§E12.17Hahn–Banach の定理

証明.$n_1,n_2\in N$とする。$g$の線形性と$g\leq p$と$p$の劣線形性により

であるから、$g(n_1)-p(n_1-x_0)\leq p(n_2+x_0)-g(n_2)$である。$0\in N$であるから、実数の集合$\{g(n)-p(n-x_0)\mid n\in N\}$と$\{p(n+x_0)-g(n)\mid n\in N\}$は空でない。直前の不等式により、前者の各元は後者の各元以下である。ゆえに前者の上限$a$と後者の下限$b$は実数であり、$a\leq b$である。

$y\in N_1$が$y=n+tx_0=n'+t'x_0$（$n,n'\in N$、$t,t'\in\R$）と書かれるとする。$t\neq t'$ならば$x_0=(t-t')^{-1}(n'-n)\in N$となり、$x_0\notin N$に反する。ゆえに$t=t'$かつ$n=n'$であり、$N_1$の各元は$n+tx_0$（$n\in N$、$t\in\R$）の形にただ一通りに書かれる。したがって$G_c(n+tx_0)=g(n)+tc$は線形写像$G_c\colon N_1\to\R$を定め、$G_c|_N=g$と$G_c(x_0)=c$を満たす。線形写像$G\colon N_1\to\R$がこの二条件を満たすならば、$G(n+tx_0)=g(n)+tc$であるから$G=G_c$である。

$N_1$上で$G_c\leq p$が成り立つとする。$n\in N$について$g(n)-c=G_c(n-x_0)\leq p(n-x_0)$かつ$g(n)+c=G_c(n+x_0)\leq p(n+x_0)$であるから、$g(n)-p(n-x_0)\leq c\leq p(n+x_0)-g(n)$である。$n$について上限と下限をとると、$c$は式 (1.2.1)を満たす。

逆に、$c$が式 (1.2.1)を満たすとし、$n\in N$と$t\in\R$をとる。$t=0$ならば$G_c(n)=g(n)\leq p(n)$である。$t>0$ならば、$t^{-1}n\in N$について$c\leq p(t^{-1}n+x_0)-g(t^{-1}n)$であり、両辺に$t$を掛けると、$p$の劣線形性により$g(n)+tc\leq tp(t^{-1}n+x_0)=p(n+tx_0)$である。$t<0$ならば、$s=-t$とおくと、$s^{-1}n\in N$について$g(s^{-1}n)-p(s^{-1}n-x_0)\leq c$であり、両辺に$s$を掛けると$g(n)-sc\leq sp(s^{-1}n-x_0)=p(n-sx_0)$である。いずれの場合も$G_c(n+tx_0)=g(n)+tc\leq p(n+tx_0)$である。▨

証明.$M\subseteq N$を満たす$X$の線形部分空間$N$と、$g|_M=f$を満たし、すべての$n\in N$について$g(n)\leq p(n)$を満たす線形写像$g\colon N\to\R$の組$(N,g)$の全体を$\mathcal O$とする。$(N,g),(N',g')\in\mathcal O$について、$N\subseteq N'$かつ$g'|_N=g$であるとき$(N,g)\preceq(N',g')$と定めると、$\preceq$は$\mathcal O$上の半順序である。$(M,f)\in\mathcal O$であるから$\mathcal O$は空でなく、空の鎖は$(M,f)$を上界にもつ。

$\mathcal C$を$\mathcal O$の空でない鎖とし、$N^*=\bigcup_{(N,g)\in\mathcal C}N$とおく。$x\in N^*$について、$x\in N$を満たす$(N,g)\in\mathcal C$をとり$g^*(x)=g(x)$と定める。$(N',g'),(N'',g'')\in\mathcal C$と$x\in N'\cap N''$について、$\mathcal C$は鎖であるから、たとえば$(N',g')\preceq(N'',g'')$であり、$g'(x)=g''(x)$である。ゆえに$g^*(x)$は$(N,g)$の選び方によらない。$x,y\in N^*$と$\lambda\in\R$をとると、$\mathcal C$が鎖であることから$x,y\in N$を満たす$(N,g)\in\mathcal C$が存在し、$x+\lambda y\in N\subseteq N^*$かつ$g^*(x+\lambda y)=g(x)+\lambda g(y)=g^*(x)+\lambda g^*(y)$である。したがって$N^*$は$M$を含む線形部分空間であり、$g^*$は線形であり、$g^*|_M=f$と$g^*\leq p$を満たす。$(N^*,g^*)\in\mathcal O$は$\mathcal C$の上界である。

§E1.20 定理 2.1 (3)により、$\mathcal O$は極大元$(N_0,g_0)$をもつ。$N_0\neq X$と仮定し、$x_0\in X\setminus N_0$をとる。補題 1.2により、式 (1.2.1)を満たす実数$c$が存在し、線形写像$G\colon N_0+\R x_0\to\R$で$G|_{N_0}=g_0$と$G\leq p$を満たすものが存在する。$G|_M=g_0|_M=f$であるから$(N_0+\R x_0,G)\in\mathcal O$であり、$(N_0,g_0)\preceq(N_0+\R x_0,G)$である。$x_0\notin N_0$であるから$(N_0,g_0)\neq(N_0+\R x_0,G)$であり、$(N_0,g_0)$が極大元であることに反する。ゆえに$N_0=X$であり、$F=g_0$が主張の条件を満たす。▨

証明.主張 (1)を示す。$\Re\colon\mathbb K\to\R$は$\R$線形であるから、$\Re F$は$\R$線形であり、$F\mapsto\Re F$は$\R$線形である。$\mathbb K=\R$ならば、$\mathbb K$線形写像$E\to\mathbb K$と$\R$線形写像$E\to\R$は同じものであり、$F\mapsto\Re F$は恒等写像である。$\mathbb K=\C$とする。$z\in\C$について$\Im z=-\Re(iz)$であるから、$\C$線形写像$F$と$x\in E$について$\Im F(x)=-\Re(iF(x))=-\Re F(ix)$であり、

である。したがって$F$は$\Re F$によって定まり、$F\mapsto\Re F$は単射である。$u\colon E\to\R$を$\R$線形写像とし、$F(x)=u(x)-iu(ix)$とおく。$F$は$\R$線形であり、$F(ix)=u(ix)-iu(-x)=i\bigl(u(x)-iu(ix)\bigr)=iF(x)$であるから、実数$s,t$について$F((s+it)x)=sF(x)+tF(ix)=(s+it)F(x)$である。ゆえに$F$は$\C$線形であり、$\Re F=u$を満たす。

主張 (2)を示す。$\lvert F\rvert\leq p$ならば、$x\in E$について$\Re F(x)\leq\lvert F(x)\rvert\leq p(x)$である。逆に$\Re F\leq p$とし、$x\in E$とする。$\lvert\theta\rvert=1$かつ$\theta F(x)=\lvert F(x)\rvert$を満たす$\theta\in\mathbb K$をとる。$F(\theta x)=\theta F(x)$は実数であるから、

である。

主張 (3)を示す。$\Re\colon\mathbb K\to\R$は連続であるから、$F$が連続ならば$\Re F$は連続である。$\mathbb K=\R$ならば、逆は$\Re F=F$による。$\mathbb K=\C$とし、$\Re F$が連続であるとする。§E12.16 命題 1.4 (1)により$x\mapsto ix$は連続であるから、$x\mapsto\Re F(ix)$は連続である。§E2.14 定理 1.6により$x\mapsto(\Re F(x),\Re F(ix))$は$E$から$\R^2$への連続写像であり、$(s,t)\mapsto s-it$は$\R^2$から$\C$への連続写像であるから、主張 (1)の式$F(x)=\Re F(x)-i\Re F(ix)$により、$F$はそれらの合成として連続である。▨

証明. スカラー倍を$\R$に制限して、$E$と$M$を$\R$上の線形空間とみなす。$p$は半ノルムであるから、$x,y\in E$と実数$t\geq0$について$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$と$p(tx)=\lvert t\rvert p(x)=tp(x)$を満たし、$\R$上の線形空間$E$上の劣線形汎関数である。補題 2.1 (1)を$M$に適用すると$u=\Re f\colon M\to\R$は$\R$線形であり、$m\in M$について$u(m)\leq\lvert f(m)\rvert\leq p(m)$である。定理 1.3により、$U|_M=u$を満たし、すべての$x\in E$について$U(x)\leq p(x)$を満たす$\R$線形写像$U\colon E\to\R$が存在する。補題 2.1 (1)により、$\Re F=U$を満たす$\mathbb K$線形写像$F\colon E\to\mathbb K$が存在する。$F|_M$と$f$は$\mathbb K$線形写像$M\to\mathbb K$であり、$\Re(F|_M)=U|_M=u=\Re f$を満たすから、補題 2.1 (1)の単射性を$M$に適用して$F|_M=f$を得る。$\Re F=U\leq p$であるから、補題 2.1 (2)により、すべての$x\in E$について$\lvert F(x)\rvert\leq p(x)$である。▨

証明.主張 (1)を示す。定理 2.2により、$F|_M=f$を満たし、すべての$x\in E$について$\lvert F(x)\rvert\leq p(x)$を満たす線形写像$F\colon E\to\mathbb K$が存在する。実数$\varepsilon>0$をとる。$p$は連続であり$p(0)=0$であるから、$V=\{x\in E\mid p(x)<\varepsilon\}$は零近傍であり、$x\in V$ならば$\lvert F(x)\rvert<\varepsilon$である。ゆえに$F$は$0$で連続であり、§E12.16 補題 1.7により連続である。

主張 (2)を示す。$f$は連続であり$f(0)=0$であるから、$W=\{m\in M\mid\lvert f(m)\rvert<1\}$は$0$を含む$M$の開集合であり、部分空間位相の定義により$W=O\cap M$を満たす$E$の開集合$O$が存在する。$0\in O$であり、$E$は局所凸空間であるから、§E12.16 定理 2.9により$A\subseteq O$を満たす絶対凸な零近傍$A$が存在する。§E12.16 命題 1.4 (2)により$A$は吸収的であり、$A$の Minkowski 汎関数$p$は、§E12.16 命題 2.8 (3)と§E12.16 命題 2.8 (4)により$E$上の連続な半ノルムであり、§E12.16 命題 2.8 (2)により$\{x\in E\mid p(x)<1\}\subseteq A$を満たす。$m\in M$と実数$s>p(m)$をとる。$p(s^{-1}m)=s^{-1}p(m)<1$であるから$s^{-1}m\in A\cap M\subseteq W$であり、$\lvert f(m)\rvert=s\lvert f(s^{-1}m)\rvert<s$である。$s>p(m)$は任意であるから$\lvert f(m)\rvert\leq p(m)$である。主張 (1)により、$F|_M=f$を満たす$F\in E'$が存在する。▨

証明.主張 (1)を示す。$p(x)=0$ならば$f=0$が条件を満たす。$p(x)\neq0$とする。$p(0)=0$であるから$x\neq0$であり、線形部分空間$M=\mathbb Kx$の各元は$tx$（$t\in\mathbb K$）の形にただ一通りに書かれる。線形写像$g\colon M\to\mathbb K$を$g(tx)=tp(x)$で定めると、$\lvert g(tx)\rvert=\lvert t\rvert p(x)=p(tx)$である。定理 3.1 (1)により、$f|_M=g$を満たし、すべての$y\in E$について$\lvert f(y)\rvert\leq p(y)$を満たす$f\in E'$が存在し、$f(x)=g(x)=p(x)$である。

主張 (2)を示す。$E$上の連続な半ノルムの全体を$\mathcal P_E$とする。§E12.16 定理 2.9により$E$の位相は$\tau_{\mathcal P_E}$に等しく、$E$は Hausdorff であるから、§E12.16 命題 2.4 (3)により$\mathcal P_E$は$E$の点を分離する。$x\neq0$とし、$p(x)\neq0$を満たす$p\in\mathcal P_E$をとる。主張 (1)により$f(x)=p(x)\neq0$を満たす$f\in E'$が存在する。$x\neq y$ならば、$x-y$に対するこの$f$について$f(x)-f(y)=f(x-y)\neq0$である。▨

証明.§E12.16 例 7.2により$L^p([0,1])$は距離$d$が定める位相について位相線形空間であり、§E2.15 定理 3.2により Hausdorff である。§E12.16 補題 1.6 (1)により$M$は Hausdorff 位相線形空間であり、$\dim M=1$であるから、§E12.16 系 4.3 (2)により$f$は連続である。§E12.16 命題 7.3 (2)により$L^p([0,1])'=\{0\}$であるから、任意の$F\in L^p([0,1])'$について$F(\mathbf 1)=0\neq1=f(\mathbf 1)$である。とくに$L^p([0,1])'$は$\mathbf 1$と$0$を分離しない。

$q$を$L^p([0,1])$上の連続な半ノルムとし、$C=\{g\in L^p([0,1])\mid q(g)<1\}$とおく。$q$は半ノルムであるから$C$は凸であり、$q$は連続であり$q(0)=0$であるから$C$は$0$を含む開集合である。§E12.16 命題 7.3 (1)により$C=L^p([0,1])$である。$g\in L^p([0,1])$と実数$t>0$について$tg\in C$であるから$q(g)<1/t$であり、$q(g)=0$である。ゆえに$q=0$である。▨

証明.$p(x)=\lVert f\rVert\lVert x\rVert$とおく。$p$は$X$上の半ノルムであり、§E10.2 命題 1.2により、すべての$m\in M$について$\lvert f(m)\rvert\leq p(m)$である。定理 2.2により、$F|_M=f$を満たし、すべての$x\in X$について$\lvert F(x)\rvert\leq\lVert f\rVert\lVert x\rVert$を満たす$\mathbb K$線形写像$F\colon X\to\mathbb K$が存在する。したがって、$F\in X^*$かつ$\lVert F\rVert\leq\lVert f\rVert$である。$F|_M=f$であるから

であり、$\lVert F\rVert=\lVert f\rVert$を得る。▨

証明.系 4.1を$\mathbb K=\C$として適用すると、$F|_M=f$かつ$\lVert F\rVert=\lVert f\rVert$を満たす$F\in X^*$が存在する。▨

証明.§E12.16 命題 2.10により、$X$はノルムが定める位相について局所凸空間であり、$X'=X^*$である。§E10.1 命題 1.2によりノルム$\lVert\cdot\rVert$は$X$上の連続な半ノルムである。系 3.2 (1)により、すべての$y\in X$について$\lvert f(y)\rvert\leq\lVert y\rVert$を満たし、$f(x)=\lVert x\rVert$を満たす$f\in X^*$が存在する。$\lVert f\rVert\leq1$であり、$f(\lVert x\rVert^{-1}x)=1$であるから$\lVert f\rVert\geq1$である。$x\neq y$ならば、$x-y$に対するこの$f$について$f(x)-f(y)=\lVert x-y\rVert\neq0$である。▨

証明.$x\in X$とする。$f\in X^*$が$\lVert f\rVert\leq1$を満たすならば、§E10.2 命題 1.2により$\lvert f(x)\rvert\leq\lVert f\rVert\lVert x\rVert\leq\lVert x\rVert$である。$x=0$ならば$f=0$について$\lvert f(x)\rvert=0=\lVert x\rVert$である。$x\neq0$ならば、系 4.3により$\lVert f\rVert=1$かつ$\lvert f(x)\rvert=\lVert x\rVert$を満たす$f\in X^*$が存在する。いずれの場合も上限は$\lVert x\rVert$に等しい。▨