K 2 U 1 ⊇ K 1 U_1\supseteq K_1 U 1 ⊇ K 1 U 2 ⊇ K 2 U_2\supseteq K_2 U 2 ⊇ K 2 U 1 U_1 U 1 1 1 1 U 2 U_2 U 2 0 0 0 χ \chi χ
p = χ ( a ) , p 2 = p , a p = p a p=\chi(a),\qquad p^2=p,\qquad ap=pa p = χ ( a ) , p 2 = p , a p = p a である。p p p U 1 , U 2 U_1,U_2 U 1 , U 2 p p p K 1 K_1 K 1 Riesz 射影 (Riesz projection )U 1 U_1 U 1 K 1 K_1 K 1 Γ 1 \Gamma_1 Γ 1
p = 1 2 π i ∫ Γ 1 ( z 1 − a ) − 1 d z p=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_1}(z1-a)^{-1}\,dz p = 2 π i 1 ∫ Γ 1 ( z 1 − a ) − 1 d z と表される。
特に、X ≠ { 0 } X\ne\{0\} X = { 0 } A = B ( X ) A=B(X) A = B ( X ) a = T a=T a = T P = χ ( T ) P=\chi(T) P = χ ( T )
X = P X ⊕ ( I − P ) X X=PX\oplus(I-P)X X = P X ⊕ ( I − P ) X は閉なT T T
σ ( T ∣ P X ) = K 1 , σ ( T ∣ ( I − P ) X ) = K 2 \sigma(T|_{PX})=K_1,\qquad
\sigma(T|_{(I-P)X})=K_2 σ ( T ∣ P X ) = K 1 , σ ( T ∣ ( I − P ) X ) = K 2 である。零空間上の作用素のスペクトルは空集合とする。
証明. K 1 , K 2 K_1,K_2 K 1 , K 2 χ 2 = χ \chi^2=\chi χ 2 = χ 定理 2.3 (1) によりp 2 = p p^2=p p 2 = p 定理 2.3 (4) によりa p = p a ap=pa a p = p a σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) χ \chi χ 補題 2.2 によりp p p U j U_j U j K j K_j K j Γ j \Gamma_j Γ j Γ 1 + Γ 2 \Gamma_1+\Gamma_2 Γ 1 + Γ 2 σ ( a ) \sigma(a) σ ( a ) χ \chi χ Γ 2 \Gamma_2 Γ 2
作用素環の場合、P X = ker ( I − P ) PX=\ker(I-P) P X = ker ( I − P ) ( I − P ) X = ker P (I-P)X=\ker P ( I − P ) X = ker P P P P I − P I-P I − P P T = T P PT=TP P T = T P T T T
μ ∉ K 1 \mu\notin K_1 μ ∈ / K 1 U 1 U_1 U 1 μ ∉ U 1 \mu\notin U_1 μ ∈ / U 1 U 1 U_1 U 1 ( μ − z ) − 1 (\mu-z)^{-1} ( μ − z ) − 1 U 2 U_2 U 2 0 0 0 h h h
( μ I − T ) h ( T ) = h ( T ) ( μ I − T ) = P , P h ( T ) = h ( T ) P = h ( T ) (\mu I-T)h(T)=h(T)(\mu I-T)=P,\qquad
Ph(T)=h(T)P=h(T) ( μ I − T ) h ( T ) = h ( T ) ( μ I − T ) = P , P h ( T ) = h ( T ) P = h ( T ) である。したがってh ( T ) ∣ P X h(T)|_{PX} h ( T ) ∣ P X μ I P X − T ∣ P X \mu I_{PX}-T|_{PX} μ I P X − T ∣ P X σ ( T ∣ P X ) ⊆ K 1 \sigma(T|_{PX})\subseteq K_1 σ ( T ∣ P X ) ⊆ K 1 1 − χ 1-\chi 1 − χ σ ( T ∣ ( I − P ) X ) ⊆ K 2 \sigma(T|_{(I-P)X})\subseteq K_2 σ ( T ∣ ( I − P ) X ) ⊆ K 2
μ I − T \mu I-T μ I − T P P P P P P I − P I-P I − P μ I − T \mu I-T μ I − T
σ ( T ) = σ ( T ∣ P X ) ∪ σ ( T ∣ ( I − P ) X ) \sigma(T)=\sigma(T|_{PX})\cup\sigma(T|_{(I-P)X}) σ ( T ) = σ ( T ∣ P X ) ∪ σ ( T ∣ ( I − P ) X ) である。両制限のスペクトルはそれぞれ互いに素なK 1 , K 2 K_1,K_2 K 1 , K 2 K 1 ∪ K 2 K_1\cup K_2 K 1 ∪ K 2 ▨
4 コンパクト作用素の一般固有空間 定理 4.1. X ≠ { 0 } X\ne\{0\} X = { 0 } T ∈ K ( X ) T\in\mathcal K(X) T ∈ K ( X ) λ ∈ σ ( T ) ∖ { 0 } \lambda\in\sigma(T)\setminus\{0\} λ ∈ σ ( T ) ∖ { 0 } { λ } \{\lambda\} { λ } P λ P_\lambda P λ N ≥ 1 N\ge1 N ≥ 1 n ≥ N n\ge N n ≥ N
P λ X = E λ ( T ) = ker ( λ I − T ) n , ker P λ = ( λ I − T ) n X P_\lambda X=E_\lambda(T)=\ker(\lambda I-T)^n,
\qquad
\ker P_\lambda=(\lambda I-T)^nX P λ X = E λ ( T ) = ker ( λ I − T ) n , ker P λ = ( λ I − T ) n X が成り立つ。特にP λ X P_\lambda X P λ X T − λ I T-\lambda I T − λ I
証明. §E12.2 定理 6.1 (3) によりλ \lambda λ 定理 3.2 をK 1 = { λ } K_1=\{\lambda\} K 1 = { λ } Y = P λ X Y=P_\lambda X Y = P λ X Z = ( I − P λ ) X Z=(I-P_\lambda)X Z = ( I − P λ ) X X = Y ⊕ Z X=Y\oplus Z X = Y ⊕ Z
σ ( T ∣ Y ) = { λ } , λ ∉ σ ( T ∣ Z ) \sigma(T|_Y)=\{\lambda\},\qquad
\lambda\notin\sigma(T|_Z) σ ( T ∣ Y ) = { λ } , λ ∈ / σ ( T ∣ Z ) である。特にY ≠ { 0 } Y\ne\{0\} Y = { 0 } Y Y Y X X X T ∣ Y = P λ T ∣ Y T|_Y=P_\lambda T|_Y T ∣ Y = P λ T ∣ Y §E12.2 命題 1.5 によりコンパクトであり、0 ∉ σ ( T ∣ Y ) 0\notin\sigma(T|_Y) 0 ∈ / σ ( T ∣ Y ) §E12.2 命題 4.2 の末尾の主張の対偶によりY Y Y
d = dim Y d=\dim Y d = dim Y Y Y Y d 2 d^2 d 2 I Y , T ∣ Y , … , ( T ∣ Y ) d 2 I_Y,T|_Y,\ldots,(T|_Y)^{d^2} I Y , T ∣ Y , … , ( T ∣ Y ) d 2 m m m m ( T ∣ Y ) = 0 m(T|_Y)=0 m ( T ∣ Y ) = 0 m ( z ) = ( z − λ ) k q ( z ) m(z)=(z-\lambda)^kq(z) m ( z ) = ( z − λ ) k q ( z ) q ( λ ) ≠ 0 q(\lambda)\ne0 q ( λ ) = 0 定理 3.1 によりq ( T ∣ Y ) q(T|_Y) q ( T ∣ Y ) ( T ∣ Y − λ I Y ) k = 0 (T|_Y-\lambda I_Y)^k=0 ( T ∣ Y − λ I Y ) k = 0 Y ≠ { 0 } Y\ne\{0\} Y = { 0 } k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1
N = k N=k N = k n ≥ N n\ge N n ≥ N ( λ I − T ) n (\lambda I-T)^n ( λ I − T ) n Y Y Y Z Z Z X = Y ⊕ Z X=Y\oplus Z X = Y ⊕ Z ker ( λ I − T ) n = Y \ker(\lambda I-T)^n=Y ker ( λ I − T ) n = Y ( λ I − T ) n X = Z = ker P λ (\lambda I-T)^nX=Z=\ker P_\lambda ( λ I − T ) n X = Z = ker P λ
E λ ( T ) = ⋃ n ≥ 1 ker ( λ I − T ) n = Y E_\lambda(T)=\bigcup_{n\ge1}\ker(\lambda I-T)^n=Y E λ ( T ) = n ≥ 1 ⋃ ker ( λ I − T ) n = Y である。▨
例 4.2. X = C 2 ⊕ C X=\C^2\oplus\C X = C 2 ⊕ C X X X
J = ( 1 1 0 1 ) , T = J ⊕ 2 I 1 J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad
T=J\oplus2I_1 J = ( 1 0 1 1 ) , T = J ⊕ 2 I 1 で定める。このとき、z I − T zI-T z I − T z I 2 − J zI_2-J z I 2 − J ( z − 2 ) I 1 (z-2)I_1 ( z − 2 ) I 1 例 2.4 によりσ ( T ) = { 1 , 2 } \sigma(T)=\{1,2\} σ ( T ) = { 1 , 2 } 1 1 1 2 2 2 U 1 , U 2 U_1,U_2 U 1 , U 2 U 1 U_1 U 1 1 1 1 U 2 U_2 U 2 0 0 0 χ \chi χ 例 2.4 と Cauchy の積分公式を用いると、χ ′ ( 1 ) = 0 \chi'(1)=0 χ ′ ( 1 ) = 0
P 1 = χ ( T ) = ( χ ( 1 ) χ ′ ( 1 ) 0 χ ( 1 ) ) ⊕ χ ( 2 ) I 1 = I 2 ⊕ 0 P_1=\chi(T)
=\begin{pmatrix}\chi(1)&\chi'(1)\\0&\chi(1)\end{pmatrix}\oplus\chi(2)I_1
=I_2\oplus0 P 1 = χ ( T ) = ( χ ( 1 ) 0 χ ′ ( 1 ) χ ( 1 ) ) ⊕ χ ( 2 ) I 1 = I 2 ⊕ 0 である。定理 3.2 により、P 1 P_1 P 1 { 1 } \{1\} { 1 } { 2 } \{2\} { 2 } P 2 = I − P 1 = 0 ⊕ I 1 P_2=I-P_1=0\oplus I_1 P 2 = I − P 1 = 0 ⊕ I 1
P 1 X = C 2 ⊕ { 0 } , P 2 X = { 0 } ⊕ C . P_1X=\C^2\oplus\{0\},\qquad P_2X=\{0\}\oplus\C. P 1 X = C 2 ⊕ { 0 } , P 2 X = { 0 } ⊕ C . T T T §E12.2 命題 1.4 によりコンパクトである。定理 4.1 により、E 1 ( T ) = P 1 X E_1(T)=P_1X E 1 ( T ) = P 1 X E 2 ( T ) = P 2 X E_2(T)=P_2X E 2 ( T ) = P 2 X
例 4.3. X X X T = I X T=I_X T = I X z ≠ 1 z\ne1 z = 1 ( z I X − T ) − 1 = ( z − 1 ) − 1 I X (zI_X-T)^{-1}=(z-1)^{-1}I_X ( z I X − T ) − 1 = ( z − 1 ) − 1 I X z = 1 z=1 z = 1 z I X − T = 0 zI_X-T=0 z I X − T = 0 σ ( T ) = { 1 } \sigma(T)=\{1\} σ ( T ) = { 1 } P 1 = I X P_1=I_X P 1 = I X §E12.2 命題 4.2 によりT T T 定理 4.1 の有限次元性は、孤立した零でないスペクトル点であるという条件だけからは従わない。