§E12.42核定理

最終更新

実数体または複素数体上の数列空間では、連続双線形形式を各座標に関する係数によって記述することが自然な問題となる。無限個の座標を扱う場合には、係数から作る級数の収束と双線形形式の連続性を確かめる必要がある。急減少数列の空間の核定理は、連続双線形形式を緩増加二重数列によって表す基本的な結果であり、核型空間のテンソル積と双対の関係を具体的に示す。例えば、二つの急減少数列の同じ添字の成分を掛けて総和を取る双線形形式は、対角成分がすべて一で、その他の成分が零である核をもつ。本記事では、急減少数列の空間における核表示と、その表示を支えるテンソル積と双対の性質について解説する。

1 急減少二重数列

定義 1.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とする。二重数列z=(zmn)m,n∈N≥1z=(z_{mn})_{m,n\in\NN}に対して

Pk(z)=(∑m,n≥1(1+m)2k(1+n)2k∣zmn∣2)1/2(k∈N≥0)P_k(z)=\left(\sum_{m,n\ge1}(1+m)^{2k}(1+n)^{2k}|z_{mn}|^2\right)^{1/2} \qquad(k\in\N)

とおき、

s(N≥12)={z∈KN≥12:Pk(z)<∞ for every k∈N≥0}s(\NN^2)=\{z\in\mathbb K^{\NN^2}:P_k(z)<\infty\text{ for every }k\in\N\}

に半ノルム列(Pk)k∈N≥0(P_k)_{k\in\N}の定める位相を入れる。この空間を急減少二重数列の空間という。z[N]z^{[N]}は1≤m,n≤N1\le m,n\le Nの成分をzmnz_{mn}とし、その他の成分を零とする二重数列を表す。

補題 1.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上のs(N≥12)s(\NN^2)は Fréchet 空間である。任意のz∈s(N≥12)z\in s(\NN^2)についてz[N]→zz^{[N]}\to zがs(N≥12)s(\NN^2)で成り立つ。とくに、有限支持の二重数列の空間はs(N≥12)s(\NN^2)で稠密である。

証明. 各PkP_kに関して Cauchy な列(z(j))j(z^{(j)})_jを取る。∣zmn∣≤P0(z)|z_{mn}|\le P_0(z)であるから、各座標列はK\mathbb Kで極限zmnz_{mn}をもつ。k∈N≥0k\in\Nとη>0\eta>0を固定し、j,l≥j0j,l\ge j_0ならばPk(z(j)−z(l))<ηP_k(z^{(j)}-z^{(l)})<\etaとなるj0j_0を取る。有限集合A⊆N≥12A\subseteq\NN^2上で和を取り、l→∞l\to\inftyとすると

∑(m,n)∈A(1+m)2k(1+n)2k∣zmn(j)−zmn∣2≤η2(j≥j0)\sum_{(m,n)\in A}(1+m)^{2k}(1+n)^{2k}|z^{(j)}_{mn}-z_{mn}|^2\le\eta^2 \qquad(j\ge j_0)

である。有限集合AAについて上限を取るとPk(z(j)−z)≤ηP_k(z^{(j)}-z)\le\etaとなる。したがってPk(z)<∞P_k(z)<\inftyであり、Pk(z(j)−z)→0P_k(z^{(j)}-z)\to0である。kkは任意なのでz∈s(N≥12)z\in s(\NN^2)である。P0P_0は点を分離し、§E12.16 命題 5.12の距離に関する Cauchy 性は各PkP_kに関する Cauchy 性と同値であるから、この距離は完備である。

z∈s(N≥12)z\in s(\NN^2)とk∈N≥0k\in\Nに対して、Pk(z−z[N])2P_k(z-z^{[N]})^2は収束する非負項級数の矩形の外側の和であるから、N→∞N\to\inftyのとき零に収束する。▨

2 核型空間の完備テンソル積

系 2.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の核型空間EEと Hausdorff 局所凸空間FFについて、代数的テンソル積E⊗algFE\otimes_{\mathrm{alg}}F上の射影的テンソル位相と単射的テンソル位相は一致する。

さらにE,FE,Fが Fréchet 空間ならば、代数的テンソル積上の恒等写像は線形同相写像

E⊗^πF≅E⊗^εFE\widehat\otimes_\pi F\cong E\widehat\otimes_\varepsilon F

へ一意に延長される。この同一視の下で

L⟼((x,y)⟼L(x⊗y))L\longmapsto\bigl((x,y)\longmapsto L(x\otimes y)\bigr)

は、(E⊗^εF)′(E\widehat\otimes_\varepsilon F)'からE×FE\times F上の連続双線形形式の空間への線形同型である。

証明.§E12.41 定理 4.1により二つのテンソル位相は一致する。E,FE,Fが Fréchet 空間ならば、二つの完備化は§E12.40 定義 3.2により Fréchet 空間であり、§E12.40 命題 3.1 (3)により代数的テンソル積を固定する線形同相写像が一意に存在する。双対と双線形形式との対応は§E12.40 系 3.3による。▨

例 2.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、H=ℓ2(N≥1;K)H=\ell^2(\NN;\mathbb K)とする。このとき、双線形形式

B(x,y)=∑n=1∞xnynB(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}x_ny_n

は∣B(x,y)∣≤∥x∥2∥y∥2|B(x,y)|\le\|x\|_2\|y\|_2を満たすので連続であり、§E12.40 系 3.3によってH⊗^πHH\widehat\otimes_\pi H上の連続線形汎関数を定める。一方、ene_nを標準単位ベクトルとし、uN=∑n=1Nen⊗enu_N=\sum_{n=1}^Ne_n\otimes e_nとすると、対応する線形汎関数の値はNNであるが、§E12.40 例 5.1によりε(uN)=1\varepsilon(u_N)=1である。したがって、この線形汎関数はH⊗εHH\otimes_\varepsilon H上で連続でなく、H⊗^εHH\widehat\otimes_\varepsilon H上の連続線形汎関数へ延長されない。§E12.41 定理 5.3により無限次元 Banach 空間HHは核型でなく、系 2.1の核型性の仮定を外すことはできない。

定理 2.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、ssをK\mathbb K上の急減少数列の空間とする。このとき、写像

x⊗y⟼(xmyn)m,n≥1x\otimes y\longmapsto(x_my_n)_{m,n\ge1}

は線形同相写像

J ⁣:s⊗^πs⟶s(N≥12)J\colon s\widehat\otimes_\pi s\longrightarrow s(\NN^2)

へ一意に延長される。また、代数的テンソル積上の恒等写像により

s⊗^πs≅s⊗^εss\widehat\otimes_\pi s\cong s\widehat\otimes_\varepsilon s

である。

証明.ssの半ノルムをpk(x)=(∑n≥1(1+n)2k∣xn∣2)1/2p_k(x)=(\sum_{n\ge1}(1+n)^{2k}|x_n|^2)^{1/2}とし、rk=pk⊗πpkr_k=p_k\otimes_\pi p_kとおく。このとき、双線形写像b(x,y)=(xmyn)m,nb(x,y)=(x_my_n)_{m,n}は

Pk(b(x,y))=pk(x)pk(y)P_k(b(x,y))=p_k(x)p_k(y)

を満たすので、§E12.40 補題 1.4により連続である。§E12.41 例 5.1と補題 1.2により両空間は Fréchet 空間であり、§E12.40 系 3.3により連続線形写像JJを得る。三角不等式を有限表示へ適用して下限を取るとPk(Ju)≤rk(u)P_k(Ju)\le r_k(u)であり、この不等式は完備化にも成り立つ。ここでrkr_kの完備化への連続な延長も同じ記号で書く。

a=∑n≥1(1+n)−2<∞a=\sum_{n\ge1}(1+n)^{-2}<\inftyとおく。有限支持の二重数列zzについて、Cauchy–Schwarz の不等式により

rk(∑m,nzmnem⊗en)≤∑m,n(1+m)k(1+n)k∣zmn∣≤aPk+1(z).\begin{aligned} r_k\left(\sum_{m,n}z_{mn}e_m\otimes e_n\right) &\le\sum_{m,n}(1+m)^k(1+n)^k|z_{mn}|\\ &\le aP_{k+1}(z). \end{aligned}

z∈s(N≥12)z\in s(\NN^2)に対してこの評価をz[M]−z[N]z^{[M]}-z^{[N]}に適用すると、補題 1.2により矩形部分和は各rkr_kに関して Cauchy である。(rk)(r_k)は射影的テンソル位相を定めるので、完備化の中で

Sz=lim⁡N→∞∑m,n≤Nzmnem⊗enSz=\lim_{N\to\infty}\sum_{m,n\le N}z_{mn}e_m\otimes e_n

が存在する。極限を取るとrk(Sz)≤aPk+1(z)r_k(Sz)\le aP_{k+1}(z)であり、SSは連続線形写像である。JJの連続性と切断の収束からJSz=zJSz=zである。

x,y∈sx,y\in sとし、x[N]=∑n≤Nxnenx^{[N]}=\sum_{n\le N}x_ne_n、y[N]=∑n≤Nyneny^{[N]}=\sum_{n\le N}y_ne_nとおく。各pkp_kに関してx[N]→xx^{[N]}\to x、y[N]→yy^{[N]}\to yであるから、連続な標準双線形写像によりx[N]⊗y[N]→x⊗yx^{[N]}\otimes y^{[N]}\to x\otimes yである。したがってSJ(x⊗y)=x⊗ySJ(x\otimes y)=x\otimes yである。線形性と代数的テンソル積の稠密性によりSJSJは完備化上の恒等写像である。最後の同型は、§E12.41 例 5.1の核型性と系 2.1による。▨

3 緩増加数列による双対の表示

命題 3.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とする。このとき、急減少数列の空間ssの連続双対s′s'は、数列の空間

{a=(an)n≥1:ある k∈N≥0, C>0 が存在して ∣an∣≤C(1+n)k (n∈N≥1)}\left\{a=(a_n)_{n\ge1}:\text{ある }k\in\N,\ C>0\text{ が存在して } |a_n|\le C(1+n)^k\ (n\in\NN)\right\}

と、双線形な対

⟨a,x⟩=∑n≥1anxn\langle a,x\rangle=\sum_{n\ge1}a_nx_n

によって線形同型である。二重数列の連続双対s(N≥12)′s(\NN^2)'は

{c=(cmn)m,n≥1:ある k∈N≥0, C>0 が存在して ∣cmn∣≤C(1+m)k(1+n)k (m,n∈N≥1)}\left\{c=(c_{mn})_{m,n\ge1}:\text{ある }k\in\N,\ C>0\text{ が存在して } |c_{mn}|\le C(1+m)^k(1+n)^k\ (m,n\in\NN)\right\}

と、⟨c,z⟩=∑m,n≥1cmnzmn\langle c,z\rangle=\sum_{m,n\ge1}c_{mn}z_{mn}によって線形同型である。上の一重数列の集合の元を緩増加数列 (slowly increasing sequence) といい、二重数列の集合の元を緩増加二重数列 (slowly increasing double sequence) という。いずれの級数も絶対収束し、複素数体の場合にも係数の共役は取らない。

証明.d∈{1,2}d\in\{1,2\}とし、d=1d=1のときs(N≥1d)=ss(\NN^d)=sと書く。α=(α1,…,αd)∈N≥1d\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)\in\NN^dに対して

w(α)=∏j=1d(1+αj),qk(z)=(∑α∈N≥1dw(α)2k∣zα∣2)1/2w(\alpha)=\prod_{j=1}^d(1+\alpha_j),\qquad q_k(z)=\left(\sum_{\alpha\in\NN^d}w(\alpha)^{2k}|z_\alpha|^2\right)^{1/2}

とおく。qkq_kはd=1d=1のときpkp_k、d=2d=2のときPkP_kである。L∈s(N≥1d)′L\in s(\NN^d)'に対し、§E12.16 命題 2.4 (4)により∣L(z)∣≤Cqk(z)|L(z)|\le Cq_k(z)となるk∈N≥0,C>0k\in\N,C>0を取る。座標α\alphaだけが11の列をeαe_\alphaとすると、aα=L(eα)a_\alpha=L(e_\alpha)は∣aα∣≤Cw(α)k|a_\alpha|\le Cw(\alpha)^kを満たす。

逆に、k∈N≥0k\in\NとC>0C>0に対して∣aα∣≤Cw(α)k|a_\alpha|\le Cw(\alpha)^k（α∈N≥1d\alpha\in\NN^d）を満たす数列aaを取る。このとき、任意のz∈s(N≥1d)z\in s(\NN^d)について

∑α∈N≥1d∣aαzα∣≤C(∑α∈N≥1dw(α)−2)1/2qk+1(z)=Cγd/2qk+1(z),γ=∑n≥1(1+n)−2,\sum_{\alpha\in\NN^d}|a_\alpha z_\alpha| \le C\left(\sum_{\alpha\in\NN^d}w(\alpha)^{-2}\right)^{1/2}q_{k+1}(z) =C\gamma^{d/2}q_{k+1}(z), \qquad \gamma=\sum_{n\ge1}(1+n)^{-2},

であるから、級数は連続線形汎関数を定める。有限切断はd=1d=1では各pkp_kの級数の尾部評価により、d=2d=2では補題 1.2により収束する。したがって、最初のLLも有限切断上での値を極限へ移すことによりL(z)=∑αaαzαL(z)=\sum_\alpha a_\alpha z_\alphaを満たす。係数はL(eα)L(e_\alpha)で定まるので一意である。▨

4 連続双線形形式の核表示

定理 4.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、ssをK\mathbb K上の急減少数列の空間とする。このとき、s×ss\times s上の任意の連続双線形形式BBに対して、緩増加二重数列c∈s(N≥12)′c\in s(\NN^2)'がただ一つ存在して、すべてのx,y∈sx,y\in sについて

B(x,y)=∑m,n≥1cmnxmynB(x,y)=\sum_{m,n\ge1}c_{mn}x_my_n

が成り立つ。級数は絶対収束する。逆に、任意のc∈s(N≥12)′c\in s(\NN^2)'はこの式によって連続双線形形式を定める。対応は線形であり、cmn=B(em,en)c_{mn}=B(e_m,e_n)である。このccをBBの核 (kernel) という。

証明.§E12.40 系 3.3によりBBに対応するL∈(s⊗^πs)′L\in(s\widehat\otimes_\pi s)'を取り、定理 2.3の同型JJによってL∘J−1∈s(N≥12)′L\circ J^{-1}\in s(\NN^2)'を得る。命題 3.1の表示をJ(x⊗y)=(xmyn)m,nJ(x\otimes y)=(x_my_n)_{m,n}に適用すると、絶対収束する核表示を得る。逆に、ccが定める連続汎関数とJJの合成に§E12.40 系 3.3を適用すると連続双線形形式を得る。x=em,y=enx=e_m,y=e_nを代入するとcmn=B(em,en)c_{mn}=B(e_m,e_n)であるから、核は一意である。いずれの対応も線形写像の合成である。▨

系 4.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、急減少数列の空間ssの双対s′s'に＊弱位相σ(s′,s)\sigma(s',s)を入れる。このとき、ssからs′s'への連続線形写像TTの空間とs(N≥12)′s(\NN^2)'は、

(Tx)(y)=∑m,n≥1cmnxmyn(x,y∈s)(Tx)(y)=\sum_{m,n\ge1}c_{mn}x_my_n \qquad(x,y\in s)

によって線形同型である。

証明.T ⁣:s→(s′,σ(s′,s))T\colon s\to(s',\sigma(s',s))を連続線形写像とし、fn(x)=(Tx)(en)f_n(x)=(Tx)(e_n)とおく。＊弱位相の定義により各fnf_nはss上の連続線形汎関数である。Tx∈s′Tx\in s'と命題 3.1により、閉集合

Ak,j={x∈s:∣fn(x)∣≤j(1+n)k for every n∈N≥1}(k∈N≥0, j∈N≥1)A_{k,j}=\{x\in s:|f_n(x)|\le j(1+n)^k\text{ for every }n\in\NN\} \qquad(k\in\N,\ j\in\NN)

はssを覆う。ssは§E12.41 例 5.1により Fréchet 空間であるから、§E12.20 定理 1.2により、内点をもつAk,jA_{k,j}が存在する。その内点x0x_0を取る。半ノルム列(pl)(p_l)は増加するので、あるl∈N≥0,δ>0l\in\N,\delta>0が存在して

x0+{h:pl(h)<δ}⊆Ak,jx_0+\{h:p_l(h)<\delta\}\subseteq A_{k,j}

が成り立つ。pl(h)<δp_l(h)<\deltaならば、x0+h,x0∈Ak,jx_0+h,x_0\in A_{k,j}から∣fn(h)∣≤2j(1+n)k|f_n(h)|\le2j(1+n)^kとなる。斉次性により

∣fn(x)∣≤2jδpl(x)(1+n)k(x∈s, n∈N≥1)|f_n(x)|\le\frac{2j}{\delta}p_l(x)(1+n)^k \qquad(x\in s,\ n\in\NN)

を得る。実際、t>pl(x)/δt>p_l(x)/\deltaに対してh=x/th=x/tを代入し、t↓pl(x)/δt\downarrow p_l(x)/\deltaとすればよい。

cmn=fn(em)c_{mn}=f_n(e_m)とおくと、∣cmn∣≤(2j/δ)(1+m)l(1+n)k|c_{mn}|\le(2j/\delta)(1+m)^l(1+n)^kであり、両指数をmax⁡{k,l}\max\{k,l\}で抑えることによりc∈s(N≥12)′c\in s(\NN^2)'を得る。各fnf_nの連続性とxxの有限切断の収束からfn(x)=∑mcmnxmf_n(x)=\sum_m c_{mn}x_mである。命題 3.1をTxTxに適用すると

(Tx)(y)=∑nfn(x)yn=∑m,ncmnxmyn.(Tx)(y)=\sum_n f_n(x)y_n=\sum_{m,n}c_{mn}x_my_n.

最後の和は同じ命題を(xmyn)m,n∈s(N≥12)(x_my_n)_{m,n}\in s(\NN^2)に適用することにより絶対収束するので、和の順序を交換することができる。

逆にc∈s(N≥12)′c\in s(\NN^2)'を取ると、定理 4.1により核ccをもつ連続双線形形式BBが存在する。(Tx)(y)=B(x,y)(Tx)(y)=B(x,y)と定めるとTx∈s′Tx\in s'であり、各y∈sy\in sに対してx↦(Tx)(y)x\mapsto(Tx)(y)は連続である。＊弱位相はこれらの評価によって定まるのでTTは連続である。cmn=(Tem)(en)c_{mn}=(Te_m)(e_n)であるから、対応する核は一意である。▨

例 4.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、ssをK\mathbb K上の急減少数列の空間とする。cmn=δn,m+1c_{mn}=\delta_{n,m+1}（m,n∈N≥1m,n\in\NN）とおく。このとき、∣cmn∣≤1|c_{mn}|\le1であるからccは緩増加二重数列であり、定理 4.1により連続双線形形式

B(x,y)=∑m,n≥1cmnxmyn=∑m≥1xmym+1(x,y∈s)B(x,y)=\sum_{m,n\ge1}c_{mn}x_my_n =\sum_{m\ge1}x_my_{m+1} \qquad(x,y\in s)

を定める。系 4.2により、BBに対応する連続線形写像T ⁣:s→(s′,σ(s′,s))T\colon s\to(s',\sigma(s',s))は(Tx)(y)=B(x,y)(Tx)(y)=B(x,y)を満たす。したがって、任意のx∈sx\in sについて

(Tx)(en)={0,n=1,xn−1,n≥2(Tx)(e_n)= \begin{cases} 0,&n=1,\\ x_{n-1},&n\ge2 \end{cases}

であり、TxTxを表す係数列は(0,x1,x2,…)(0,x_1,x_2,\ldots)である。とくに、TemTe_mは第m+1m+1座標の評価汎関数である。

注意 4.4.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の急減少数列の空間ssに対して、s(N≥12)′s(\NN^2)'の強双対位相は、s(N≥12)s(\NN^2)の有界集合DDを動かした半ノルム

c⟼sup⁡z∈D∣∑m,ncmnzmn∣c\longmapsto\sup_{z\in D}\left|\sum_{m,n}c_{mn}z_{mn}\right|

によって定まる。一方、＊弱位相ではDDを有限集合に限る。

有限テンソル∑j=1ra(j)⊗b(j)∈s′⊗algs′\sum_{j=1}^r a^{(j)}\otimes b^{(j)}\in s'\otimes_{\mathrm{alg}}s'が定める核はcmn=∑j=1ram(j)bn(j)c_{mn}=\sum_{j=1}^r a_m^{(j)}b_n^{(j)}であり、対応する写像s→s′s\to s'の像はb(1),…,b(r)b^{(1)},\ldots,b^{(r)}の線形包に含まれる。一方、核cmn=δmnc_{mn}=\delta_{mn}は緩増加であり、その写像はeme_mを第mm座標の評価汎関数へ送るので無限階数である。したがって、この核は双対の代数的テンソル積の元ではない。双対のテンソル積の完備化による核の同定には、完備化の位相と、s(N≥12)s(\NN^2)の有界集合上の一様収束を定める半ノルムとの比較が必要である。

前提記事