§E12.18分離定理

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Euclid 空間Rn\R^nでは、交わらない空でない二つの凸集合は、つねにある超平面によって両側に分かれる。無限次元の位相線形空間で同じ分離を問うと、超平面を定める線形汎関数が連続であることが要り、零でない連続線形汎関数が存在するとは限らない。たとえば、0<p<10<p<1のとき、Lebesgue 測度に関するLp([0,1])L^p([0,1])の連続線形汎関数は零だけであり、零元と定数関数11の類さえ連続線形汎関数によって分けることはできない。分離定理は、凸集合の位相的な条件と空間の局所凸性のもとで、凸集合の対を連続線形汎関数の値の実部によって分ける定理であり、Hahn–Banach の定理を幾何的に述べ直したものとして、局所凸空間の双対性の理論で最も基本的な道具の一つである。本記事では、凸集合の分離定理と、その基本的な系や例について解説する。

1 開凸集合の分離

定義 1.1.EEをR\R上の線形空間、u ⁣:E→Ru\colon E\to\Rを零でない実線形汎関数、ccを実数とする。集合

{x∈E∣u(x)=c}\{x\in E\mid u(x)=c\}

をEEの 超平面 (hyperplane) という。複素線形空間の超平面は、スカラー倍を実数に制限した実線形空間の超平面として定める。

定理 1.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の位相線形空間とする。AAをEEの空でない開凸集合とし、LLをEEの空でないアフィン部分空間、すなわちEEの線形部分空間MMとv∈Ev\in EによりL=v+ML=v+Mと書かれる集合とし、A∩L=∅A\cap L=\emptysetとする。このとき、すべてのx∈Ax\in Aについてℜf(x)<c\Re f(x)<cを満たし、すべてのy∈Ly\in Lについてℜf(y)=c\Re f(y)=cを満たすf∈E′f\in E'と実数ccが存在する。

証明.L=v+ML=v+Mを満たすEEの線形部分空間MMとv∈Ev\in Eをとる。a0∈Aa_0\in Aをとり、W=(A−a0)+MW=(A-a_0)+Mとおく。§E12.16 命題 1.4 (1)によりA−a0A-a_0は開集合であるから、§E12.16 補題 1.6 (5)によりWWは開集合である。A−a0A-a_0とMMは凸であるからWWは凸である。0∈W0\in Wであるから、WWは凸な零近傍であり、§E12.16 命題 1.4 (2)により吸収的である。WWの Minkowski 汎関数p=pWp=p_Wは、§E12.16 命題 2.8 (1)により劣線形であり、§E12.16 命題 2.8 (4)により連続であってW={x∈E∣p(x)<1}W=\{x\in E\mid p(x)<1\}を満たす。

x1=v−a0x_1=v-a_0とおく。x1∈Wx_1\in Wと仮定すると、a∈Aa\in Aとm∈Mm\in Mによりv−a0=(a−a0)+mv-a_0=(a-a_0)+mと書かれ、a=v−m∈A∩La=v-m\in A\cap Lとなる。これはA∩L=∅A\cap L=\emptysetに反する。ゆえにx1∉Wx_1\notin Wであり、p(x1)≥1p(x_1)\geq1である。

スカラー倍をR×E\R\times Eに制限してEEをR\R上の線形空間ERE_{\R}とみなす。ERE_{\R}はR\R上の位相線形空間である。0∈W0\in Wとx1∉Wx_1\notin Wによりx1≠0x_1\neq0であるから、N=Rx1N=\R x_1の各元はtx1tx_1（t∈Rt\in\R）の形にただ一通りに書かれ、g(tx1)=tg(tx_1)=tは線形写像g ⁣:N→Rg\colon N\to\Rを定める。t≥0t\geq0ならばp(tx1)=tp(x1)≥t=g(tx1)p(tx_1)=tp(x_1)\geq t=g(tx_1)であり、t<0t<0ならばg(tx1)=t<0≤p(tx1)g(tx_1)=t<0\leq p(tx_1)である。§E12.17 定理 1.3により、u∣N=gu|_N=gを満たし、すべてのx∈Ex\in Eについてu(x)≤p(x)u(x)\leq p(x)を満たすR\R線形写像u ⁣:E→Ru\colon E\to\Rが存在する。

U=W∩(−W)U=W\cap(-W)とおく。§E12.16 命題 1.4 (1)により−W-Wは零近傍であるから、UUは零近傍である。x∈Ux\in Uならばu(x)≤p(x)<1u(x)\leq p(x)<1であり、−x∈W-x\in Wにより−u(x)=u(−x)≤p(−x)<1-u(x)=u(-x)\leq p(-x)<1であるから、∣u(x)∣<1\lvert u(x)\rvert<1である。実数ε>0\varepsilon>0についてεU\varepsilon Uは零近傍でありu(εU)⊆(−ε,ε)u(\varepsilon U)\subseteq(-\varepsilon,\varepsilon)であるから、uuは00で連続であり、§E12.16 補題 1.7をERE_{\R}に適用するとuuは連続である。§E12.17 補題 2.1 (1)によりℜf=u\Re f=uを満たすK\mathbb K線形写像f ⁣:E→Kf\colon E\to\mathbb Kが存在し、§E12.17 補題 2.1 (3)によりf∈E′f\in E'である。

m∈Mm\in Mと実数ttについてtm∈M⊆Wtm\in M\subseteq Wであるから、tu(m)=u(tm)≤p(tm)<1tu(m)=u(tm)\leq p(tm)<1である。不等式tu(m)<1tu(m)<1がすべての実数ttについて成り立つので、u(m)=0u(m)=0である。m∈Mm\in Mは任意であるから、u∣M=0u|_M=0を得る。c=u(v)c=u(v)とおく。y=v+m∈Ly=v+m\in L（m∈Mm\in M）についてu(y)=u(v)+u(m)=cu(y)=u(v)+u(m)=cである。x∈Ax\in Aについてx−a0∈Wx-a_0\in Wであるからu(x)−u(a0)=u(x−a0)≤p(x−a0)<1u(x)-u(a_0)=u(x-a_0)\leq p(x-a_0)<1であり、u(x1)=g(x1)=1u(x_1)=g(x_1)=1によりu(v)−u(a0)=1u(v)-u(a_0)=1であるから、u(x)<u(a0)+1=cu(x)<u(a_0)+1=cである。▨

系 1.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の位相線形空間とする。AAをEEの空でない開凸集合とし、BBをEEの空でない凸集合とし、A∩B=∅A\cap B=\emptysetとする。このとき、すべてのa∈Aa\in Aとすべてのb∈Bb\in Bについてℜf(a)<c≤ℜf(b)\Re f(a)<c\leq\Re f(b)を満たすf∈E′f\in E'と実数ccが存在する。

証明.C=A−B=⋃b∈B(A−b)C=A-B=\bigcup_{b\in B}(A-b)とおく。§E12.16 命題 1.4 (1)により各A−bA-bは開集合であるからCCは空でない開集合である。a,a′∈Aa,a'\in A、b,b′∈Bb,b'\in Bと0≤s≤10\leq s\leq1を満たす実数ssについて(1−s)(a−b)+s(a′−b′)=((1−s)a+sa′)−((1−s)b+sb′)∈A−B(1-s)(a-b)+s(a'-b')=((1-s)a+sa')-((1-s)b+sb')\in A-Bであるから、CCは凸である。A∩B=∅A\cap B=\emptysetであるから0∉C0\notin Cである。定理 1.2をCCとアフィン部分空間{0}=0+{0}\{0\}=0+\{0\}に適用すると、すべてのx∈Cx\in Cについてℜf(x)<c′\Re f(x)<c'を満たし、ℜf(0)=c′\Re f(0)=c'を満たすf∈E′f\in E'と実数c′c'が存在する。ℜf(0)=0\Re f(0)=0であるからc′=0c'=0である。したがって、すべてのa∈Aa\in Aとb∈Bb\in Bについてℜf(a)<ℜf(b)\Re f(a)<\Re f(b)である。c=sup⁡a∈Aℜf(a)c=\sup_{a\in A}\Re f(a)とおく。AAが空でなく、BBが空でないから{ℜf(a)∣a∈A}\{\Re f(a)\mid a\in A\}は上に有界な空でない集合であり、ccは実数であって、すべてのb∈Bb\in Bについてc≤ℜf(b)c\leq\Re f(b)である。

CCが空でなく、すべてのx∈Cx\in Cについてℜf(x)<0\Re f(x)<0であるからf≠0f\neq0である。f(z)≠0f(z)\neq0を満たすz∈Ez\in Eをとり、w=f(z)−1zw=f(z)^{-1}zとおくとf(w)=1f(w)=1である。a∈Aa\in Aとする。写像R→E\R\to E,t↦a+twt\mapsto a+twは連続であり、t=0t=0での値は開集合AAに属するから、a+δw∈Aa+\delta w\in Aを満たす実数δ>0\delta>0が存在する。したがってℜf(a)+δ=ℜf(a+δw)≤c\Re f(a)+\delta=\Re f(a+\delta w)\leq cであり、ℜf(a)<c\Re f(a)<cである。▨

2 局所凸空間での強分離

補題 2.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の位相線形空間とする。KKをEEのコンパクト集合とし、AAをEEの閉集合とし、K∩A=∅K\cap A=\emptysetとする。このとき、(K+V)∩A=∅(K+V)\cap A=\emptysetを満たす平衡な零近傍VVが存在する。

証明.k∈Kk\in Kとする。k∉A=A‾k\notin A=\tpcl{A}であるから、§E12.16 命題 1.4 (5)によりk∉A+Uk\notin A+Uを満たす零近傍UUが存在する。§E12.16 命題 1.4 (3)により、Uk⊆UU_k\subseteq Uを満たす平衡な零近傍UkU_kをとる。Uk⊆UU_k\subseteq UによりA+Uk⊆A+UA+U_k\subseteq A+Uであり、k∉A+Uk\notin A+Uであるから、k∉A+Ukk\notin A+U_kである。u∈Uku\in U_kについてk+u∈Ak+u\in Aとすると、UkU_kは平衡であるから−u∈Uk-u\in U_kであり、k=(k+u)+(−u)∈A+Ukk=(k+u)+(-u)\in A+U_kとなる。これはk∉A+Ukk\notin A+U_kに反するから、(k+Uk)∩A=∅(k+U_k)\cap A=\emptysetである。§E12.16 命題 1.4 (4)と§E12.16 命題 1.4 (3)により、Wk+Wk⊆UkW_k+W_k\subseteq U_kを満たす平衡な零近傍WkW_kをとる。§E12.16 命題 1.4 (1)によりk+Wkk+W_kはkkの近傍であり、k∈Ok⊆k+Wkk\in O_k\subseteq k+W_kを満たす開集合OkO_kがある。

{Ok}k∈K\{O_k\}_{k\in K}はKKの開被覆であり、KKはコンパクトであるから、K⊆Ok1∪⋯∪OknK\subseteq O_{k_1}\cup\cdots\cup O_{k_n}を満たす有限個のk1,…,kn∈Kk_1,\ldots,k_n\in Kがある（K=∅K=\emptysetのときはn=0n=0とする）。V=E∩Wk1∩⋯∩WknV=E\cap W_{k_1}\cap\cdots\cap W_{k_n}とおくと、VVは平衡な零近傍である。x∈K+Vx\in K+Vとし、x=k+vx=k+v（k∈Kk\in K、v∈Vv\in V）と書く。k∈Okik\in O_{k_i}を満たすiiをとると、x∈ki+Wki+Wki⊆ki+Ukix\in k_i+W_{k_i}+W_{k_i}\subseteq k_i+U_{k_i}であり、(ki+Uki)∩A=∅(k_i+U_{k_i})\cap A=\emptysetであるからx∉Ax\notin Aである。▨

定理 2.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の局所凸空間とする。KKをEEの空でないコンパクト凸集合とし、AAをEEの空でない閉凸集合とし、K∩A=∅K\cap A=\emptysetとする。このとき、

sup⁡k∈Kℜf(k)<c1<c2<inf⁡a∈Aℜf(a)\sup_{k\in K}\Re f(k)<c_1<c_2<\inf_{a\in A}\Re f(a)

を満たすf∈E′f\in E'と実数c1,c2c_1,c_2が存在する。

証明.補題 2.1により、(K+V)∩A=∅(K+V)\cap A=\emptysetを満たす零近傍VVが存在する。EEは局所凸空間であるから、§E12.16 定理 2.9によりC⊆VC\subseteq Vを満たす絶対凸な零近傍CCが存在する。§E12.16 命題 1.4 (2)によりCCは吸収的であり、CCの Minkowski 汎関数ppは、§E12.16 命題 2.8 (3)と§E12.16 命題 2.8 (4)により連続な半ノルムである。U={x∈E∣p(x)<1}U=\{x\in E\mid p(x)<1\}とおく。UUは連続写像ppによる開集合(−∞,1)(-\infty,1)の逆像であるから開集合であり、ppが半ノルムであるから凸であり、0∈U0\in Uを満たす。§E12.16 命題 2.8 (2)によりU⊆C⊆VU\subseteq C\subseteq Vである。

§E12.16 補題 1.6 (5)によりK+UK+Uは開集合であり、KKとUUが凸であるからK+UK+Uは凸であり、KKが空でないからK+UK+Uは空でない。K+U⊆K+VK+U\subseteq K+Vであるから(K+U)∩A=∅(K+U)\cap A=\emptysetである。系 1.3により、すべてのx∈K+Ux\in K+Uとすべてのa∈Aa\in Aについてℜf(x)<c≤ℜf(a)\Re f(x)<c\leq\Re f(a)を満たすf∈E′f\in E'と実数ccが存在する。ℜf\Re fのKKへの制限は連続であり、KKは空でないコンパクト集合であるから、§E2.19 定理 4.4により、すべてのk∈Kk\in Kについてℜf(k)≤ℜf(k0)\Re f(k)\leq\Re f(k_0)を満たすk0∈Kk_0\in Kが存在する。0∈U0\in Uによりk0∈K+Uk_0\in K+Uであるから、s=sup⁡k∈Kℜf(k)s=\sup_{k\in K}\Re f(k)とおくとs=ℜf(k0)<cs=\Re f(k_0)<cである。c1=(2s+c)/3c_1=(2s+c)/3、c2=(s+2c)/3c_2=(s+2c)/3とおくと、s<c1<c2<c≤inf⁡a∈Aℜf(a)s<c_1<c_2<c\leq\inf_{a\in A}\Re f(a)である。▨

系 2.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の局所凸空間とする。

  1. AAをEEの空でない閉凸集合とし、x0∈E∖Ax_0\in E\setminus Aとする。このとき、ℜf(x0)>sup⁡a∈Aℜf(a)\Re f(x_0)>\sup_{a\in A}\Re f(a)を満たすf∈E′f\in E'が存在する。
  2. AAをEEの閉凸集合とする。f∈E′f\in E'（f=0f=0の場合を含む）と実数ccにより{x∈E∣ℜf(x)≤c}\{x\in E\mid\Re f(x)\leq c\}と書かれる集合を閉半空間 (closed half-space) という。とくに、∅\emptysetとEEは閉半空間である。このとき、AAは、AAを含むすべての閉半空間の共通部分に等しい。
  3. AAを0∈A0\in Aを満たすEEの閉凸集合とし、x0∈E∖Ax_0\in E\setminus Aとする。このとき、すべてのa∈Aa\in Aについてℜf(a)<1\Re f(a)<1を満たし、ℜf(x0)>1\Re f(x_0)>1を満たすf∈E′f\in E'が存在する。さらに、AAが平衡ならば、同じffはすべてのa∈Aa\in Aについて∣f(a)∣<1\lvert f(a)\rvert<1を満たす。

証明.主張 (1)を示す。K={x0}K=\{x_0\}はコンパクト凸集合であるから、定理 2.2によりℜg(x0)<c1<c2<inf⁡a∈Aℜg(a)\Re g(x_0)<c_1<c_2<\inf_{a\in A}\Re g(a)を満たすg∈E′g\in E'と実数c1,c2c_1,c_2が存在する。f=−gf=-gとおくと、sup⁡a∈Aℜf(a)=−inf⁡a∈Aℜg(a)<−c2<−c1<−ℜg(x0)=ℜf(x0)\sup_{a\in A}\Re f(a)=-\inf_{a\in A}\Re g(a)<-c_2<-c_1<-\Re g(x_0)=\Re f(x_0)である。

主張 (2)を示す。f∈E′f\in E'と実数ccについて、ℜf\Re fは連続であるから、閉半空間{x∣ℜf(x)≤c}\{x\mid\Re f(x)\leq c\}は閉集合である。AAを含むすべての閉半空間の共通部分をA~\widetilde Aとすると、A⊆A~A\subseteq\widetilde Aである。x0∈E∖Ax_0\in E\setminus Aとする。A=∅A=\emptysetならば、f=0f=0とc=−1c=-1による閉半空間{x∣0≤−1}=∅\{x\mid 0\leq-1\}=\emptysetはAAを含みx0x_0を含まない。A≠∅A\neq\emptysetならば、主張 (1)によりℜf(x0)>sup⁡a∈Aℜf(a)\Re f(x_0)>\sup_{a\in A}\Re f(a)を満たすf∈E′f\in E'が存在する。c=sup⁡a∈Aℜf(a)c=\sup_{a\in A}\Re f(a)とおくと、閉半空間{x∣ℜf(x)≤c}\{x\mid\Re f(x)\leq c\}は、AAを含み、ℜf(x0)>c\Re f(x_0)>cによりx0x_0を含まない。いずれの場合もx0∉A~x_0\notin\widetilde Aであるから、A~⊆A\widetilde A\subseteq Aである。

主張 (3)を示す。0∈A0\in AによりAAは空でないから、主張 (1)によりℜg(x0)>sup⁡a∈Aℜg(a)\Re g(x_0)>\sup_{a\in A}\Re g(a)を満たすg∈E′g\in E'が存在する。s=sup⁡a∈Aℜg(a)s=\sup_{a\in A}\Re g(a)とおくと、0∈A0\in Aによりs≥0s\geq0であり、s<ℜg(x0)s<\Re g(x_0)によりssは有限である。c=(s+ℜg(x0))/2c=(s+\Re g(x_0))/2とおくと、0≤s<c<ℜg(x0)0\leq s<c<\Re g(x_0)である。f=c−1gf=c^{-1}gとおくと、c>0c>0であるからf∈E′f\in E'であり、すべてのa∈Aa\in Aについてℜf(a)≤s/c<1\Re f(a)\leq s/c<1であり、ℜf(x0)=ℜg(x0)/c>1\Re f(x_0)=\Re g(x_0)/c>1である。

AAが平衡であるとし、a∈Aa\in Aとする。∣λ∣=1\lvert\lambda\rvert=1かつλf(a)=∣f(a)∣\lambda f(a)=\lvert f(a)\rvertを満たすλ∈K\lambda\in\mathbb Kをとる。AAの平衡性によりλa∈A\lambda a\in Aであるから、∣f(a)∣=ℜf(λa)<1\lvert f(a)\rvert=\Re f(\lambda a)<1である。▨

系 2.4.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の局所凸空間とする。

  1. MMをEEの閉線形部分空間とし、x0∈E∖Mx_0\in E\setminus Mとする。このとき、f∣M=0f\vert_M=0かつf(x0)=1f(x_0)=1を満たすf∈E′f\in E'が存在する。
  2. MMをEEの線形部分空間とする。このとき、MMがEEで稠密であるための必要十分条件は、f∣M=0f\vert_M=0を満たすf∈E′f\in E'がf=0f=0に限ることである。

証明.主張 (1)を示す。MMは原点を含む平衡な閉凸集合であるから、系 2.3 (3)により、すべてのm∈Mm\in Mについて∣g(m)∣<1\lvert g(m)\rvert<1を満たし、ℜg(x0)>1\Re g(x_0)>1を満たすg∈E′g\in E'が存在する。m∈Mm\in Mと実数t>0t>0についてtm∈Mtm\in Mであるから、t∣g(m)∣=∣g(tm)∣<1t\lvert g(m)\rvert=\lvert g(tm)\rvert<1である。この不等式がすべての実数t>0t>0について成り立つので、g(m)=0g(m)=0である。したがってg∣M=0g\vert_M=0である。ℜg(x0)>1\Re g(x_0)>1によりg(x0)≠0g(x_0)\neq0であり、f=g(x0)−1gf=g(x_0)^{-1}gはf∈E′f\in E'、f∣M=0f\vert_M=0、f(x0)=1f(x_0)=1を満たす。

主張 (2)を示す。MMが稠密でありf∈E′f\in E'がf∣M=0f\vert_M=0を満たすとする。f−1({0})f^{-1}(\{0\})は閉集合でMMを含むから、M‾=E\tpcl{M}=Eによりf−1({0})=Ef^{-1}(\{0\})=Eでありf=0f=0である。逆にMMが稠密でないとする。§E12.16 補題 1.6 (2)によりM‾\tpcl{M}は閉線形部分空間であり、M‾≠E\tpcl{M}\neq Eであるからx0∈E∖M‾x_0\in E\setminus\tpcl{M}をとる。主張 (1)をM‾\tpcl{M}に適用すると、f∣M=0f\vert_M=0かつf(x0)=1f(x_0)=1を満たすf∈E′f\in E'が存在し、f≠0f\neq0である。▨

3 仮定を外した例

例 3.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、c0c_0を§E10.1 例 3.4のK\mathbb K上の Banach 空間とし、有限個の成分だけが零でない数列の全体をc00c_{00}とする。x0=(1/j)j≥1x_0=(1/j)_{j\geq1}とおき、A={x0}A=\{x_0\}、B=c00B=c_{00}とおく。このとき、AAとBBはc0c_0の空でない凸集合であり、A∩B=∅A\cap B=\emptysetを満たし、どちらも開集合でない。さらに、すべてのb∈Bb\in Bについてℜf(x0)<c≤ℜf(b)\Re f(x_0)<c\leq\Re f(b)を満たすf∈c0′f\in c_0'と実数ccは存在しない。したがって、系 1.3は、AAとBBが空でない凸集合であり、A∩B=∅A\cap B=\emptysetであるという仮定を保ったまま、一方が開であるという仮定だけを外すと成り立たない。BBはc0c_0の線形部分空間であるから、定理 1.2も、AAが開であるという仮定だけを外すと成り立たない。

x0x_0の成分はすべて零でないからx0∉c00x_0\notin c_{00}であり、A∩B=∅A\cap B=\emptysetである。AAは一点からなるから凸であり、BBは線形部分空間であるから凸である。e1=(1,0,0,…)e_1=(1,0,0,\ldots)とおく。実数t>0t>0について、x0+te1∉Ax_0+te_1\notin Aかつ∥(x0+te1)−x0∥∞=t\lVert(x_0+te_1)-x_0\rVert_\infty=tであるから、x0x_0を中心とするどの開球もAAに含まれず、AAは開集合でない。実数t>0t>0について、tx0∉Btx_0\notin Bかつ∥tx0∥∞=t\lVert tx_0\rVert_\infty=tであり、0∈B0\in Bであるから、00を中心とするどの開球もBBに含まれず、BBは開集合でない。

x∈c0x\in c_0とN∈N≥1N\in\NNについて、第NN成分までをxxと等しくし、第N+1N+1成分以降を00とした数列x[N]∈c00x^{[N]}\in c_{00}は∥x−x[N]∥∞=sup⁡j>N∣xj∣→0\lVert x-x^{[N]}\rVert_\infty=\sup_{j>N}\lvert x_j\rvert\to0（N→∞N\to\infty）を満たす。ゆえにc00‾=c0\tpcl{c_{00}}=c_0である。f∈c0′f\in c_0'と実数ccが、すべてのb∈Bb\in Bについてℜf(x0)<c≤ℜf(b)\Re f(x_0)<c\leq\Re f(b)を満たすとする。ℜf\Re fは連続であるから、F={x∈c0∣ℜf(x)≥c}F=\{x\in c_0\mid\Re f(x)\geq c\}はBBを含む閉集合であり、F⊇B‾=c0F\supseteq\tpcl{B}=c_0である。したがってℜf(x0)≥c\Re f(x_0)\geq cであり、これはℜf(x0)<c\Re f(x_0)<cに反する。ℜf(x0)<c\Re f(x_0)<cを満たし、すべてのb∈Bb\in Bについてℜf(b)=c\Re f(b)=cを満たすf∈c0′f\in c_0'と実数ccは、上の不等式を満たすから、存在しない。

例 3.2.ppを0<p<10<p<1を満たす実数とし、K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、E=Lp([0,1])E=L^p([0,1])を§E12.16 命題 7.3のとおりとする。§E12.16 例 7.2によりEEは距離の定める位相をもつ位相線形空間であり、§E2.15 定理 3.2により Hausdorff である。EEの零元を00、定数関数11の類を1\mathbf 1と書く。∫[0,1]1p dλ=1>0\int_{[0,1]}1^p\,d\lambda=1>0であるから1≠0\mathbf 1\neq0である。K={0}K=\{0\}はコンパクト凸集合であり、§E12.16 命題 1.5により{0}\{0\}は閉集合であるから、§E12.16 命題 1.4 (1)によりA={1}A=\{\mathbf 1\}は閉凸集合であり、K∩A=∅K\cap A=\emptysetである。§E12.16 命題 7.3 (2)によりE′={0}E'=\{0\}であるから、任意のf∈E′f\in E'についてℜf(0)=ℜf(1)=0\Re f(0)=\Re f(\mathbf 1)=0であり、sup⁡k∈Kℜf(k)<inf⁡a∈Aℜf(a)\sup_{k\in K}\Re f(k)<\inf_{a\in A}\Re f(a)を満たすf∈E′f\in E'は存在しない。したがって定理 2.2と系 2.3 (1)は局所凸性を外すと成り立たない。{0}\{0\}は閉部分空間であり1∉{0}\mathbf 1\notin\{0\}であるが、f(1)=1f(\mathbf 1)=1を満たすf∈E′f\in E'は存在しないから、系 2.4 (1)も局所凸性を外すと成り立たない。

一方、§E12.16 命題 7.3 (1)によりEEの空でない開凸集合はEE全体に限る。したがって、EEでは、系 1.3の仮定を満たすA,BA,Bも、定理 1.2の仮定を満たすA,LA,Lも存在しない。EEでは、二つの主張は仮定を満たす対象が無いことにより成り立つ。

例 3.3.R2\R^2に Euclid ノルムを入れる。R2\R^2は§E12.16 命題 2.10により局所凸空間であり、§E12.16 系 4.3 (2)により(R2)′(\R^2)'はR2\R^2からR\Rへの線形写像の全体である。

A={(x,y)∈R2∣x>0, y≥1/x},B={(x,0)∣x∈R}A=\{(x,y)\in\R^2\mid x>0,\ y\geq1/x\},\qquad B=\{(x,0)\mid x\in\R\}

とおく。このとき、AAとBBは空でない閉凸集合であり、A∩B=∅A\cap B=\emptysetであるが、sup⁡B f<c1<c2<inf⁡A f\sup_B\,f<c_1<c_2<\inf_A\,fを満たすf∈(R2)′f\in(\R^2)'と実数c1,c2c_1,c_2は存在しない。

BBは連続写像(x,y)↦y(x,y)\mapsto yによる{0}\{0\}の逆像として閉集合であり、凸である。AAの点列(xn,yn)(x_n,y_n)が(x,y)(x,y)に収束するとき、xn>0x_n>0とxnyn≥1x_ny_n\geq1によりx≥0x\geq0とxy≥1xy\geq1が成り立ち、x=0x=0はxy≥1xy\geq1に反するからx>0x>0であり、y≥1/xy\geq1/xである。ゆえにAAは閉集合である。(x,y),(x′,y′)∈A(x,y),(x',y')\in Aと0≤s≤10\leq s\leq1について、x′′=(1−s)x+sx′>0x''=(1-s)x+sx'>0であり、

x′′((1−s)y+sy′)≥((1−s)x+sx′)(1−sx+sx′)=(1−s)2+s2+s(1−s)(xx′+x′x)≥1x''\bigl((1-s)y+sy'\bigr)\geq\bigl((1-s)x+sx'\bigr)\Bigl(\frac{1-s}{x}+\frac{s}{x'}\Bigr)=(1-s)^2+s^2+s(1-s)\Bigl(\frac x{x'}+\frac{x'}x\Bigr)\geq1

であるからAAは凸である。(x,y)∈A(x,y)\in Aならばy>0y>0であるからA∩B=∅A\cap B=\emptysetである。

f(x,y)=αx+βyf(x,y)=\alpha x+\beta yとし、sup⁡Bf<c1<c2<inf⁡Af\sup_B f<c_1<c_2<\inf_A fとする。f(t,0)=αtf(t,0)=\alpha tがすべての実数ttについてc1c_1より小さいからα=0\alpha=0である。α=0\alpha=0によりsup⁡Bf=0\sup_Bf=0である。β≤0\beta\leq0ならば、(1,1)∈A(1,1)\in Aによりinf⁡Af≤f(1,1)=β≤0\inf_Af\leq f(1,1)=\beta\leq0であり、0<c1<c2<inf⁡Af≤00<c_1<c_2<\inf_Af\leq0となって両立しない。β>0\beta>0ならば、(x,1/x)∈A(x,1/x)\in A（x>0x>0）についてf(x,1/x)=β/x→0f(x,1/x)=\beta/x\to0（x→∞x\to\infty）であるからinf⁡Af≤0\inf_Af\leq0であり、0<c1<c2<inf⁡Af≤00<c_1<c_2<\inf_Af\leq0となって両立しない。したがって、定理 2.2からコンパクト性の仮定を外すことはできない。

4 ノルム空間での分離

系 4.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、XXをK\mathbb K上のノルム空間とする。CCをXXの空でない閉凸集合とし、x0∈X∖Cx_0\in X\setminus Cとし、d=inf⁡y∈C∥x0−y∥d=\inf_{y\in C}\lVert x_0-y\rVertとおく。このときd>0d>0であり、∥f∥=1\lVert f\rVert=1を満たし、すべてのy∈Cy\in Cについてℜf(y)≤ℜf(x0)−d\Re f(y)\leq\Re f(x_0)-dを満たすf∈X∗f\in X^*が存在する。とくに、ℜf(x0)>sup⁡y∈Cℜf(y)\Re f(x_0)>\sup_{y\in C}\Re f(y)である。

証明.X∖CX\setminus Cはx0x_0を含む開集合であるから、∥x−x0∥<r\lVert x-x_0\rVert<rを満たすすべてのx∈Xx\in XがCCに属さないような実数r>0r>0が存在する。したがってd≥r>0d\geq r>0である。

B={x∈X∣∥x−x0∥<d}B=\{x\in X\mid\lVert x-x_0\rVert<d\}とおく。BBは空でない開凸集合であり、y∈C∩By\in C\cap Bならば∥x0−y∥<d\lVert x_0-y\rVert<dとなってddの定義に反するから、B∩C=∅B\cap C=\emptysetである。XXは§E12.16 命題 2.10により位相線形空間でありX′=X∗X'=X^*であるから、系 1.3により、すべてのb∈Bb\in Bとすべてのy∈Cy\in Cについてℜg(b)<c≤ℜg(y)\Re g(b)<c\leq\Re g(y)を満たすg∈X∗g\in X^*と実数ccが存在する。g=0g=0とすると0<c≤00<c\leq0となるからg≠0g\neq0であり、∥g∥>0\lVert g\rVert>0である。g≠0g\neq0であるからX≠{0}X\neq\{0\}であり、§E10.2 命題 1.2により∥g∥=sup⁡∥x∥=1∣g(x)∣\lVert g\rVert=\sup_{\lVert x\rVert=1}\lvert g(x)\rvertである。

実数ε\varepsilonを0<ε<∥g∥0<\varepsilon<\lVert g\rVertとし、実数ttを0<t<10<t<1とする。∥x∥=1\lVert x\rVert=1かつ∣g(x)∣>∥g∥−ε\lvert g(x)\rvert>\lVert g\rVert-\varepsilonを満たすx∈Xx\in Xが存在する。∣λ∣=1\lvert\lambda\rvert=1かつλg(x)=∣g(x)∣\lambda g(x)=\lvert g(x)\rvertを満たすλ∈K\lambda\in\mathbb Kをとる。b=x0+tdλxb=x_0+td\lambda xは∥b−x0∥=td<d\lVert b-x_0\rVert=td<dを満たすからb∈Bb\in Bであり、ℜg(b)=ℜg(x0)+td∣g(x)∣>ℜg(x0)+td(∥g∥−ε)\Re g(b)=\Re g(x_0)+td\lvert g(x)\rvert>\Re g(x_0)+td(\lVert g\rVert-\varepsilon)である。したがってc≥ℜg(b)c\geq\Re g(b)によりc≥ℜg(x0)+td(∥g∥−ε)c\geq\Re g(x_0)+td(\lVert g\rVert-\varepsilon)であり、t→1t\to1とε→0\varepsilon\to0によりc≥ℜg(x0)+d∥g∥c\geq\Re g(x_0)+d\lVert g\rVertを得る。f=−∥g∥−1gf=-\lVert g\rVert^{-1}gとおくと∥f∥=1\lVert f\rVert=1であり、y∈Cy\in Cについてℜg(y)≥c≥ℜg(x0)+d∥g∥\Re g(y)\geq c\geq\Re g(x_0)+d\lVert g\rVertからℜf(y)≤ℜf(x0)−d\Re f(y)\leq\Re f(x_0)-dである。▨

5 演習

問題 5.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、XXをK\mathbb K上のノルム空間、MMをXXの閉線形部分空間とし、x0∈X∖Mx_0\in X\setminus Mとし、d=inf⁡m∈M∥x0−m∥d=\inf_{m\in M}\lVert x_0-m\rVertとする。系 4.1をC=MC=Mに適用すると、∥f∥=1\lVert f\rVert=1を満たし、すべてのm∈Mm\in Mについてℜf(m)≤ℜf(x0)−d\Re f(m)\leq\Re f(x_0)-dを満たすf∈X∗f\in X^*が存在する。このようなf∈X∗f\in X^*について、f∣M=0f\vert_M=0かつ∣f(x0)∣=d\lvert f(x_0)\rvert=dであることを示し、f(x0)−1ff(x_0)^{-1}fが§E12.17 定理 5.1の条件を満たすことを確かめよ。

解答.

f∈X∗f\in X^*を、∥f∥=1\lVert f\rVert=1を満たし、すべてのm∈Mm\in Mについてℜf(m)≤ℜf(x0)−d\Re f(m)\leq\Re f(x_0)-dを満たす元とする。MMは空でない閉凸集合であるから、系 4.1によりd>0d>0である。m∈Mm\in Mと実数ttについてtℜf(m)=ℜf(tm)≤ℜf(x0)−dt\Re f(m)=\Re f(tm)\leq\Re f(x_0)-dであり、これがすべての実数ttについて成り立つからℜf(m)=0\Re f(m)=0である。K=C\mathbb K=\Cのときはim∈Mim\in Mによりℑf(m)=−ℜf(im)=0\Im f(m)=-\Re f(im)=0であるから、f∣M=0f\vert_M=0である。m∈Mm\in Mについてf(x0)=f(x0−m)f(x_0)=f(x_0-m)であり、∣f(x0)∣≤∥f∥∥x0−m∥=∥x0−m∥\lvert f(x_0)\rvert\leq\lVert f\rVert\lVert x_0-m\rVert=\lVert x_0-m\rVertであるから、mmについて下限をとると∣f(x0)∣≤d\lvert f(x_0)\rvert\leq dである。一方、ℜf(0)=0≤ℜf(x0)−d\Re f(0)=0\leq\Re f(x_0)-dにより∣f(x0)∣≥ℜf(x0)≥d\lvert f(x_0)\rvert\geq\Re f(x_0)\geq dである。ゆえに∣f(x0)∣=d\lvert f(x_0)\rvert=dである。

∣f(x0)∣=d>0\lvert f(x_0)\rvert=d>0であるからf(x0)≠0f(x_0)\neq0であり、h=f(x0)−1fh=f(x_0)^{-1}fはh∈X∗h\in X^*、h∣M=0h\vert_M=0、h(x0)=1h(x_0)=1を満たし、∥h∥=∣f(x0)∣−1∥f∥=1/d\lVert h\rVert=\lvert f(x_0)\rvert^{-1}\lVert f\rVert=1/dである。ゆえにhhは§E12.17 定理 5.1の条件を満たす。▨

参考文献

  1. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw Hill, 1991.開凸集合の分離と局所凸空間での強分離の扱いを参考にした。
  2. Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York, 2011.ノルム空間での凸集合の分離の扱いを参考にした。
  3. Lawrence Narici and Edward Beckenstein, Topological Vector Spaces, 2nd ed., Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics, CRC Press, Boca Raton, 2010.複素係数での分離と閉凸集合の閉半空間による表示の扱いを参考にした。

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