§E12.33Pták 空間

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実数体または複素数体上の局所凸空間の連続双対の部分集合が＊弱閉集合であるかを判定するには、同程度連続集合との交わりについての情報から、部分集合全体の閉性を導く条件が必要である。Pták 空間とは、連続双対の線形部分空間について、各零近傍の極集合との交わりの＊弱閉性から、その線形部分空間の＊弱閉性が従う Hausdorff 局所凸空間である。例えば Banach 空間は Pták 空間であり、Pták 空間は樽型空間との間の閉グラフ定理や開写像定理を考えるうえで重要なクラスである。本記事では、双対における閉性の判定と Pták 空間の基本的な性質について解説する。

1 同程度連続集合による閉性の判定

補題 1.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の Fréchet 空間とする。EEの前コンパクト集合の上の一様収束位相をτpc\tau_{\mathrm{pc}}と書く。このとき、部分集合A⊆E′A\subseteq E'がτpc\tau_{\mathrm{pc}}に関して閉集合であるための必要十分条件は、EEの任意の零近傍UUについてA∩U∘A\cap U^\circがσ(E′,E)\sigma(E',E)に関して閉集合であることである。

証明.AAがτpc\tau_{\mathrm{pc}}に関して閉集合であるとする。§E12.32 補題 3.1 (2)により、A∩U∘A\cap U^\circはU∘U^\circの＊弱位相による部分空間位相に関して閉集合である。U∘U^\circ自体も§E12.28 命題 1.3 (1)により＊弱閉集合であるから、A∩U∘A\cap U^\circはE′E'の＊弱閉集合である。

逆に、すべての零近傍UUについてA∩U∘A\cap U^\circが＊弱閉集合であるとし、f0∈E′∖Af_0\in E'\setminus Aをとる。B=A−f0B=A-f_0とおく。U∘+{f0}U^\circ+\{f_0\}は同程度連続であるから、U∘+{f0}⊆V∘U^\circ+\{f_0\}\subseteq V^\circを満たす零近傍VVが存在する。したがって

B∩U∘=((A∩V∘)∩(f0+U∘))−f0B\cap U^\circ=\bigl((A\cap V^\circ)\cap(f_0+U^\circ)\bigr)-f_0

は＊弱閉集合であり、0∉B0\notin Bである。

EEの減少する零近傍基(Un)n∈N≥1(U_n)_{n\in\NN}をとり、Kn=Un∘K_n=U_n^\circとおく。(Kn)(K_n)は増大列であり、各連続線形汎関数に対して、その絶対値が11以下となる零近傍が存在するから、E′=⋃n∈N≥1KnE'=\bigcup_{n\in\NN}K_nである。§E12.29 定理 3.1により各KnK_nは＊弱コンパクトである。

g∈B∩K1g\in B\cap K_1についてg≠0g\ne0であるから、∣g(x)∣>1\lvert g(x)\rvert>1を満たすx∈Ex\in Eが存在する。B∩K1B\cap K_1の＊弱コンパクト性から、有限集合F0⊆EF_0\subseteq Eであって

B∩K1∩F0∘=∅B\cap K_1\cap F_0^\circ=\varnothing

を満たすものが存在する。B∩K1=∅B\cap K_1=\varnothingの場合はF0=∅F_0=\varnothingとする。

n∈N≥1n\in\NNとし、有限集合F0,…,Fn−1F_0,\ldots,F_{n-1}が

B∩Kn∩⋂j=0n−1Fj∘=∅B\cap K_n\cap\bigcap_{j=0}^{n-1}F_j^\circ=\varnothing

を満たすとする。＊弱コンパクト集合

Rn=B∩Kn+1∩⋂j=0n−1Fj∘R_n=B\cap K_{n+1}\cap\bigcap_{j=0}^{n-1}F_j^\circ

はKnK_nと交わらない。各g∈Rng\in R_nはUn∘U_n^\circに属さないから、∣g(x)∣>1\lvert g(x)\rvert>1を満たすx∈Unx\in U_nが存在する。RnR_nの＊弱コンパクト性により、有限集合Fn⊆UnF_n\subseteq U_nであってRn∩Fn∘=∅R_n\cap F_n^\circ=\varnothingを満たすものをとることができる。Rn=∅R_n=\varnothingの場合はFn=∅F_n=\varnothingとする。この構成によって、すべてのn∈N≥1n\in\NNについて

B∩Kn+1∩⋂j=0nFj∘=∅B\cap K_{n+1}\cap\bigcap_{j=0}^{n}F_j^\circ=\varnothing

が成り立つ。

K={0}∪⋃n≥0FnK=\{0\}\cup\bigcup_{n\geq0}F_nとおく。KKの開被覆のうち00を含む一つの開集合は、十分大きいnnに対するUnU_nを含む。したがって、その開集合に含まれないKKの点は有限個である。ゆえにKKはコンパクトであり、前コンパクトである。任意のg∈Bg\in Bに対してg∈Kng\in K_nを満たすn∈N≥1n\in\NNが存在するので、上の構成からg∉K∘g\notin K^\circである。K∘K^\circはτpc\tau_{\mathrm{pc}}の零近傍であるから、f0+K∘f_0+K^\circはAAと交わらないf0f_0の近傍である。f0∉Af_0\notin Aは任意であったから、AAはτpc\tau_{\mathrm{pc}}に関して閉集合である。▨

定理 1.2 (Banach–Dieudonné の定理).K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の Fréchet 空間とする。このとき、E′E'上の位相のうち、任意の同程度連続集合に誘導する位相がσ(E′,E)\sigma(E',E)による部分空間位相に等しいものには、最も細かい位相が存在する。その位相は、EEの前コンパクト集合の上の一様収束位相τpc\tau_{\mathrm{pc}}に等しい。

証明.§E12.32 補題 3.1 (2)により、τpc\tau_{\mathrm{pc}}は各同程度連続集合の上でσ(E′,E)\sigma(E',E)と一致する。θ\thetaを同じ性質を持つE′E'上の位相とし、AAをθ\thetaに関する閉集合とする。任意の零近傍U⊆EU\subseteq Eについて、A∩U∘A\cap U^\circはU∘U^\circの＊弱位相による部分空間位相に関して閉集合である。U∘U^\circは＊弱閉集合であるから、A∩U∘A\cap U^\circはE′E'の＊弱閉集合である。補題 1.1によりAAはτpc\tau_{\mathrm{pc}}に関して閉集合である。したがってθ⊆τpc\theta\subseteq\tau_{\mathrm{pc}}である。▨

2 凸集合の＊弱閉性

定理 2.1 (Krein–Šmulian の定理).K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の Fréchet 空間とし、C⊆E′C\subseteq E'を凸集合とする。このとき、CCがσ(E′,E)\sigma(E',E)に関して閉集合であるための必要十分条件は、任意の零近傍U⊆EU\subseteq EについてC∩U∘C\cap U^\circがσ(E′,E)\sigma(E',E)に関して閉集合であることである。

証明.K⊆EK\subseteq Eを前コンパクト集合とする。§E12.30 定理 4.2 (1)により、KKの閉絶対凸包DDはEEでコンパクトであり、したがってσ(E,E′)\sigma(E,E')に関してもコンパクトである。pK≤pDp_K\leq p_Dであるから、前コンパクト集合上の一様収束位相は

σ(E′,E)⊆τpc⊆τ(E′,E)\sigma(E',E)\subseteq\tau_{\mathrm{pc}}\subseteq\tau(E',E)

を満たす。左の包含は§E12.32 補題 3.1 (1)による。§E12.29 定理 6.2 (2)により、τpc\tau_{\mathrm{pc}}は双対対(E′,E)(E',E)と両立する。

C∩U∘C\cap U^\circがすべて＊弱閉集合ならば、補題 1.1によりCCはτpc\tau_{\mathrm{pc}}に関して閉集合である。CCは凸であるから、§E12.30 定理 1.1 (1)によりCCは＊弱閉集合である。逆に、CCが＊弱閉集合ならば、§E12.28 命題 1.3 (1)によりC∩U∘C\cap U^\circも＊弱閉集合である。▨

定義 2.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、XXをK\mathbb K上の Banach 空間とし、BX∗={f∈X∗∣∥f∥≤1}B_{X^*}=\{f\in X^*\mid\lVert f\rVert\leq1\}とする。X∗X^*の部分集合AAが閉集合であることを、任意の実数r>0r>0についてA∩rBX∗A\cap rB_{X^*}が＊弱閉集合であることによって定める位相を、X∗X^*の 有界＊弱位相 (bounded weak-star topology) という。閉集合の公理は、各rBX∗rB_{X^*}の＊弱位相に関する閉集合の公理から従う。

系 2.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、XXをK\mathbb K上の Banach 空間とする。このとき、X∗X^*の有界＊弱位相は、各ノルム有界集合の上で＊弱位相と一致する最も細かい位相であり、XXの前コンパクト集合の上の一様収束位相に等しい。凸集合C⊆X∗C\subseteq X^*が＊弱閉集合であるための必要十分条件は、任意の実数r>0r>0についてC∩rBX∗C\cap rB_{X^*}が＊弱閉集合であることである。

証明.H⊆X∗H\subseteq X^*が同程度連続であることは、ある実数δ>0\delta>0が存在して、∥x∥<δ\lVert x\rVert<\deltaを満たすすべてのx∈Xx\in Xとすべてのf∈Hf\in Hに対して∣f(x)∣≤1\lvert f(x)\rvert\leq1が成り立つことに等しい。双対ノルムの定義から、この条件はHHのノルム有界性に等しい。さらに§E12.28 命題 1.4により、各rBX∗rB_{X^*}はXXの零近傍の極集合であり、任意の零近傍UUに対して、U∘⊆rBX∗U^\circ\subseteq rB_{X^*}を満たす実数r>0r>0が存在する。各零近傍の極集合も＊弱閉集合であるから、各rBX∗rB_{X^*}との交わりが＊弱閉であるという条件は、各零近傍の極集合との交わりが＊弱閉であるという条件に等しい。XXは Fréchet 空間であるから、位相の主張は補題 1.1と定理 1.2により、凸集合の主張は定理 2.1により従う。▨

例 2.4.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、X=ℓ1(K)X=\ell^1(\mathbb K)とする。各n∈N≥1n\in\NNに対して、座標汎関数δn ⁣:X→K\delta_n\colon X\to\mathbb Kをδn(x)=xn\delta_n(x)=x_nで定め、A={nδn∣n∈N≥1}⊆X∗A=\{n\delta_n\mid n\in\NN\}\subseteq X^*とおく。このとき、AAは非凸集合であり、任意の実数r>0r>0に対するA∩rBX∗A\cap rB_{X^*}は＊弱閉集合であるが、AA自体は＊弱閉集合でない。したがって、系 2.3の閉性の判定から凸性の仮定を外すことはできない。

証明. 各n∈N≥1n\in\NNに対して、∣δn(x)∣≤∥x∥1\lvert\delta_n(x)\rvert\leq\lVert x\rVert_1がすべてのx∈Xx\in Xについて成り立つ。第nn項が11で他の項が00である数列をene_nとおくと、∥en∥1=1\lVert e_n\rVert_1=1かつδn(en)=1\delta_n(e_n)=1である。したがってδn∈X∗\delta_n\in X^*かつ∥δn∥=1\lVert\delta_n\rVert=1であり、∥nδn∥=n\lVert n\delta_n\rVert=nである。ゆえにA∩rBX∗={nδn∣n∈N≥1, n≤r}A\cap rB_{X^*}=\{n\delta_n\mid n\in\NN,\ n\leq r\}は有限集合である。＊弱位相は Hausdorff であるから、この有限集合は＊弱閉集合である。

00の＊弱近傍は、有限個のx1,…,xm∈Xx^1,\ldots,x^m\in Xと実数ε>0\varepsilon>0によって定まる集合

V={f∈X∗∣∣f(xj)∣<ε(1≤j≤m)}V=\{f\in X^*\mid\lvert f(x^j)\rvert<\varepsilon\quad(1\leq j\leq m)\}

を含む。bn=∑j=1m∣xnj∣b_n=\sum_{j=1}^m\lvert x_n^j\rvertとおくと、∑n=1∞bn=∑j=1m∥xj∥1<∞\sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{j=1}^m\lVert x^j\rVert_1<\inftyである。すべてのn∈N≥1n\in\NNについてnbn≥εnb_n\geq\varepsilonならば、bn≥ε/nb_n\geq\varepsilon/nと調和級数の発散から∑n=1∞bn=∞\sum_{n=1}^\infty b_n=\inftyとなり、上の有限性に反する。したがってnbn<εnb_n<\varepsilonを満たすn∈N≥1n\in\NNが存在する。このnnについて、すべてのjjに対して

∣(nδn)(xj)∣=n∣xnj∣≤nbn<ε\lvert(n\delta_n)(x^j)\rvert=n\lvert x_n^j\rvert\leq nb_n<\varepsilon

であるから、nδn∈A∩Vn\delta_n\in A\cap Vである。ゆえに00はAAの＊弱閉包に属するが、0∉A0\notin Aであるから、AAは＊弱閉集合でない。

δ1,2δ2∈A\delta_1,2\delta_2\in Aの中点は、e1e_1とe2e_2の両方で零でない値をとる。一方、AAの各元が零でない値をとるene_nは一つだけであるから、この中点はAAに属さない。したがってAAは凸集合でない。▨

3 Pták 性とその遺伝

定義 3.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の Hausdorff 局所凸空間とする。任意の線形部分空間Q⊆E′Q\subseteq E'について、すべての零近傍U⊆EU\subseteq Eに対するQ∩U∘Q\cap U^\circがσ(E′,E)\sigma(E',E)に関して閉集合ならばQQ自体もσ(E′,E)\sigma(E',E)に関して閉集合であるとき、EEを Pták 空間 (Pták space) という。

系 3.2. 実数体または複素数体上の Fréchet 空間は Pták 空間である。特に、Banach 空間は Pták 空間である。

証明. 連続双対の線形部分空間は凸集合であるから、定理 2.1を適用することができる。Banach 空間は Fréchet 空間である。▨

命題 3.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の Pták 空間とし、MMをEEの閉線形部分空間とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 部分空間位相を入れたMMは Pták 空間である。
  2. 商位相を入れたE/ME/Mは Pták 空間である。

証明.r ⁣:E′→M′r\colon E'\to M'を制限写像とする。§E12.17 定理 3.1 (2)によりrrは全射であり、§E12.27 命題 7.2 (4)を包含写像M→EM\to Eに適用するとrrは＊弱位相について連続である。Q⊆M′Q\subseteq M'を、MMのすべての零近傍WWについてQ∩W∘Q\cap W^\circが＊弱閉集合であるような線形部分空間とする。EEの零近傍UUについて

r−1(Q)∩U∘=r−1(Q∩(U∩M)∘)∩U∘r^{-1}(Q)\cap U^\circ=r^{-1}\bigl(Q\cap(U\cap M)^\circ\bigr)\cap U^\circ

であるから、左辺はσ(E′,E)\sigma(E',E)に関して閉集合である。EEの Pták 性によりL=r−1(Q)L=r^{-1}(Q)は＊弱閉集合である。

N=L⊥⊆EN=L_\perp\subseteq Eとおく。M⊥⊆LM^\perp\subseteq Lであり、§E12.28 系 3.1 (1)と§E12.30 定理 1.1 (2)により(M⊥)⊥=M(M^\perp)_\perp=Mであるから、N⊆MN\subseteq Mである。同じ双極定理からL=N⊥L=N^\perpであり、rrの全射性により

Q={h∈M′∣すべての x∈N について h(x)=0}Q=\{h\in M'\mid\text{すべての }x\in N\text{ について }h(x)=0\}

となる。したがってQQはσ(M′,M)\sigma(M',M)に関して閉集合であり、主張 (1)が従う。

q ⁣:E→E/Mq\colon E\to E/Mを商写像とする。§E12.19 命題 1.2 (4)と§E12.19 命題 1.2 (6)によりE/ME/Mは Hausdorff 局所凸空間である。§E12.19 命題 1.2 (3)により、q′ ⁣:(E/M)′→E′q'\colon(E/M)'\to E'はM⊥M^\perpへの線形全単射である。等式(q′h)(x)=h(qx)(q'h)(x)=h(qx)とqqの全射性から、q′q'は＊弱位相を入れた(E/M)′(E/M)'と、M⊥M^\perpに＊弱位相の部分空間位相を入れた空間との同相写像である。

Q⊆(E/M)′Q\subseteq(E/M)'を、任意の零近傍W⊆E/MW\subseteq E/MについてQ∩W∘Q\cap W^\circが＊弱閉集合であるような線形部分空間とする。§E12.19 命題 1.2 (1)により、EEの零近傍UUに対してq(U)q(U)はE/ME/Mの零近傍である。したがって

q′(Q)∩U∘=q′(Q∩q(U)∘)q'(Q)\cap U^\circ=q'\bigl(Q\cap q(U)^\circ\bigr)

はM⊥M^\perpの＊弱位相による部分空間位相に関して閉集合である。M⊥M^\perpはE′E'の＊弱閉集合であるから、左辺はE′E'の＊弱閉集合である。EEの Pták 性からq′(Q)q'(Q)は＊弱閉集合であり、q′q'による逆像QQも＊弱閉集合である。これで主張 (2)は示された。▨

4 閉グラフ定理と開写像定理

補題 4.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の局所凸空間、FFをK\mathbb K上の Hausdorff 局所凸空間とし、T ⁣:E→FT\colon E\to Fを線形写像とする。このとき、TTのグラフが積位相について閉集合であるならば、線形部分空間

Q={f∈F′∣f∘T∈E′}Q=\{f\in F'\mid f\circ T\in E'\}

はσ(F′,F)\sigma(F',F)に関してF′F'で稠密である。

証明.0≠y∈F0\ne y\in Fとすると、(0,y)(0,y)はTTのグラフGGに属さない。§E12.18 系 2.4 (1)をE×FE\times Fの閉線形部分空間GGに適用すると、Φ∣G=0\Phi|_G=0かつΦ(0,y)=1\Phi(0,y)=1を満たすΦ∈(E×F)′\Phi\in(E\times F)'が存在する。e′(x)=Φ(x,0)e'(x)=\Phi(x,0)、f(z)=Φ(0,z)f(z)=\Phi(0,z)とおけばe′∈E′e'\in E'、f∈F′f\in F'であり、Φ(x,z)=e′(x)+f(z)\Phi(x,z)=e'(x)+f(z)である。Φ∣G=0\Phi|_G=0からf∘T=−e′f\circ T=-e'であり、f∈Qf\in Qかつf(y)=1f(y)=1である。ゆえにQ⊥={0}Q_\perp=\{0\}であり、§E12.28 系 3.1 (1)によりQQの＊弱閉包はF′F'である。▨

定理 4.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の樽型な局所凸空間、FFをK\mathbb K上の Pták 空間とし、T ⁣:E→FT\colon E\to Fを線形写像とする。このとき、TTのグラフがE×FE\times Fの積位相について閉集合であるならば、TTは連続である。

証明.Q={f∈F′∣f∘T∈E′}Q=\{f\in F'\mid f\circ T\in E'\}とおく。補題 4.1によりQQはσ(F′,F)\sigma(F',F)に関して稠密である。VVをFFの零近傍とし、

HV={f∘T∣f∈Q∩V∘}⊆E′H_V=\{f\circ T\mid f\in Q\cap V^\circ\}\subseteq E'

とおく。各x∈Ex\in Eについて、VVの吸収性からTx∈tVTx\in tVを満たす実数t>0t>0が存在し、すべてのf∈V∘f\in V^\circに対して∣f(Tx)∣≤t\lvert f(Tx)\rvert\leq tである。したがってHVH_Vは各点有界であり、§E12.20 定理 2.4により同程度連続である。HV⊆U∘H_V\subseteq U^\circを満たすEEの零近傍UUをとる。

ffをQ∩V∘Q\cap V^\circのσ(F′,F)\sigma(F',F)に関する閉包の元とする。V∘V^\circは＊弱閉集合であるからf∈V∘f\in V^\circである。各x∈Ux\in Uに対してg↦g(Tx)g\mapsto g(Tx)は＊弱連続であり、すべてのg∈Q∩V∘g\in Q\cap V^\circについて∣g(Tx)∣≤1\lvert g(Tx)\rvert\leq1であるから、∣f(Tx)∣≤1\lvert f(Tx)\rvert\leq1である。線形汎関数f∘Tf\circ Tは零近傍UUの上で有界であるから連続であり、f∈Qf\in Qである。ゆえにQ∩V∘Q\cap V^\circは＊弱閉集合である。FFの Pták 性によりQQは＊弱閉集合であり、稠密性と合わせてQ=F′Q=F'を得る。

VVをFFの閉かつ絶対凸な零近傍とする。Q=F′Q=F'であるから、第一段で得た同程度連続性により、ある零近傍U⊆EU\subseteq Eが存在して、すべてのf∈V∘f\in V^\circとすべてのx∈Ux\in Uに対して∣f(Tx)∣≤1\lvert f(Tx)\rvert\leq1が成り立つ。§E12.32 補題 1.1 (2)により(V∘)∘=V(V^\circ)_\circ=VであるからT(U)⊆VT(U)\subseteq Vである。§E12.32 補題 1.1 (1)により、このようなVVはFFの零近傍基をなす。したがってTTは00で連続であり、線形性から連続である。▨

定理 4.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の Pták 空間、FFをK\mathbb K上の樽型な Hausdorff 局所凸空間とする。このとき、連続線形全射T ⁣:E→FT\colon E\to Fは開写像である。

証明.N=ker⁡TN=\ker Tとおく。FFが Hausdorff でありTTが連続であるから、NNはEEの閉線形部分空間である。命題 3.3 (2)によりE/NE/Nは Pták 空間である。商写像をq ⁣:E→E/Nq\colon E\to E/Nとすると、§E12.19 命題 1.2 (3)によりT=S∘qT=S\circ qを満たす線形全単射S ⁣:E/N→FS\colon E/N\to Fは連続である。

SSのグラフは、連続写像(z,y)↦Sz−y(z,y)\mapsto Sz-yによる{0}\{0\}の逆像であるから閉集合である。座標の交換によりS−1 ⁣:F→E/NS^{-1}\colon F\to E/Nのグラフも閉集合である。定理 4.2によりS−1S^{-1}は連続であり、SSは開写像である。§E12.19 命題 1.2 (1)によりqqも開写像であるから、T=S∘qT=S\circ qは開写像である。▨

注意 4.4. Fréchet 空間は§E12.20 系 1.5により樽型であり、系 3.2により Pták 空間である。したがって、Fréchet 空間の間の写像に対しては定理 4.2と定理 4.3を適用することができる。この場合の結論は§E12.21 定理 2.4と§E12.21 定理 2.1に含まれる。後二者は局所凸性を仮定しない F 空間についても成り立つ。

例 4.5.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、c00c_{00}を有限個の項だけが零でないK\mathbb K値数列の空間とし、上限ノルム∥x∥∞=sup⁡n∣xn∣\lVert x\rVert_\infty=\sup_n\lvert x_n\rvertを入れる。このとき、Banach 空間ℓ1\ell^1を終域とする線形写像

T ⁣:c00⟶ℓ1,(Tx)n=nxnT\colon c_{00}\longrightarrow\ell^1,\qquad (Tx)_n=nx_n

は、グラフが積位相について閉集合であるが連続でない。終域ℓ1\ell^1は系 3.2により Pták 空間であり、定義域c00c_{00}は§E12.20 例 4.2により樽型でない。

証明. 各x∈c00x\in c_{00}についてTxTxも有限個の項だけが零でないからTx∈ℓ1Tx\in\ell^1である。各n∈N≥1n\in\NNに対して写像(x,y)↦yn−nxn(x,y)\mapsto y_n-nx_nはc00×ℓ1c_{00}\times\ell^1の積位相について連続であり、

GT=⋂n∈N≥1{(x,y)∈c00×ℓ1∣yn−nxn=0}G_T=\bigcap_{n\in\NN}\{(x,y)\in c_{00}\times\ell^1\mid y_n-nx_n=0\}

であるからGTG_Tは閉集合である。第nn項が11で他の項が00である数列をene_nとおくと、∥n−1en∥∞=n−1→0\lVert n^{-1}e_n\rVert_\infty=n^{-1}\to0であるが、∥T(n−1en)∥1=∥en∥1=1\lVert T(n^{-1}e_n)\rVert_1=\lVert e_n\rVert_1=1である。したがってTTは連続でない。▨

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