スペクトル定理 III | 関数解析 I

定理 1.1. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間、 $T\in B(H)$ を正規作用素とし、 $K=\sigma(T)$ とおく。このとき、 $K$ 上の射影値測度 $E_T$ で

T=\int_K\lambda\,dE_T(\lambda)

を満たすものがただ一つ存在する。すべての $x,y\in H$ について、

\mu_{x,y}(A)=\langle E_T(A)x,y\rangle \qquad(A\in\mathcal B(K))

は有限複素 Radon 測度である。すべての $f\in C(K)$ について、連続汎関数計算による $f(T)$ は

f(T)=\int_K f\,dE_T, \qquad \langle f(T)x,y\rangle=\int_K f\,d\mu_{x,y} \quad(x,y\in H)

を満たす。 $E_T$ を $T$ のスペクトル測度 (spectral measure) という。

証明.§E12.55 定理 3.1の連続汎関数計算 $\Phi_T\colon C(K)\to B(H)$ をとる。 $K$ は空でないコンパクト距離空間であり、 $\Phi_T$ は単位元を保つ *-準同型であるから、§E12.7 定理 6.2 (1)により、すべての $f\in C(K)$ について $\Phi_T(f)=\int_K f\,dE_T$ を満たす射影値測度 $E_T$ が存在し、その行列要素は有限複素 Radon 測度である。座標関数 $z(\lambda)=\lambda$ に対して $\Phi_T(z)=T$ であるから、 $T$ の積分表示を得る。行列要素の等式は§E12.7 定理 4.5 (1)による。

$F$ を $K$ 上の射影値測度で $\int_K z\,dF=T$ を満たすものとする。§E12.7 定理 4.5 (2)により、 $f\mapsto\int_K f\,dF$ の $C(K)$ への制限は単位元を保つ *-準同型であり、 $z$ を $T$ へ写す。§E12.55 定理 3.1の一意性により、この制限は $\Phi_T$ に等しい。

$x,y\in H$ とおく。§E10.27 定理 2.3により $|F_{x,y}|$ は有限正 Borel 測度である。§E10.39 定理 1.1により、 $|F_{x,y}|$ は閉集合による内正則性をもつ。 $K$ はコンパクトであるから閉集合はコンパクトであり、 $|F_{x,y}|$ は有限 Radon 測度である。したがって $F_{x,y}$ は有限複素 Radon 測度であり、§E12.7 定理 6.2 (1)の一意性により $F=E_T$ である。▨

定理 1.2. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間、 $T\in B(H)$ を正規作用素とし、 $K=\sigma(T)$ 、 $E_T$ をそのスペクトル測度とする。 $g\in B_b(K)$ に対して

g(T)=\int_Kg\,dE_T

と定める。この写像を $T$ の有界 Borel 汎関数計算という。このとき、次が成り立つ。

写像 $g\mapsto g(T)$ は連続汎関数計算を延長する、単位元を保つ *-準同型 $B_b(K)\to B(H)$ である。すべての $A\in\mathcal B(K)$ について $\mathbf1_A(T)=E_T(A)$ である。
$\mu_{x,y}(A)=\langle E_T(A)x,y\rangle$ とおくと、すべての $g\in B_b(K)$ と $x,y\in H$ について $\langle g(T)x,y\rangle=\int_Kg\,d\mu_{x,y}, \qquad \|g(T)x\|^2=\int_K|g|^2\,d\mu_{x,x}$ が成り立つ。
すべての $g\in B_b(K)$ について $\|g(T)\|=\inf\{c\ge0:E_T(\{\lambda\in K:|g(\lambda)|>c\})=0\} \le\|g\|_\infty$ である。
$(g_n)_{n\in\NN}$ を $B_b(K)$ の列とし、 $\sup_n\|g_n\|_\infty<\infty$ かつ各 $\lambda\in K$ について $g_n(\lambda)\to g(\lambda)$ とする。このとき $g\in B_b(K)$ であり、すべての $x\in H$ について $g_n(T)x\to g(T)x$ が $H$ のノルムについて成り立つ。

証明. $E_T$ に§E12.7 定理 4.5を適用すると、準同型性、指示関数の値、行列要素の公式、ベクトルのノルムの公式、および強収束を得る。連続関数での一致は定理 1.1による。作用素ノルムの等式は§E12.7 命題 4.6 (1)を $E_T$ に適用して得られる。▨

命題 1.3. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間、 $T\in B(H)$ を正規作用素とし、 $E_T$ をそのスペクトル測度とする。このとき、 $\sigma(T)$ の空でないすべての相対開集合 $V$ について $E_T(V)\ne0$ である。

証明. $\lambda_0\in V$ をとり、 $\{\lambda\in\sigma(T):|\lambda-\lambda_0|<r\}\subseteq V$ を満たす $r>0$ をとる。 $K=\sigma(T)$ とし、

f(\lambda)=\max\{0,1-|\lambda-\lambda_0|/r\}\qquad(\lambda\in K)

とおく。 $f\in C(K)$ は $\|f\|_\infty=1$ と $f=f\mathbf1_V$ を満たす。定理 1.2 (1)により $f(T)=f(T)E_T(V)$ であり、§E12.55 定理 3.1 (1)により $\|f(T)\|=1$ である。したがって $E_T(V)=0$ ならば $f(T)=0$ と $\|f(T)\|=1$ が同時に成り立つ。よって $E_T(V)\ne0$ である。▨

系 1.4. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間とし、 $T\in B(H)$ を自己共役作用素またはユニタリ作用素とする。このとき、 $T$ の正規作用素としてのスペクトル測度は§E12.8 定理 2.2 (1)のスペクトル測度に等しい。両者から定まる連続汎関数計算と有界 Borel 汎関数計算も一致する。

証明. $T=T^*$ ならば $TT^*=T^*T$ であり、 $T$ がユニタリならば $TT^*=T^*T=I$ である。したがって、いずれの場合も $T$ は正規作用素である。§E12.8 定理 2.2 (1)の射影値測度 $F$ は $\sigma(T)$ 上で $\int\lambda\,dF(\lambda)=T$ を満たすから、定理 1.1の一意性により $F=E_T$ である。連続汎関数計算と有界 Borel 汎関数計算は、いずれもこの射影値測度に関する同じ関数の積分である。▨

例 1.5. $H=\ell^2(\NN)$ とし、 $T\in B(H)$ を

T(x_n)_{n\ge1}=\bigl((i+1/n)x_n\bigr)_{n\ge1}

で定める。このとき $T$ は正規作用素であり、 $K=\sigma(T)=\{i\}\cup\{i+1/n:n\ge1\}$ である。すべての $A\in\mathcal B(K)$ 、 $g\in B_b(K)$ 、 $x,y\in H$ に対して

E_T(A)x=\bigl(\mathbf1_A(i+1/n)x_n\bigr)_{n\ge1}, \qquad g(T)x=\bigl(g(i+1/n)x_n\bigr)_{n\ge1}

であり、

\langle g(T)x,y\rangle =\sum_{n=1}^{\infty}g(i+1/n)x_n\overline{y_n}, \qquad \|g(T)\|=\sup_{n\ge1}|g(i+1/n)|

が成り立つ。特に、 $g=\mathbf1_{\{i\}}$ は $\|g\|_\infty=1$ を満たすが、 $g(T)=E_T(\{i\})=0$ である。

証明.§E12.55 例 3.2により $T$ は正規作用素であり、そのスペクトルは $K$ である。§E12.7 例 7.2 (2)の $\NN$ 上の射影値測度を $n\mapsto i+1/n\in K$ で押し出すと、§E12.7 命題 7.1 (1)と§E12.7 命題 7.1 (2)により、

F(A)x=\bigl(\mathbf1_A(i+1/n)x_n\bigr)_{n\ge1}, \qquad \left(\int_Kg\,dF\right)x=\bigl(g(i+1/n)x_n\bigr)_{n\ge1}

を満たす $K$ 上の射影値測度 $F$ を得る。座標関数を積分すると $T$ となるから、定理 1.1の一意性により $F=E_T$ である。行列要素の級数は $\sum_n|g(i+1/n)x_n\overline{y_n}|\le\|g\|_\infty\|x\|\|y\|$ により絶対収束する。 $M=\sup_n|g(i+1/n)|$ とおくと、各 $x\in H$ について $\|g(T)x\|^2\le M^2\|x\|^2$ であるから $\|g(T)\|\le M$ である。標準基底ベクトル $e_n$ に対して $\|g(T)e_n\|=|g(i+1/n)|$ であるから、逆の不等式も成り立つ。 $g=\mathbf1_{\{i\}}$ の場合はすべての対角成分が $0$ である。▨

命題 2.1. $A$ を単位的複素 Banach 環とする。このとき、各 $a\in A$ に対し、級数

\exp(a)=e^a=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!} \qquad(a^0=1)

はノルムについて絶対収束し、次が成り立つ。

$\|e^a\|\le e^{\|a\|}$ である。 $a,b\in A$ が $ab=ba$ を満たすならば、 $e^{a+b}=e^ae^b$ である。特に $e^0=1$ であり、 $e^a$ は可逆で $(e^a)^{-1}=e^{-a}$ である。
各 $a\in A$ について $z\mapsto e^{za}$ は $\C$ 上でノルムに関して正則であり、 $\frac{d}{dz}e^{za}=ae^{za}=e^{za}a$ である。
$A$ が C* 環であるならば、 $(e^a)^*=e^{a^*}$ である。特に、非零複素 Hilbert 空間 $H$ と $a\in B(H)$ について、 $a^*=-a$ ならば $e^a$ はユニタリ作用素である。

証明. $A$ を複素 Banach 空間とみなし、各 $a\in A$ に対して $L_a\colon A\to A$ を $L_a(x)=ax$ で定める。劣乗法性から $\|L_a\|\le\|a\|$ であり、 $L_a(1)=a$ と $\|1\|=1$ から $\|L_a\|\ge\|a\|$ である。したがって、 $a\mapsto L_a$ は $A$ から $B(A)$ への単位元を保つ等長な代数準同型であり、 $A$ の完備性からその像は閉じている。部分和について

L_{\sum_{n=0}^N a^n/n!}=\sum_{n=0}^N\frac{L_a^n}{n!}

であるから、§E12.23 命題 6.1 (1)と像の閉性・等長性により、 $A$ の指数級数は収束し、 $L_{e^a}=e^{L_a}$ と $\|e^a\|\le e^{\|a\|}$ を満たす。また、 $\sum_{n=0}^{\infty}\|a^n/n!\|\le\sum_{n=0}^{\infty}\|a\|^n/n!=e^{\|a\|}$ であるから、収束は絶対収束である。

$ab=ba$ ならば $L_aL_b=L_bL_a$ であるから、§E12.23 命題 6.1 (3)を $L_a,L_b$ と $t=1$ に適用すると

L_{e^{a+b}}=e^{L_a+L_b}=e^{L_a}e^{L_b}=L_{e^ae^b}

を得る。等長性から $e^{a+b}=e^ae^b$ である。 $e^0=1$ は級数から従い、 $b=-a$ として $e^ae^{-a}=e^{-a}e^a=1$ を得る。

$z\in\C$ と $h\in\C\setminus\{0\}$ をとる。加法則と、§E12.23 命題 6.1 (1)を $L_{ha}$ に適用した剰余評価により

\frac{e^{(z+h)a}-e^{za}}h-e^{za}a =e^{za}\frac{e^{ha}-1-ha}{h}, \qquad \left\|\frac{e^{ha}-1-ha}{h}\right\| \le\frac{e^{|h|\|a\|}-1-|h|\|a\|}{|h|} \le\frac{|h|\|a\|^2}{2}e^{|h|\|a\|}

である。最後の不等式は、 $r\ge0$ に対して $\sum_{n=2}^{\infty}r^n/n!\le(r^2/2)e^r$ であることによる。剰余の評価の右辺は $h\to0$ のとき $0$ に収束するから、ノルムについて導関数が存在し、その値は $e^{za}a$ である。 $a$ は各部分和と可換であるから、極限をとると $e^{za}a=ae^{za}$ である。

$A$ が C* 環ならば、§E12.49 補題 1.4により対合は連続である。各部分和の対合をとって極限へ移ると、 $(e^a)^*=\sum_{n=0}^{\infty}(a^*)^n/n!=e^{a^*}$ となる。 $a\in B(H)$ が $a^*=-a$ を満たすならば、 $(e^a)^*=e^{-a}=(e^a)^{-1}$ であり、 $e^a$ はユニタリ作用素である。▨

定理 3.1. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間、 $T\in B(H)$ を正規作用素、 $S\in B(H)$ とする。このとき、 $ST=TS$ ならば $ST^*=T^*S$ である。さらに、 $E_T$ を $T$ のスペクトル測度とすると、すべての $A\in\mathcal B(\sigma(T))$ と $g\in B_b(\sigma(T))$ について

SE_T(A)=E_T(A)S, \qquad Sg(T)=g(T)S

が成り立つ。

証明. $ST=TS$ とし、 $z\in\C$ に対して

F(z)=e^{zT^*}Se^{-zT^*}

とおく。命題 2.1 (2)と積の連続性により $F$ はノルムに関して正則であり、 $F'(0)=T^*S-ST^*$ である。 $ST=TS$ から $S$ は $T$ のすべてのべきと可換であり、指数級数のノルム収束から $e^{-\bar zT}Se^{\bar zT}=S$ である。 $T$ は正規であるから、 $zT^*$ と $-\bar zT$ は可換であり、命題 2.1 (1)により

F(z) =e^{zT^*}e^{-\bar zT}Se^{\bar zT}e^{-zT^*} =e^{zT^*-\bar zT}Se^{\bar zT-zT^*}

である。 $A_z=zT^*-\bar zT$ とおくと $A_z^*=-A_z$ であるから、命題 2.1 (3)により $e^{A_z}$ はユニタリであり、 $e^{-A_z}=(e^{A_z})^*$ である。したがって $\|F(z)\|=\|S\|$ である。

$x,y\in H$ をとる。内積は第1変数について線形で連続であるから、 $z\mapsto\langle F(z)x,y\rangle$ は $\C$ 上で正則であり、絶対値は $\|S\|\|x\|\|y\|$ 以下である。§E5.9 定理 4.1によりこの関数は定数である。その $0$ における導関数は $\langle(T^*S-ST^*)x,y\rangle$ であるから、すべての $x,y\in H$ について $\langle(T^*S-ST^*)x,y\rangle=0$ であり、 $T^*S=ST^*$ である。

§E12.55 定理 3.1 (4)により $S$ はすべての連続汎関数計算の値と可換である。連続汎関数計算へ§E12.7 定理 6.2 (2)を適用し、定理 1.1の一意性を用いると、 $S$ はすべての $E_T(A)$ および $g(T)$ と可換である。▨

例 3.2. $H=\ell^2(\NN)$ とし、片側シフト $U\in B(H)$ を

U(x_1,x_2,x_3,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots)

で定める。このとき、 $S=T=U$ は $ST=TS$ を満たすが、 $ST^*\ne T^*S$ である。したがって定理 3.1から $T$ の正規性の仮定を外すことはできない。

証明.§E12.1 例 2.9により、 $U$ は有界作用素であり、 $UU^*\ne U^*U$ を満たすから正規でない。 $S=T=U$ とおくと、 $ST=TS=U^2$ であるが、 $ST^*=UU^*\ne U^*U=T^*S$ である。▨

§E12.56スペクトル定理 III

1 射影値測度による表現

2 指数級数

3 Fuglede の定理

前提記事