§E12.3Schauder の定理

証明.$g,h\in Y^*$、$\beta\in\mathbb K$とする。$T'(g+\beta h)=(g+\beta h)\circ T=g\circ T+\beta\,(h\circ T)=T'g+\beta T'h$であるから、$T'$は線形である。定義 1.1の評価$\|T'g\|\le\|T\|\,\|g\|$により、$T'$は有界で$\|T'\|\le\|T\|$であるから、主張 (1)が成り立つ。

$g\in Y^*$に対して$(S+T)'g=g\circ(S+T)=g\circ S+g\circ T=S'g+T'g$であり、$(\alpha T)'g=g\circ(\alpha T)=\alpha\,(g\circ T)=\alpha T'g$であるから、主張 (2)が成り立つ。

$h\in Z^*$に対して$(UT)'h=h\circ U\circ T=(h\circ U)\circ T=T'(U'h)$であるから、主張 (3)が成り立つ。$f\in X^*$に対して$(I_X)'f=f\circ I_X=f$であるから、主張 (4)が成り立つ。▨

証明.$T'f=f\circ T$であるから、$X^*$のノルムの定義により$\|T'f\|=\sup_{x\in B_X}|f(Tx)|=\sup_{z\in T(B_X)}|f(z)|$である。$T(B_X)\subseteq K$であるから、この値は$\sup_{z\in K}|f(z)|$以下である。逆に、$z\in K$に対して$T(B_X)$の点列$(z_n)$で$z_n\to z$となるものをとると、$f$は連続であるから$|f(z)|=\lim_n|f(z_n)|\le\sup_{w\in T(B_X)}|f(w)|$である。したがって、$\sup_{z\in K}|f(z)|$は$\sup_{w\in T(B_X)}|f(w)|$以下である。▨

証明.$B_X$、$B_{Y^*}$を$X$、$Y^*$の閉単位球とし、$K=\overline{T(B_X)}$とおく。§E12.2 定義 1.1により、$K$は$Y$のコンパクト部分集合である。$g\in B_{Y^*}$に対して$g|_K\in C(K,\mathbb K)$であり、$\mathcal F=\{g|_K:g\in B_{Y^*}\}$とおく。$C(K,\mathbb K)$には一様距離$d_\infty$を入れる。

$z,w\in K$と$g\in B_{Y^*}$に対して$|g(z)-g(w)|\le\|g\|\,\|z-w\|\le\|z-w\|$であるから、$\varepsilon>0$に対して$\delta=\varepsilon$とすれば、$\|z-w\|<\delta$ならばすべての$g\in B_{Y^*}$について$|g(z)-g(w)|<\varepsilon$である。したがって$\mathcal F$は同程度連続である。$z\in K$に対して$\{g(z):g\in B_{Y^*}\}$は閉円板$\{t\in\mathbb K:|t|\le\|z\|\}$に含まれる。$\mathbb K$を$\R$または$\R^2$と同一視すると、この閉円板は§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであるから、$\{g(z):g\in B_{Y^*}\}$は完備距離空間$\mathbb K$で相対コンパクトである。§E2.31 系 4.4の条件 3 から条件 2 が従い、$\mathcal F$は$d_\infty$について全有界である。

$\varepsilon>0$とする。$\mathcal F$の全有界性により、$g_1,\dots,g_m\in B_{Y^*}$であって、各$g\in B_{Y^*}$に対して$d_\infty(g|_K,g_j|_K)<\varepsilon$を満たす$j\in\{1,\dots,m\}$が存在するものがとれる。補題 2.1を$f=g-g_j$に適用すると

である。したがって$T'(B_{Y^*})$は全有界である。$X^*$は§E10.2 系 2.3により完備であるから、§E2.31 補題 4.2により$T'(B_{Y^*})$は$X^*$で相対コンパクトである。命題 1.2 (1)により$T'\in B(Y^*,X^*)$であるから、§E12.2 定義 1.1により$T'$はコンパクト作用素である。▨

証明.$y\in K$、$x\in H$とする。$(T'R_Ky)(x)=(R_Ky)(Tx)=\langle Tx,y\rangle_K=\langle x,T^*y\rangle_H=(R_HT^*y)(x)$であるから、$T'R_K=R_HT^*$である。§E10.5 系 1.2により$R_H$は全単射であるから、主張 (1)が成り立つ。

$g\in K^*$に対して$y=R_K^{-1}g$とおくと、$R_K$は等長であるから$\|y\|=\|g\|$である。主張 (1)と$R_H$の等長性により$\|T'g\|=\|R_HT^*y\|=\|T^*y\|\le\|T^*\|\,\|g\|$であるから、$\|T'\|\le\|T^*\|$である。逆に$y\in K$に対して$\|T^*y\|=\|R_HT^*y\|=\|T'R_Ky\|\le\|T'\|\,\|y\|$であるから、$\|T^*\|\le\|T'\|$である。§E12.1 命題 1.2により$\|T^*\|=\|T\|$であるから、主張 (2)が成り立つ。▨

証明.$T$がコンパクトであるとする。定理 2.2により$T'\in\mathcal K(K^*,H^*)$であるから、$T'(B_{K^*})$は$H^*$で相対コンパクトである。$R_K$は全単射かつ等長であるから$R_K(B_K)=B_{K^*}$であり、命題 3.1 (1)により$T^*(B_K)=R_H^{-1}\bigl(T'(B_{K^*})\bigr)$である。$R_H^{-1}\colon H^*\to H$は等長な全単射、したがって同相写像であるから、$\overline{T^*(B_K)}=R_H^{-1}\bigl(\overline{T'(B_{K^*})}\bigr)$はコンパクト集合の連続像としてコンパクトである。よって$T^*$はコンパクトである。

$T^*$がコンパクトであるとする。上の議論を$T^*\in B(K,H)$に適用すると、$(T^*)^*$がコンパクトである。§E12.1 命題 1.3により$(T^*)^*=T$であるから、$T$はコンパクトである。▨

証明.$B_X$を$X$の閉単位球とし、$K=\overline{T(B_X)}$とおく。§E12.2 定義 1.1により$K$はコンパクトである。$m\ge1$とする。$K$のコンパクト性により、$p_1,\dots,p_r\in K$で$K\subseteq\bigcup_{i=1}^rB(p_i,1/m)$となるものがとれる。各$i$について、$B(p_i,1/m)\cap T(B_X)\ne\emptyset$ならばその共通部分から点$q_i$を一つ選び、そうでなければ何も選ばない。選んだ点の有限集合を$D_m\subseteq T(B_X)$とし、$D=\bigcup_{m\ge1}D_m$とおく。$D$は可算である。$z\in T(B_X)$と$m\ge1$をとると、$z\in B(p_i,1/m)$を満たす$i$が存在し、この球は$T(B_X)$と交わるから$q_i\in D_m$が選ばれていて$\|z-q_i\|<2/m$である。したがって$D$は$T(B_X)$で稠密である。

$x\in X$と整数$n\ge\max\{1,\|x\|\}$に対して$x/n\in B_X$であり、$Tx=n\,T(x/n)\in n\,T(B_X)$である。よって$\im T=\bigcup_{n\ge1}nT(B_X)$である。$z\in T(B_X)$と$q\in D$に対して$\|nz-nq\|=n\|z-q\|$であるから、$nD$は$nT(B_X)$で稠密であり、可算集合$\bigcup_{n\ge1}nD$は$\im T$で稠密である。この集合は$\overline{\im T}$でも稠密であるから、$\overline{\im T}$は可分である。▨