§E12.30Mazur の定理

証明.$y\in F$とする。$\tau$は双対対$(E,F)$と両立するから$\langle\cdot,y\rangle\in(E,\tau)'$であり、$\langle\cdot,y\rangle$は$\tau$に関して連続である。§E2.12 命題 3.3 (2)により$\sigma(E,F)\subseteq\tau$であるから、$\sigma(E,F)$に関する$E$の閉集合は$\tau$に関する閉集合である。

主張 (1)を示す。必要性を示す。$C$が$\tau$に関して閉集合であるとする。$(E,\tau)$は局所凸空間であるから、§E12.18 系 2.3 (2)により、$C$は、$f\in(E,\tau)'$と実数$c$により$\{x\in E\mid\Re f(x)\leq c\}$と書かれる集合のうち$C$を含むものすべての共通部分に等しい。そのような$f$と$c$をとる。$\tau$は双対対$(E,F)$と両立するから、すべての$x\in E$について$f(x)=\langle x,y\rangle$を満たす$y\in F$が存在する。§E12.27 命題 2.2 (3)により$\langle\cdot,y\rangle$は$\sigma(E,F)$に関して連続であり、$\Re\colon\mathbb K\to\R$は連続であるから、§E2.12 命題 1.10により$\Re f$は$\sigma(E,F)$に関して連続である。§E2.12 命題 1.6 (2)により$\{x\in E\mid\Re f(x)\leq c\}$は$\sigma(E,F)$に関して閉集合である。§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により、それらの共通部分$C$は$\sigma(E,F)$に関して閉集合である。十分性は第一段から従う。二つの位相$\tau_1,\tau_2$についての主張は、前半を$\tau_1$と$\tau_2$のそれぞれに適用すると従う。

主張 (2)を示す。$C$の$\tau$に関する閉包を$C_\tau$、$\sigma(E,F)$に関する閉包を$C_\sigma$とする。第一段により$C_\sigma$は$\tau$に関して閉集合であり、$C$を含むから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$C_\tau\subseteq C_\sigma$である。$(E,\tau)$は位相線形空間であるから、§E12.16 補題 1.6 (3)により$C_\tau$は凸である。$C_\tau$は$\tau$に関して閉集合であるから、主張 (1)により$\sigma(E,F)$に関して閉集合であり、$C$を含むから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$C_\sigma\subseteq C_\tau$である。▨

証明.主張 (1)を示す。§E12.27 命題 1.2 (2)により、$(E,E')$は$\langle x,f\rangle=f(x)$について双対対である。$E$の位相を$\tau_E$とすると、$(E,\tau_E)$は局所凸空間であり、$(E,\tau_E)'=E'=\{\langle\cdot,f\rangle\mid f\in E'\}$であるから、$\tau_E$は双対対$(E,E')$と両立する。定理 1.1を$\tau=\tau_E$に適用すればよい。

主張 (2)を示す。§E12.16 命題 2.10により、$X$はノルムが定める位相について Hausdorff 局所凸空間であり、$X'=X^*$である。§E12.27 定義 4.2により$\sigma(X,X^*)$は$X$の弱位相であるから、主張 (1)を$E=X$に適用すればよい。▨

証明.主張 (1)を示す。$n\in\NN$とする。$a=\sum_{k=n}^mt_kx_k$と$b=\sum_{k=n}^{m'}t'_kx_k$を$C_n$の元とする。$m\leq m'$としてよく、$m<k\leq m'$について$t_k=0$とおくと$a=\sum_{k=n}^{m'}t_kx_k$である。$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$について$(1-s)a+sb=\sum_{k=n}^{m'}((1-s)t_k+st'_k)x_k$であり、係数$(1-s)t_k+st'_k$は非負で和が$1$であるから、$(1-s)a+sb\in C_n$である。ゆえに$C_n$は凸である。$k\geq n$ならば$x_k\in C_n$である。$W$を$\sigma(E,F)$に関する$x$の近傍とすると、$(x_k)_{k\in\NN}$は$\sigma(E,F)$に関して$x$に収束するから、$x_k\in W$を満たす$k\geq n$が存在し、$W\cap C_n\neq\emptyset$である。§E2.11 命題 7.2 (2)により$x$は$C_n$の$\sigma(E,F)$に関する閉包に属し、定理 1.1 (2)により$C_n$の$\tau$に関する閉包に属する。

主張 (2)を示す。$n\in\NN$とする。§E12.29 例 6.3によりノルムが定める位相は双対対$(E,E^*)$と両立し、§E12.27 定義 4.2により$\sigma(E,E^*)$は弱位相である。主張 (1)により、$x$は$C_n$のノルムが定める位相に関する閉包に属する。$\{z\in E\mid\lVert z-x\rVert<1/n\}$はノルムが定める位相に関する$x$の近傍であるから、§E2.11 命題 7.2 (2)により$C_n$と交わり、その共通部分の元$y_n$は$y_n\in C_n$と$\lVert y_n-x\rVert<1/n$を満たす。$\lVert y_n-x\rVert<1/n\to0$であるから、$(y_n)_{n\in\NN}$はノルムが定める位相に関して$x$に収束する。▨

証明.主張 (1)を示す。$a$を実数とし、$L_a=\{x\in E\mid\varphi(x)\leq a\}$とおく。$x,y\in L_a$と$0<s<1$を満たす実数$s$について、$\varphi(x),\varphi(y)\leq a$であるから$\varphi((1-s)x+sy)\leq(1-s)\varphi(x)+s\varphi(y)\leq a$であり、$(1-s)x+sy\in L_a$である。$s=0$と$s=1$のときは$(1-s)x+sy$は$x$または$y$である。ゆえに$L_a$は凸である。仮定により$L_a$は$\tau$に関して閉集合であるから、定理 1.1 (1)により$\sigma(E,F)$に関して閉集合である。

主張 (2)を示す。§E12.29 例 6.3によりノルムが定める位相は双対対$(X,X^*)$と両立し、§E12.27 定義 4.2により$\sigma(X,X^*)$は弱位相であるから、主張 (1)により、各実数$a$について$L_a=\{z\in X\mid\varphi(z)\leq a\}$は弱位相に関して閉集合である。$x_n\rightharpoonup x$とし、$\liminf_{n\to\infty}\varphi(x_n)<\varphi(x)$と仮定する。$\liminf_{n\to\infty}\varphi(x_n)<a<\varphi(x)$を満たす実数$a$をとると、無限個の$n$について$\varphi(x_n)<a$である。$W$を弱位相に関する$x$の近傍とすると、$n\geq N$を満たすすべての$n$について$x_n\in W$となる$N\in\NN$が存在し、$n\geq N$かつ$\varphi(x_n)<a$を満たす$n$について$x_n\in W\cap L_a$である。§E2.11 命題 7.2 (2)により$x$は$L_a$の弱位相に関する閉包に属し、$L_a$は弱位相に関して閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (2)により$x\in L_a$であり、$\varphi(x)\leq a$である。これは$a<\varphi(x)$と両立しない。ゆえに$\varphi(x)\leq\liminf_{n\to\infty}\varphi(x_n)$である。

主張 (3)を示す。$x,y\in X$と$0<s<1$を満たす実数$s$について$\lVert(1-s)x+sy\rVert\leq(1-s)\lVert x\rVert+s\lVert y\rVert$であるから、ノルムは$X$上の凸汎関数である。$\bigl\lvert\lVert x\rVert-\lVert y\rVert\bigr\rvert\leq\lVert x-y\rVert$であるからノルムはノルムが定める位相に関して連続であり、§E2.12 命題 1.6 (2)により、各実数$a$について$\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq a\}$は閉集合であるから、ノルムは下半連続である。主張 (2)を$\varphi=\lVert\cdot\rVert$に適用すればよい。▨

証明.$m=\inf_{x\in C}\varphi(x)$とおく。$K_c\neq\emptyset$であるから$m\in[-\infty,c]$である。$j\in\NN$について、$m=-\infty$ならば$a_j=c-j+1$とおき、$m$が実数ならば$a_j=m+(c-m)/j$とおく。いずれの場合も、$a_1=c$であり、すべての$j$について$a_{j+1}\leq a_j$かつ$m\leq a_j$である。$L_j=\{x\in C\mid\varphi(x)\leq a_j\}$とおく。$a_j>m$ならば、$\inf$の定義により$\varphi(x)<a_j$を満たす$x\in C$が存在するから$L_j\neq\emptyset$である。$a_j=m$ならば$m$は実数であり、$a_j=m+(c-m)/j$により$m=c$であるから、$L_j=K_c\neq\emptyset$である。$L_1=K_c$であり、すべての$j$について$L_{j+1}\subseteq L_j\subseteq K_c$である。

定理 1.1 (1)により$C$は$\sigma(E,F)$に関して閉集合であり、系 3.2 (1)により$\{x\in E\mid\varphi(x)\leq a_j\}$は$\sigma(E,F)$に関して閉集合であるから、§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により$L_j$は$\sigma(E,F)$に関して閉集合である。$K_c$に$\sigma(E,F)$から受ける部分空間位相を入れると、$K_c$はコンパクト空間であり、§E2.12 命題 4.6により各$L_j=L_j\cap K_c$は$K_c$の空でない閉集合である。§E2.19 系 3.3により、すべての$j$について$x_0\in L_j$を満たす$x_0$が存在する。$x_0\in C$であり、すべての$j$について$\varphi(x_0)\leq a_j$である。

$m=-\infty$と仮定すると、すべての$j$について$\varphi(x_0)\leq c-j+1$であるから、$\varphi(x_0)$はどの実数よりも小さい。一方、$\varphi(x_0)\in(-\infty,\infty]$である。この二つは両立しないから、$m$は実数である。$a_j\to m$であるから$\varphi(x_0)\leq m$であり、$x_0\in C$により$m\leq\varphi(x_0)$である。ゆえに$\varphi(x_0)=m$は実数であり、すべての$x\in C$について$\varphi(x_0)\leq\varphi(x)$である。▨

証明.$R\colon H\to H^*$を$(Ry)(x)=\langle x,y\rangle$で定める。§E10.5 系 1.2により$R$は全単射かつ等長であるから、$S=R^{-1}\colon H^*\to H$とおくと、$S(B_{H^*})=B_H$である。ここで$B_{H^*}=\{f\in H^*\mid\lVert f\rVert\leq1\}$である。

$g\in H^*$とし、$z=Sg$とおくと$g=Rz$である。$f\in H^*$について、$Sf=y$とおくと$f=Ry$であり、

である。§E12.27 定義 4.2により＊弱位相$\sigma(H^*,H)$は写像$f\mapsto f(z)$（$z\in H$）の族による始位相であるから、§E2.12 命題 3.3 (1)により$f\mapsto f(z)$は$\sigma(H^*,H)$に関して連続である。複素共役$\mathbb K\to\mathbb K$は連続であるから、§E2.12 命題 1.10により$f\mapsto g(Sf)$は$\sigma(H^*,H)$に関して連続である。双対対$(H,H^*)$は$x\in H$と$g\in H^*$の対に値$g(x)$を対応させるから、§E12.27 命題 2.2 (4)により$S$は$(H^*,\sigma(H^*,H))$から$(H,\sigma(H,H^*))$への連続写像である。

§E12.29 系 4.3により$B_{H^*}$は$\sigma(H^*,H)$に関してコンパクトである。$S$の$B_{H^*}$への制限は、$B_{H^*}$に$\sigma(H^*,H)$から受ける部分空間位相を入れると連続であるから、§E2.19 定理 4.2により$S(B_{H^*})=B_H$は$\sigma(H,H^*)$に関してコンパクトである。▨

証明.§E12.29 例 6.3により、ノルムが定める位相は双対対$(H,H^*)$と両立する。$c=\varphi(x_1)$とおくと$c$は実数であり、$K_c=\{x\in C\mid\varphi(x)\leq c\}$は$x_1$を含む。仮定により、すべての$x\in K_c$について$\lVert x\rVert\leq r$となる実数$r$が存在し、$r\geq1$としてよい。§E12.27 命題 2.2 (3)により$(H,\sigma(H,H^*))$は位相線形空間であるから、§E12.16 命題 1.4 (1)により$x\mapsto rx$は$\sigma(H,H^*)$に関して$H$から$H$への同相写像であり、補題 3.4と§E2.19 定理 4.2により$rB_H=\{x\in H\mid\lVert x\rVert\leq r\}$は$\sigma(H,H^*)$に関してコンパクトである。定理 1.1 (1)と系 3.2 (1)により$C$と$\{x\in H\mid\varphi(x)\leq c\}$は$\sigma(H,H^*)$に関して閉集合であるから、§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により$K_c$は$\sigma(H,H^*)$に関して閉集合である。$K_c\subseteq rB_H$であるから、§E2.12 命題 4.6と§E2.19 命題 4.1により$K_c$は$\sigma(H,H^*)$に関してコンパクトである。定理 3.3を$\tau$をノルムが定める位相として適用すればよい。▨

証明.$x\in c_0$について$\sum_n2^{-n}\lvert x_n\rvert\leq\lVert x\rVert_\infty$であるから、$f(x)$は絶対収束する級数として定まり、$f$は線形であって$\lvert f(x)\rvert\leq\lVert x\rVert_\infty$を満たす。ゆえに$f\in c_0^*$であり、$f$はノルムが定める位相に関して連続である。$\Re\colon\mathbb K\to\R$は連続かつ実数体上で線形であるから、$\varphi$は連続であり、$x,y\in c_0$と$0<s<1$を満たす実数$s$について$\varphi((1-s)x+sy)=(1-s)\varphi(x)+s\varphi(y)$を満たすから凸汎関数である。$0\in B$であり、$B$は連続写像$x\mapsto\lVert x\rVert_\infty$による$[0,1]$の逆像であるから§E2.12 命題 1.6 (2)により閉集合であり、三角不等式により凸である。

$x\in B$とする。$x_n\to0$であるから、$\lvert x_N\rvert\leq1/2$を満たす$N\in\NN$が存在し、

である。ゆえにすべての$x\in B$について$\varphi(x)>-1$である。$N\in\NN$について、第$n$成分が$n\leq N$のとき$1$、$n>N$のとき$0$である数列を$u^{(N)}$とすると、$u^{(N)}\in B$かつ$\varphi(u^{(N)})=-(1-2^{-N})$である。したがって$\inf_{x\in B}\varphi(x)=-1$であり、すべての$x\in B$について$\varphi(x)>-1$であるから、この下限を値にとる$B$の元は存在しない。第一段により$\varphi$はノルムが定める位相に関して連続であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)により、各実数$a$について$\{x\in c_0\mid\varphi(x)\leq a\}$は閉集合であり、$\varphi$はノルムが定める位相に関して下半連続である。第一段により$B$は空でない閉凸集合であり、$0\in B$について$\varphi(0)=0<\infty$である。$B$の元は$\lVert x\rVert_\infty\leq1$を満たすから、任意の実数$a$について、$x\in B$かつ$\varphi(x)\leq a$を満たすすべての$x\in c_0$について$\lVert x\rVert_\infty\leq1$である。したがって、$C=B$について系 3.5の仮定のうち Hilbert 空間であること以外はすべて成り立つ。

$K_0=\{x\in B\mid\varphi(x)\leq0\}$とおくと、$\varphi(0)=0$により$0\in K_0$である。$K_0$が弱位相に関してコンパクトであると仮定すると、§E12.29 例 6.3によりノルムが定める位相は双対対$(c_0,c_0^*)$と両立するから、定理 3.3を$C=B$、$c=0$に適用すると、すべての$x\in B$について$\varphi(x_0)\leq\varphi(x)$を満たす$x_0\in B$が存在する。これは前段と両立しないから、$K_0$は弱位相に関してコンパクトでない。$\{x\in c_0\mid\varphi(x)\leq0\}$は連続写像$\varphi$による閉集合の逆像であるから、ノルムが定める位相に関して閉集合であり、凸である。系 1.2 (2)により、この集合と$B$は弱位相に関して閉集合であり、§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により$K_0$は弱位相に関して閉集合である。$B$が弱位相に関してコンパクトであると仮定すると、§E2.12 命題 4.6と§E2.19 命題 4.1により$K_0$は弱位相に関してコンパクトであり、前の結論と両立しない。ゆえに$B$は弱位相に関してコンパクトでない。▨

証明.$U$を$E$の零近傍とする。§E12.16 命題 1.4 (4)により、$W_1+W_1\subseteq U$を満たす零近傍$W_1$と、$W_2+W_2\subseteq W_1$を満たす零近傍$W_2$をとる。§E12.16 定理 2.9 条件 (b)により、$V\subseteq W_1\cap W_2$を満たす絶対凸な零近傍$V$をとる。$V+V+V\subseteq W_2+W_2+W_1\subseteq W_1+W_1\subseteq U$である。

$K=\emptyset$ならば、$\emptyset$は絶対凸であるから$A=\emptyset$であり、$\tpcl{A}=\emptyset$である。このとき$A$と$\tpcl{A}$は前コンパクトである。以下$K\neq\emptyset$とする。$K$は前コンパクトであるから、$K\subseteq F+V$を満たす有限集合$F\subseteq E$が存在し、$K\neq\emptyset$により$F\neq\emptyset$である。$F=\{a_1,\ldots,a_m\}$（$m\in\NN$）と書き、

とおく。$\Lambda$は連続写像$\lambda\mapsto\sum_i\lvert\lambda_i\rvert$による$[0,1]$の逆像であるから$\mathbb K^m$の閉集合であり、各成分の絶対値が$1$以下であるから有界である。§E2.9 定理 4.3により$\Lambda$はコンパクトである（$\mathbb K=\C$のときは$\mathbb K^m$を$\R^{2m}$とみなす）。$E$の加法とスカラー倍は連続であるから、写像$\Lambda\to E$,$\lambda\mapsto\sum_i\lambda_ia_i$は連続であり、§E2.19 定理 4.2により$S$はコンパクトである。§E12.16 命題 3.3 (2)により、$S\subseteq G+V$を満たす有限集合$G\subseteq E$が存在する。

$\lambda,\mu\in\Lambda$、$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$、$\lvert\nu\rvert\leq1$を満たす$\nu\in\mathbb K$について、$\sum_i\lvert(1-s)\lambda_i+s\mu_i\rvert\leq1$かつ$\sum_i\lvert\nu\lambda_i\rvert\leq1$であるから、$S$は絶対凸である。$V$も絶対凸であるから、$s_1,s_2\in S$、$v_1,v_2\in V$について$(1-s)(s_1+v_1)+s(s_2+v_2)\in S+V$かつ$\nu(s_1+v_1)\in S+V$であり、$S+V$は絶対凸である。各$a_i$は$S$に属し、$0\in V$であるから、$K\subseteq F+V\subseteq S+V$である。§E12.28 定義 1.1により$A\subseteq S+V\subseteq G+V+V\subseteq G+U$である。§E12.16 命題 1.4 (5)により$\tpcl{A}\subseteq A+V$であるから、$\tpcl{A}\subseteq G+V+V+V\subseteq G+U$である。$U$は任意の零近傍であったから、$A$と$\tpcl{A}$は前コンパクトである。▨