§E12.19商空間

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線形代数では、線形部分空間を法とする剰余類の全体は線形空間をなし、有限次元の場合にはその部分空間の補空間と同一視することができる。無限次元の位相線形空間では、剰余類の全体に入れる位相を定める必要がある。また、閉線形部分空間であっても連続な射影を与える補空間をもつとは限らないので、補空間との同一視に頼ることはできない。商空間は、標準射影による商位相を剰余類の全体に入れた位相線形空間であり、補空間を選ばずに部分空間を法とする考察を行うための、関数解析で最も基本的な構成の一つである。たとえば、1≤p<∞1\leq p<\inftyについてpp乗可積分な関数の全体を、ほとんど至る所で00に等しい関数の全体で割ると、Banach 空間LpL^pが得られる。商空間と補空間は、核が有限次元であり像が有限余次元の閉部分空間である作用素を扱う Fredholm 作用素の理論の基礎になる。本記事では、商空間と位相的補空間の基本的な性質を、代表的な例とともに解説する。

1 商位相

定義 1.1.EEをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の位相線形空間とし、MMをEEの線形部分空間とする。剰余類x+Mx+M（x∈Ex\in E）の全体E/ME/Mは剰余類の和とスカラー倍によりK\mathbb K上の線形空間であり（§E3.6 命題 1.3）、標準射影πM ⁣:E→E/M\pi_M\colon E\to E/M,πM(x)=x+M\pi_M(x)=x+Mは全射な線形写像である（§E3.6 命題 1.5）。E/ME/MにπM\pi_Mによる商位相（§E2.12 定義 8.7）を入れたものを、EEのMMによる 商空間 (quotient space) という。dim⁡(E/M)\dim(E/M)をMMのEEにおける 余次元 (codimension) といい、余次元が有限であるときMMはEEで 有限余次元 (finite codimension)、無限であるとき 無限余次元 (infinite codimension) であるという。

命題 1.2.EEをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の位相線形空間とし、MMをEEの線形部分空間とする。商空間E/ME/Mについてπ=πM\pi=\pi_Mと書く。

  1. π\piは連続かつ開な線形全射である。
  2. E/ME/Mは位相線形空間である。UUがEEの零近傍の全体を動くときのπ(U)\pi(U)はE/ME/Mの零近傍であり、E/ME/Mの任意の零近傍はそのいずれかを含む。
  3. FFをK\mathbb K上の位相線形空間とし、T ⁣:E→FT\colon E\to FをM⊆ker⁡TM\subseteq\ker Tを満たす線形写像とし、T~ ⁣:E/M→F\widetilde T\colon E/M\to FをT~∘π=T\widetilde T\circ\pi=Tを満たす線形写像とする（§E3.6 定理 2.1）。このとき、T~\widetilde Tが連続であるための必要十分条件は、TTが連続であることである。
  4. E/ME/Mが Hausdorff であるための必要十分条件は、MMがEEの閉集合であることである。
  5. ppをEE上の連続な半ノルムとする。このとき、p^(π(x))=inf⁡m∈Mp(x+m)\widehat p(\pi(x))=\inf_{m\in M}p(x+m)（x∈Ex\in E）によりE/ME/M上の連続な半ノルムp^\widehat pが定まり、p^\widehat pは{y∈E/M∣p^(y)<1}=π({x∈E∣p(x)<1})\{y\in E/M\mid\widehat p(y)<1\}=\pi(\{x\in E\mid p(x)<1\})を満たす。
  6. EEが局所凸空間ならば、E/ME/Mは局所凸空間であり、E/ME/Mの位相は、ppがEE上の連続な半ノルムの全体を動くときのp^\widehat pの全体が定める位相に等しい。
  7. MMはEEの閉集合であるとし、ddをEE上の距離で、任意のx,y,a∈Ex,y,a\in Eについてd(x+a,y+a)=d(x,y)d(x+a,y+a)=d(x,y)を満たし、ddが定める位相がEEの位相に等しく、(E,d)(E,d)が完備であるものとする。このとき、d~(π(x),π(y))=inf⁡m∈Md(x,y+m)\widetilde d(\pi(x),\pi(y))=\inf_{m\in M}d(x,y+m)（x,y∈Ex,y\in E）はE/ME/M上の距離であり、任意のy,z,a∈E/My,z,a\in E/Mについてd~(y+a,z+a)=d~(y,z)\widetilde d(y+a,z+a)=\widetilde d(y,z)を満たし、d~\widetilde dが定める位相はE/ME/Mの位相に等しく、(E/M,d~)(E/M,\widetilde d)は完備距離空間である。とくに、F 空間の閉部分空間による商空間は F 空間であり、Fréchet 空間の閉部分空間による商空間は Fréchet 空間である。

証明.

主張 1.2.1.X,Y,ZX,Y,Zを位相空間とし、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを連続かつ開な全射とし、g ⁣:Y→Zg\colon Y\to Zを写像とする。g∘fg\circ fが連続ならば、ggは連続である。

証明.W⊆ZW\subseteq Zを開集合とする。ffは全射であるからg−1(W)=f(f−1(g−1(W)))=f((g∘f)−1(W))g^{-1}(W)=f\bigl(f^{-1}(g^{-1}(W))\bigr)=f\bigl((g\circ f)^{-1}(W)\bigr)であり、(g∘f)−1(W)(g\circ f)^{-1}(W)は開集合でffは開写像であるから、g−1(W)g^{-1}(W)は開集合である。▨

主張 (1)を示す。§E3.6 命題 1.5によりπ\piは全射な線形写像であり、§E2.12 命題 8.9によりπ\piは連続である。U⊆EU\subseteq Eを開集合とする。π−1(π(U))=U+M\pi^{-1}(\pi(U))=U+Mであり、§E12.16 補題 1.6 (5)によりU+MU+Mは開集合であるから、商位相の定義によりπ(U)\pi(U)はE/ME/Mの開集合である。

主張 (2)を示す。和s ⁣:E×E→Es\colon E\times E\to Eとスカラー倍σ ⁣:K×E→E\sigma\colon\mathbb K\times E\to Eがs~∘(π×π)=π∘s\widetilde s\circ(\pi\times\pi)=\pi\circ sとσ~∘(id⁡K×π)=π∘σ\widetilde\sigma\circ(\id_{\mathbb K}\times\pi)=\pi\circ\sigmaを満たすように、E/ME/Mの和s~ ⁣:E/M×E/M→E/M\widetilde s\colon E/M\times E/M\to E/Mとスカラー倍σ~ ⁣:K×E/M→E/M\widetilde\sigma\colon\mathbb K\times E/M\to E/Mが定まる。π×π\pi\times\piとid⁡K×π\id_{\mathbb K}\times\piは連続な全射であり、主張 (1)と§E2.14 系 1.19により開写像である。π∘s\pi\circ sとπ∘σ\pi\circ\sigmaは連続であるから、主張 1.2.1によりs~\widetilde sとσ~\widetilde\sigmaは連続であり、E/ME/Mは位相線形空間である。UUをEEの零近傍とすると、0∈O⊆U0\in O\subseteq Uを満たす開集合OOがあり、π(O)\pi(O)は開集合で0∈π(O)⊆π(U)0\in\pi(O)\subseteq\pi(U)であるから、π(U)\pi(U)はE/ME/Mの零近傍である。WWをE/ME/Mの零近傍とすると、π\piの連続性によりπ−1(W)\pi^{-1}(W)はEEの零近傍であり、π\piが全射であるからπ(π−1(W))=W\pi(\pi^{-1}(W))=Wである。

主張 (3)を示す。T~\widetilde Tが連続ならば、T=T~∘πT=\widetilde T\circ\piは連続である。TTが連続ならば、主張 (1)と主張 1.2.1によりT~\widetilde Tは連続である。

主張 (4)を示す。主張 (2)によりE/ME/Mは位相線形空間であるから、§E12.16 命題 1.5により、E/ME/Mが Hausdorff であることは{0}\{0\}がE/ME/Mの閉集合であることと同値である。商位相の定義により、V⊆E/MV\subseteq E/Mが開集合であることとπ−1(V)\pi^{-1}(V)が開集合であることは同値であり、π−1(E/M∖C)=E∖π−1(C)\pi^{-1}(E/M\setminus C)=E\setminus\pi^{-1}(C)であるから、C⊆E/MC\subseteq E/Mが閉集合であることとπ−1(C)\pi^{-1}(C)が閉集合であることは同値である。π−1({0})=M\pi^{-1}(\{0\})=Mであるから、{0}\{0\}が閉集合であることはMMが閉集合であることと同値である。

主張 (5)を示す。π(x)=π(x′)\pi(x)=\pi(x')ならばx′−x∈Mx'-x\in Mであるから、{x′+m∣m∈M}={x+m∣m∈M}\{x'+m\mid m\in M\}=\{x+m\mid m\in M\}であり、p^\widehat pは定義される。p^≥0\widehat p\geq0であり、p^(π(0))≤p(0)=0\widehat p(\pi(0))\leq p(0)=0である。x,y∈Ex,y\in Eとm1,m2∈Mm_1,m_2\in Mについてp^(π(x)+π(y))≤p(x+y+m1+m2)≤p(x+m1)+p(y+m2)\widehat p(\pi(x)+\pi(y))\leq p(x+y+m_1+m_2)\leq p(x+m_1)+p(y+m_2)であるから、m1,m2m_1,m_2について下限をとるとp^(π(x)+π(y))≤p^(π(x))+p^(π(y))\widehat p(\pi(x)+\pi(y))\leq\widehat p(\pi(x))+\widehat p(\pi(y))を得る。λ∈K∖{0}\lambda\in\mathbb K\setminus\{0\}について、m↦λmm\mapsto\lambda mはMMの全単射であるから、p^(λπ(x))=inf⁡m∈Mp(λx+λm)=∣λ∣p^(π(x))\widehat p(\lambda\pi(x))=\inf_{m\in M}p(\lambda x+\lambda m)=\lvert\lambda\rvert\widehat p(\pi(x))であり、λ=0\lambda=0の場合はp^(0)=0\widehat p(0)=0である。ゆえにp^\widehat pは半ノルムである。p^(π(x))<1\widehat p(\pi(x))<1であることは、p(x+m)<1p(x+m)<1を満たすm∈Mm\in Mが存在することと同値であり、π(x)=π(x+m)\pi(x)=\pi(x+m)であるから、{p^<1}=π({p<1})\{\widehat p<1\}=\pi(\{p<1\})である。§E12.16 補題 2.2により{p<1}\{p<1\}はEEの零近傍であり、ppが連続であるから{p<1}=p−1([0,1))\{p<1\}=p^{-1}([0,1))は開集合である。主張 (1)によりπ({p<1})\pi(\{p<1\})は00を含む開集合であるから、{p^<1}\{\widehat p<1\}はE/ME/Mの零近傍であり、§E12.16 補題 2.2によりp^\widehat pは連続である。

主張 (6)を示す。EEを局所凸空間とし、PE\mathcal P_EをEE上の連続な半ノルムの全体とし、P^E={p^∣p∈PE}\widehat{\mathcal P}_E=\{\widehat p\mid p\in\mathcal P_E\}とおく。WWをE/ME/Mの零近傍とする。π−1(W)\pi^{-1}(W)はEEの零近傍であるから、§E12.16 定理 2.9 条件 (b)により、π−1(W)\pi^{-1}(W)に含まれる絶対凸な零近傍VVが存在する。§E12.16 命題 1.4 (2)によりVVは吸収的であり、§E12.16 命題 2.8 (3)と§E12.16 命題 2.8 (4)によりpV∈PEp_V\in\mathcal P_Eである。§E12.16 命題 2.8 (2)により{pV<1}⊆V\{p_V<1\}\subseteq Vであるから、主張 (5)により

{y∈E/M∣pV^(y)<1}=π({pV<1})⊆π(V)⊆W\{y\in E/M\mid\widehat{p_V}(y)<1\}=\pi(\{p_V<1\})\subseteq\pi(V)\subseteq W

である。左辺はpV^\widehat{p_V}が半ノルムであるから凸であり、主張 (5)によりE/ME/Mの零近傍である。ゆえにE/ME/Mは局所凸空間である。また、E/ME/Mの位相は位相線形空間の位相であり、各p^∈P^E\widehat p\in\widehat{\mathcal P}_Eは連続であり、任意の零近傍WWは{pV^<1}=B{pV^},1(0)\{\widehat{p_V}<1\}=B_{\{\widehat{p_V}\},1}(0)を含むから、§E12.16 命題 2.4 (7)によりE/ME/Mの位相はP^E\widehat{\mathcal P}_Eが定める位相に等しい。

主張 (7)を示す。π(x)=π(x′)\pi(x)=\pi(x')とπ(y)=π(y′)\pi(y)=\pi(y')を満たすx,x′,y,y′∈Ex,x',y,y'\in Eをとり、x′=x+ax'=x+a,y′=y+by'=y+b（a,b∈Ma,b\in M）とおく。ddの平行移動不変性によりd(x′,y′+m)=d(x,y+b+m−a)d(x',y'+m)=d(x,y+b+m-a)であり、b−a+mb-a+mはm∈Mm\in MとともにMMを動くから、d~\widetilde dは定義される。d~≥0\widetilde d\geq0であり、d~(π(x),π(x))=0\widetilde d(\pi(x),\pi(x))=0である。d(x,y+m)=d(y,x−m)d(x,y+m)=d(y,x-m)であるからd~(π(x),π(y))=d~(π(y),π(x))\widetilde d(\pi(x),\pi(y))=\widetilde d(\pi(y),\pi(x))である。x,y,z∈Ex,y,z\in Eとm1,m2∈Mm_1,m_2\in Mについて、d(y+m1,z+m1+m2)=d(y,z+m2)d(y+m_1,z+m_1+m_2)=d(y,z+m_2)であるから

d~(π(x),π(z))≤d(x,z+m1+m2)≤d(x,y+m1)+d(y,z+m2)\widetilde d(\pi(x),\pi(z))\leq d(x,z+m_1+m_2)\leq d(x,y+m_1)+d(y,z+m_2)

であり、m1,m2m_1,m_2について下限をとると三角不等式を得る。d~(π(x),π(y))=0\widetilde d(\pi(x),\pi(y))=0ならば、d(x,y+mk)→0d(x,y+m_k)\to0を満たすMMの点列(mk)k∈N≥1(m_k)_{k\in\NN}が存在し、y+mk→xy+m_k\to xである。§E12.16 命題 1.4 (1)により平行移動は連続であるからmk→x−ym_k\to x-yであり、MMは閉集合であるからx−y∈Mx-y\in Mとなってπ(x)=π(y)\pi(x)=\pi(y)である。ゆえにd~\widetilde dはE/ME/M上の距離である。a=π(c)a=\pi(c)についてd~(π(x)+a,π(y)+a)=inf⁡m∈Md(x+c,y+c+m)=d~(π(x),π(y))\widetilde d(\pi(x)+a,\pi(y)+a)=\inf_{m\in M}d(x+c,y+c+m)=\widetilde d(\pi(x),\pi(y))であり、d~\widetilde dは平行移動不変である。

実数r>0r>0についてBr={x∈E∣d(x,0)<r}B_r=\{x\in E\mid d(x,0)<r\}とおく。ddがEEの位相を定めるから、BrB_rの全体はEEの零近傍の基をなす。d(x,m)=d(x−m,0)d(x,m)=d(x-m,0)であるから、d~(π(x),0)<r\widetilde d(\pi(x),0)<rであることはx−m∈Brx-m\in B_rを満たすm∈Mm\in Mが存在することと同値であり、π(x)=π(x−m)\pi(x)=\pi(x-m)であるから、{y∈E/M∣d~(y,0)<r}=π(Br)\{y\in E/M\mid\widetilde d(y,0)<r\}=\pi(B_r)である。主張 (2)により、これらの集合の全体はE/ME/Mの零近傍の基をなす。d~\widetilde dの平行移動不変性により、y∈E/My\in E/Mを中心とする半径rrのd~\widetilde dに関する開球はy+π(Br)y+\pi(B_r)であり、§E12.16 命題 1.4 (1)によりE/ME/Mの位相に関するyyの近傍の全体はy+Wy+W（WWはE/ME/Mの零近傍）の全体であるから、これらの開球はE/ME/Mの位相に関するyyの近傍の基をなす。ゆえにd~\widetilde dが定める位相はE/ME/Mの位相に等しい。

(yk)k∈N≥1(y_k)_{k\in\NN}を(E/M,d~)(E/M,\widetilde d)の Cauchy 列とする。正の整数の増加列k1<k2<⋯k_1<k_2<\cdotsを、i,l≥kji,l\geq k_jならばd~(yi,yl)<2−j\widetilde d(y_i,y_l)<2^{-j}となるようにとり、zj=ykjz_j=y_{k_j}とおく。d~(zj,zj+1)<2−j\widetilde d(z_j,z_{j+1})<2^{-j}である。π(x1)=z1\pi(x_1)=z_1を満たすx1∈Ex_1\in Eをとり、π(xj)=zj\pi(x_j)=z_jを満たすxjx_jが得られたとき、π(x′)=zj+1\pi(x')=z_{j+1}を満たすx′∈Ex'\in Eをとる。d~\widetilde dの定義によりinf⁡m∈Md(xj,x′+m)=d~(zj,zj+1)<2−j\inf_{m\in M}d(x_j,x'+m)=\widetilde d(z_j,z_{j+1})<2^{-j}であるから、d(xj,x′+m)<2−jd(x_j,x'+m)<2^{-j}を満たすm∈Mm\in Mが存在し、xj+1=x′+mx_{j+1}=x'+mとおく。π(xj+1)=zj+1\pi(x_{j+1})=z_{j+1}かつd(xj,xj+1)<2−jd(x_j,x_{j+1})<2^{-j}である。j<lj<lならばd(xj,xl)≤∑i=jl−1d(xi,xi+1)<21−jd(x_j,x_l)\leq\sum_{i=j}^{l-1}d(x_i,x_{i+1})<2^{1-j}であるから、(xj)j∈N≥1(x_j)_{j\in\NN}は(E,d)(E,d)の Cauchy 列であり、(E,d)(E,d)は完備であるから、あるx∈Ex\in Eに収束する。π\piは連続であり、d~\widetilde dが定める位相はE/ME/Mの位相に等しいから、d~(zj,π(x))→0\widetilde d(z_j,\pi(x))\to0である。i≥kji\geq k_jならばd~(yi,zj)<2−j\widetilde d(y_i,z_j)<2^{-j}であり、d~(yi,π(x))≤d~(yi,zj)+d~(zj,π(x))\widetilde d(y_i,\pi(x))\leq\widetilde d(y_i,z_j)+\widetilde d(z_j,\pi(x))であるから、(yk)k∈N≥1(y_k)_{k\in\NN}はπ(x)\pi(x)に収束する。ゆえに(E/M,d~)(E/M,\widetilde d)は完備である。

EEが F 空間であるとき、§E12.16 定義 5.13の距離ddは主張 (7)の仮定を満たすから、d~\widetilde dは§E12.16 定義 5.13の条件を満たし、E/ME/Mは F 空間である。EEが Fréchet 空間であるとき、EEは局所凸空間であるから、主張 (6)によりE/ME/Mは局所凸空間であり、F 空間でもあるから、§E12.16 定義 5.14により Fréchet 空間である。▨

例 1.3.c0c_0を00に収束するK\mathbb K値数列の全体とし、上限ノルム∥⋅∥∞\lVert\cdot\rVert_\inftyを入れる。c00c_{00}を有限個の成分だけが零でない数列の全体とし、π=πc00\pi=\pi_{c_{00}}とおく。このとき、c00c_{00}はc0c_0の線形部分空間であり、x0=(1/n)n∈N≥1x_0=(1/n)_{n\in\NN}はc0∖c00c_0\setminus c_{00}に属する。

x∈c0x\in c_0とN∈N≥1N\in\NNについて、第NN成分までをxxと等しくし、第N+1N+1成分以降を00とした数列x[N]∈c00x^{[N]}\in c_{00}は∥x−x[N]∥∞=sup⁡n>N∣xn∣→0\lVert x-x^{[N]}\rVert_\infty=\sup_{n>N}\lvert x_n\rvert\to0（N→∞N\to\infty）を満たすから、c00c_{00}はc0c_0で稠密である。WWを商空間c0/c00c_0/c_{00}の空でない開集合とし、π(x)∈W\pi(x)\in Wを満たすx∈c0x\in c_0をとる。π−1(W)\pi^{-1}(W)はxxを含む開集合であるから、∥u∥∞<r\lVert u\rVert_\infty<rを満たすuuについてx+u∈π−1(W)x+u\in\pi^{-1}(W)となるr>0r>0が存在する。任意のz∈c0z\in c_0について、稠密性により∥z−x−m∥∞<r\lVert z-x-m\rVert_\infty<rを満たすm∈c00m\in c_{00}が存在し、z−m∈π−1(W)z-m\in\pi^{-1}(W)であるからπ(z)=π(z−m)∈W\pi(z)=\pi(z-m)\in Wである。ゆえにW=c0/c00W=c_0/c_{00}であり、c0/c00c_0/c_{00}の開集合は∅\emptysetとc0/c00c_0/c_{00}だけである。π(x0)≠0\pi(x_0)\neq0であるからc0/c00c_0/c_{00}は 2 点以上をもち、Hausdorff でない。したがって、ノルム空間c0c_0の稠密な線形部分空間c00c_{00}による商空間c0/c00c_0/c_{00}は F 空間でない。

2 商ノルム

命題 2.1.XXをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上のノルム空間とし、MMをXXの閉線形部分空間とする。XXにノルムが定める位相を入れ、商空間X/MX/Mについてπ=πM\pi=\pi_Mと書く。y∈X/My\in X/Mについて

∥y∥X/M=inf⁡{∥x∥∣x∈X, π(x)=y}\lVert y\rVert_{X/M}=\inf\{\lVert x\rVert\mid x\in X,\ \pi(x)=y\}

とおく。

  1. 任意の実数r>0r>0について{y∈X/M∣∥y∥X/M<r}=π({x∈X∣∥x∥<r})\{y\in X/M\mid\lVert y\rVert_{X/M}<r\}=\pi(\{x\in X\mid\lVert x\rVert<r\})である。とくに、任意のx∈Xx\in Xについて∥π(x)∥X/M≤∥x∥\lVert\pi(x)\rVert_{X/M}\leq\lVert x\rVertである。
  2. ∥⋅∥X/M\lVert\cdot\rVert_{X/M}はX/MX/M上のノルムであり、このノルムが定める位相はX/MX/Mの商位相に等しい。このノルムを商ノルム (quotient norm) という。
  3. XXが Banach 空間ならば、ノルム∥⋅∥X/M\lVert\cdot\rVert_{X/M}についてX/MX/Mは Banach 空間である。

証明.主張 (1)を示す。∥y∥X/M<r\lVert y\rVert_{X/M}<rであることは、π(x)=y\pi(x)=yかつ∥x∥<r\lVert x\rVert<rを満たすx∈Xx\in Xが存在することと同値である。∥y∥X/M\lVert y\rVert_{X/M}の定義から∥π(x)∥X/M≤∥x∥\lVert\pi(x)\rVert_{X/M}\leq\lVert x\rVertを得る。

主張 (2)を示す。XXは§E12.16 命題 2.10により位相線形空間であり、ノルムは§E10.1 命題 1.2により連続な半ノルムである。x0∈Xx_0\in Xとする。MMは線形部分空間であるから、{∥x∥∣π(x)=π(x0)}={∥x0+m∥∣m∈M}\{\lVert x\rVert\mid\pi(x)=\pi(x_0)\}=\{\lVert x_0+m\rVert\mid m\in M\}であり、∥π(x0)∥X/M\lVert\pi(x_0)\rVert_{X/M}は命題 1.2 (5)の∥⋅∥^(π(x0))\widehat{\lVert\cdot\rVert}(\pi(x_0))に等しい。ゆえに∥⋅∥X/M\lVert\cdot\rVert_{X/M}はX/MX/M上の連続な半ノルムである。命題 1.2 (2)によりX/MX/Mは位相線形空間である。開球{x∣∥x∥<ε}\{x\mid\lVert x\rVert<\varepsilon\}（ε>0\varepsilon>0）の全体はXXの零近傍の基をなすから、命題 1.2 (2)と主張 (1)によりB{∥⋅∥X/M},ε(0)=π({x∣∥x∥<ε})B_{\{\lVert\cdot\rVert_{X/M}\},\varepsilon}(0)=\pi(\{x\mid\lVert x\rVert<\varepsilon\})（ε>0\varepsilon>0）の全体はX/MX/Mの零近傍の基をなす。MMは閉集合であるから、命題 1.2 (4)によりX/MX/Mは Hausdorff であり、§E12.16 命題 1.5によりX/MX/Mの零近傍の全体の共通部分は{0}\{0\}である。∥y∥X/M=0\lVert y\rVert_{X/M}=0ならば、yyは任意のε>0\varepsilon>0についてB{∥⋅∥X/M},ε(0)B_{\{\lVert\cdot\rVert_{X/M}\},\varepsilon}(0)に属し、これらの集合はX/MX/Mの零近傍の基をなすから、yyはX/MX/Mの任意の零近傍に属し、y=0y=0である。ゆえに∥⋅∥X/M\lVert\cdot\rVert_{X/M}はノルムである。§E12.16 命題 2.4 (7)により、X/MX/Mの位相は{∥⋅∥X/M}\{\lVert\cdot\rVert_{X/M}\}が定める位相に等しく、§E12.16 命題 2.10によりこの位相はノルム∥⋅∥X/M\lVert\cdot\rVert_{X/M}が定める位相に等しい。

主張 (3)を示す。d(x,y)=∥x−y∥d(x,y)=\lVert x-y\rVertはXX上の平行移動不変な距離であり、ddが定める位相はXXの位相に等しく、XXが Banach 空間であるから(X,d)(X,d)は完備である。命題 1.2 (7)の距離d~\widetilde dは

d~(π(x),π(y))=inf⁡m∈M∥x−y−m∥=∥π(x)−π(y)∥X/M\widetilde d(\pi(x),\pi(y))=\inf_{m\in M}\lVert x-y-m\rVert=\lVert\pi(x)-\pi(y)\rVert_{X/M}

であるから、(X/M,d~)(X/M,\widetilde d)は完備距離空間であり、§E10.1 定義 1.3によりX/MX/Mは Banach 空間である。▨

3 位相的直和

補題 3.1.VVを体K\mathbb K上の線形空間とし、W,CW,CをVVの線形部分空間とし、πW ⁣:V→V/W\pi_W\colon V\to V/Wを商写像とする。V=W⊕CV=W\oplus Cであるための必要十分条件は、制限πW∣C ⁣:C→V/W\pi_W|_C\colon C\to V/Wが全単射であることである。このとき、各剰余類はCCにただ一つの代表をもち、πW∣C\pi_W|_Cは線形同型である。

とくに、V/WV/Wが有限次元であるとき、その基底ξ1,…,ξn\xi_1,\ldots,\xi_nの代表v1,…,vn∈Vv_1,\ldots,v_n\in Vを選ぶと、C=span⁡{v1,…,vn}C=\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_n\}はV=W⊕CV=W\oplus Cを満たす。

証明.πW∣C\pi_W|_Cは線形写像であり、その核はW∩CW\cap Cであるから、πW∣C\pi_W|_Cが単射であることとW∩C={0}W\cap C=\{0\}であることは同値である。πW∣C\pi_W|_Cが全射であることは、任意のv∈Vv\in Vに対してπW(c)=πW(v)\pi_W(c)=\pi_W(v)を満たすc∈Cc\in Cが存在すること、すなわちv−c∈Wv-c\in Wを満たすc∈Cc\in Cが存在することと同値である。したがって、全射性はV=W+CV=W+Cと同値であり、二つの条件を合わせると直和の条件V=W⊕CV=W\oplus Cを得る。全射性により各剰余類はCCに代表をもち、単射性によりその代表は一意である。

dim⁡V/W=n<∞\dim V/W=n<\inftyとし、基底ξ1,…,ξn\xi_1,\ldots,\xi_nに対してπW(vi)=ξi\pi_W(v_i)=\xi_iを満たすvi∈Vv_i\in Vを選び、C=span⁡{v1,…,vn}C=\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_n\}とおく（n=0n=0のときはC={0}C=\{0\}とする）。任意のξ∈V/W\xi\in V/Wはξ=∑i=1naiξi=πW(∑i=1naivi)\xi=\sum_{i=1}^na_i\xi_i=\pi_W(\sum_{i=1}^na_iv_i)と表されるから、πW∣C\pi_W|_Cは全射である。c=∑i=1naivi∈Cc=\sum_{i=1}^na_iv_i\in CがπW(c)=0\pi_W(c)=0を満たすならば、∑i=1naiξi=0\sum_{i=1}^na_i\xi_i=0であり、基底の線形独立性によりすべてのaia_iは零である。ゆえにc=0c=0であり、πW∣C\pi_W|_Cは単射である。したがってV=W⊕CV=W\oplus Cである。▨

定義 3.2.EEをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の位相線形空間とし、M,NM,NをEEの線形部分空間でE=M⊕NE=M\oplus N（§E3.8 定義 1.3）を満たすものとする。x∈Ex\in Eをx=m+nx=m+n（m∈Mm\in M,n∈Nn\in N）と一意に表し、PM,N(x)=mP_{M,N}(x)=mと定める。線形写像PM,N ⁣:E→EP_{M,N}\colon E\to Eが連続であるとき、EEはMMとNNの 位相的直和 (topological direct sum) であるといい、NNをMMの 位相的補空間 (topological complement) という。

命題 3.3.EEをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の位相線形空間とする。

  1. M,NM,NをE=M⊕NE=M\oplus Nを満たすEEの線形部分空間とし、M,NM,Nに部分空間位相を、M×NM\times Nに積位相を入れる。このとき、EEがMMとNNの位相的直和であるための必要十分条件は、Φ(m,n)=m+n\Phi(m,n)=m+nで定まる線形写像Φ ⁣:M×N→E\Phi\colon M\times N\to Eが線形同相写像であることである。
  2. P0 ⁣:E→EP_0\colon E\to EをP0∘P0=P0P_0\circ P_0=P_0を満たす連続な線形写像とする。このときE=P0(E)⊕ker⁡P0E=P_0(E)\oplus\ker P_0であり、EEはP0(E)P_0(E)とker⁡P0\ker P_0の位相的直和であり、PP0(E),ker⁡P0=P0P_{P_0(E),\ker P_0}=P_0である。
  3. EEが Hausdorff であり、M,NM,NをE=M⊕NE=M\oplus Nを満たす線形部分空間としてEEがMMとNNの位相的直和であるならば、MMとNNはEEの閉集合である。
  4. M,NM,NをE=M⊕NE=M\oplus Nを満たす線形部分空間としてEEがMMとNNの位相的直和であるならば、NNに部分空間位相を入れたとき、πM\pi_Mの制限πM∣N ⁣:N→E/M\pi_M|_N\colon N\to E/Mは線形同相写像である。

証明.M,NM,NをE=M⊕NE=M\oplus Nを満たす線形部分空間とし、P=PM,NP=P_{M,N}とおく。P(m+n)=mP(m+n)=mによりP(m)=mP(m)=m（m∈Mm\in M）,P(n)=0P(n)=0（n∈Nn\in N）,M=ker⁡(id⁡E−P)M=\ker(\id_E-P),N=ker⁡PN=\ker Pである。

主張 (1)を示す。Φ\Phiは線形な全単射であり、逆写像はΦ−1(x)=(P(x),x−P(x))\Phi^{-1}(x)=(P(x),x-P(x))である。Φ\Phiは包含写像M→EM\to E,N→EN\to Eと和E×E→EE\times E\to Eの合成として連続である。EEがMMとNNの位相的直和であるとする。PPは連続であるから、§E2.12 定理 4.4 (3)によりx↦P(x)x\mapsto P(x)はEEからMMへの連続写像であり、x↦x−P(x)x\mapsto x-P(x)はEEからNNへの連続写像である。§E2.14 定理 1.6 (2)によりΦ−1\Phi^{-1}は連続である。逆にΦ\Phiが線形同相写像であるとする。Φ−1\Phi^{-1}と射影M×N→MM\times N\to Mと包含写像M→EM\to Eの合成は連続であり、この合成はPPに等しい。

主張 (2)を示す。M0=P0(E)M_0=P_0(E),N0=ker⁡P0N_0=\ker P_0とおく。x∈Ex\in Eについてx=P0(x)+(x−P0(x))x=P_0(x)+(x-P_0(x))であり、P0(x−P0(x))=P0(x)−P0(P0(x))=0P_0(x-P_0(x))=P_0(x)-P_0(P_0(x))=0であるからE=M0+N0E=M_0+N_0である。x∈M0∩N0x\in M_0\cap N_0とすると、x∈M0x\in M_0によりx=P0(y)x=P_0(y)を満たすy∈Ey\in Eが存在する。P0∘P0=P0P_0\circ P_0=P_0によりP0(x)=P0(P0(y))=P0(y)=xP_0(x)=P_0(P_0(y))=P_0(y)=xであり、x∈N0x\in N_0によりP0(x)=0P_0(x)=0であるからx=0x=0である。ゆえにE=M0⊕N0E=M_0\oplus N_0であり、xxのM0M_0成分はP0(x)P_0(x)であるからPM0,N0=P0P_{M_0,N_0}=P_0は連続である。

主張 (3)を示す。EEが Hausdorff であるから、§E12.16 命題 1.5により{0}\{0\}はEEの閉集合である。PPとid⁡E−P\id_E-Pは連続であるから、N=P−1({0})N=P^{-1}(\{0\})とM=(id⁡E−P)−1({0})M=(\id_E-P)^{-1}(\{0\})は閉集合である。

主張 (4)を示す。π=πM\pi=\pi_Mとおく。π∣N\pi|_Nは線形であり、連続写像π\piの制限として連続である。E=M⊕NE=M\oplus Nであるから、補題 3.1によりπ∣N ⁣:N→E/M\pi|_N\colon N\to E/Mは線形同型である。M⊆ker⁡(id⁡E−P)M\subseteq\ker(\id_E-P)であり、id⁡E−P\id_E-PはEEからNNへの連続な線形写像であるから、命題 1.2 (3)により、R(π(x))=x−P(x)R(\pi(x))=x-P(x)で定まる線形写像R ⁣:E/M→NR\colon E/M\to Nは連続である。n∈Nn\in NについてR(π(n))=n−P(n)=nR(\pi(n))=n-P(n)=nであるから、RRはπ∣N\pi|_Nの逆写像である。▨

4 有限次元部分空間と有限余次元の部分空間

定理 4.1.EEをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hausdorff 局所凸空間とし、MMをEEの有限次元線形部分空間とする。このとき、EEの閉線形部分空間NNで、EEがMMとNNの位相的直和であるものが存在する。またMMはEEの閉集合である。

証明.n=dim⁡Mn=\dim Mとし、MMの基底e1,…,ene_1,\ldots,e_nをとる（n=0n=0のときは基底は空であり、以下のPPは零写像である）。x∈Mx\in Mをx=∑i=1nfi(x)eix=\sum_{i=1}^nf_i(x)e_iと一意に表すと、fi ⁣:M→Kf_i\colon M\to\mathbb Kは線形写像である。§E12.16 補題 1.6 (1)によりMMは Hausdorff 位相線形空間であるから、§E12.16 系 4.3 (2)により各fif_iは連続である。§E12.17 定理 3.1 (2)により、Fi∣M=fiF_i|_M=f_iを満たすFi∈E′F_i\in E'が存在する。P(x)=∑i=1nFi(x)eiP(x)=\sum_{i=1}^nF_i(x)e_iにより定まる線形写像P ⁣:E→EP\colon E\to Eは連続である。P(E)⊆MP(E)\subseteq Mであり、任意のm∈Mm\in MについてP(m)=∑i=1nfi(m)ei=mP(m)=\sum_{i=1}^nf_i(m)e_i=mである。したがってP(E)=MP(E)=Mであり、任意のx∈Ex\in EについてP(P(x))=P(x)P(P(x))=P(x)であるからP∘P=PP\circ P=Pである。命題 3.3 (2)により、EEはMMとN=ker⁡PN=\ker Pの位相的直和であり、EEは Hausdorff であるから、命題 3.3 (3)によりMMとNNは閉集合である。▨

例 4.2.0<p<10<p<1を満たす実数ppとK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}について、Lp([0,1])L^p([0,1])を§E12.16 命題 7.3のとおりとし、定数関数11の類を1\mathbf 1と書く。§E12.16 例 7.2によりLp([0,1])L^p([0,1])は F 空間であり、とくに距離空間として Hausdorff である。M={c1∣c∈K}M=\{c\mathbf 1\mid c\in\mathbb K\}は 1 次元の線形部分空間であり、§E12.16 系 4.3 (1)によりLp([0,1])L^p([0,1])の閉集合である。MMは§E12.16 補題 1.6 (1)により Hausdorff 位相線形空間であるから、§E12.16 定理 4.1によりc↦c1c\mapsto c\mathbf 1はK\mathbb KからMMへの線形同相写像であり、その逆写像φ ⁣:M→K\varphi\colon M\to\mathbb Kは連続である。

Lp([0,1])L^p([0,1])がMMと線形部分空間NNの位相的直和であるとすると、PM,NP_{M,N}は連続であり、§E2.12 定理 4.4 (3)によりPM,N ⁣:Lp([0,1])→MP_{M,N}\colon L^p([0,1])\to Mとして連続である。ρ=φ∘PM,N∈Lp([0,1])′\rho=\varphi\circ P_{M,N}\in L^p([0,1])'はρ(1)=φ(1)=1\rho(\mathbf 1)=\varphi(\mathbf 1)=1を満たすが、§E12.16 命題 7.3 (2)によりLp([0,1])′={0}L^p([0,1])'=\{0\}であるから矛盾する。ゆえに、閉部分空間MMは位相的補空間をもたない。定理 4.1から局所凸性を外すことはできない。

定理 4.3.EEをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の位相線形空間とし、MMをEEの閉線形部分空間でdim⁡E/M<∞\dim E/M<\inftyを満たすものとする。このとき、E=M⊕NE=M\oplus Nを満たす線形部分空間NNが存在し、E=M⊕NE=M\oplus Nを満たす任意の線形部分空間NNについて、EEはMMとNNの位相的直和である。

証明.E/ME/Mは有限次元であるから、補題 3.1によりE=M⊕NE=M\oplus Nを満たす線形部分空間NNが存在する。

NNをE=M⊕NE=M\oplus Nを満たす任意の線形部分空間とし、P=PM,NP=P_{M,N}とおく。補題 3.1により、πM∣N ⁣:N→E/M\pi_M|_N\colon N\to E/Mは線形な全単射である。MMは閉集合であるから、命題 1.2 (2)と命題 1.2 (4)によりE/ME/Mは有限次元の Hausdorff 位相線形空間であり、§E12.16 補題 1.6 (1)によりNNは位相線形空間である。§E12.16 系 4.3 (2)により、(πM∣N)−1 ⁣:E/M→N(\pi_M|_N)^{-1}\colon E/M\to Nは連続である。x∈Ex\in Eについて(πM∣N)−1(πM(x))=x−P(x)(\pi_M|_N)^{-1}(\pi_M(x))=x-P(x)であるから、写像x↦x−P(x)x\mapsto x-P(x)は連続写像πM\pi_M,(πM∣N)−1(\pi_M|_N)^{-1}と包含写像N→EN\to Eの合成として連続であり、P=id⁡E−(id⁡E−P)P=\id_E-(\id_E-P)も連続である。▨

例 4.4.c00c_{00}を有限個の成分だけが零でないK\mathbb K値数列の全体とし、上限ノルム∥⋅∥∞\lVert\cdot\rVert_\inftyを入れる。ene_nを第nn成分だけが11である数列とし、f(x)=∑n=1∞xnf(x)=\sum_{n=1}^\infty x_nにより線形写像f ⁣:c00→Kf\colon c_{00}\to\mathbb Kを定める。f(e1)=1f(e_1)=1であるから、M=ker⁡fM=\ker fについてc00=M⊕Ke1c_{00}=M\oplus\mathbb Ke_1であり、πM∣Ke1\pi_M|_{\mathbb Ke_1}が線形同型であるからdim⁡c00/M=1\dim c_{00}/M=1である。y(k)=e1−k−1∑j=2k+1ejy^{(k)}=e_1-k^{-1}\sum_{j=2}^{k+1}e_jはf(y(k))=0f(y^{(k)})=0を満たすからMMに属し、∥y(k)−e1∥∞=1/k→0\lVert y^{(k)}-e_1\rVert_\infty=1/k\to0でありe1∉Me_1\notin Mであるから、MMは閉でない。c00c_{00}はノルム空間として Hausdorff 位相線形空間であるから、命題 3.3 (3)により、c00c_{00}はMMとKe1\mathbb Ke_1の位相的直和でない。したがって、定理 4.3から、MMが閉であるという仮定を外すことはできない。

注意 4.5. Banach 空間の閉線形部分空間も、位相的補空間をもつとは限らない。たとえば、有界なK\mathbb K値数列の全体ℓ∞\ell^\inftyに上限ノルムを入れた Banach 空間で、00に収束する数列の全体c0c_0は、無限次元かつ無限余次元の閉線形部分空間であり、位相的補空間をもたない（Phillips の定理）。したがって、Banach 空間に限っても、定理 4.1からMMが有限次元であるという仮定を外すことはできず、定理 4.3からdim⁡E/M<∞\dim E/M<\inftyという仮定を外すことはできない。

5 核と像の補空間による分解

命題 5.1.XXをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hausdorff 局所凸空間とし、YYをK\mathbb K上の位相線形空間とし、A ⁣:X→YA\colon X\to Yを連続な線形写像とする。ker⁡A\ker Aは有限次元であり、im⁡A=A(X)\im A=A(X)はYYの閉集合であり、余核coker⁡A=Y/im⁡A\operatorname{coker}A=Y/\im Aは有限次元であるとする。

  1. XXの閉線形部分空間X1X_1で、XXがker⁡A\ker AとX1X_1の位相的直和であるものが存在する。このような任意のX1X_1について、A∣X1 ⁣:X1→im⁡AA|_{X_1}\colon X_1\to\im Aは連続な線形全単射である。ここでim⁡A\im AにはYYの部分空間位相を入れる。
  2. Y=im⁡A⊕Y1Y=\im A\oplus Y_1を満たすYYの線形部分空間Y1Y_1が存在する。このような任意のY1Y_1について、YYはim⁡A\im AとY1Y_1の位相的直和であり、πim⁡A∣Y1 ⁣:Y1→coker⁡A\pi_{\im A}|_{Y_1}\colon Y_1\to\operatorname{coker}Aは線形同相写像である。とくにdim⁡Y1=dim⁡coker⁡A\dim Y_1=\dim\operatorname{coker}Aである。

証明.主張 (1)を示す。定理 4.1をker⁡A\ker Aに適用すると、XXがker⁡A\ker AとX1X_1の位相的直和であるような閉線形部分空間X1X_1が存在する。このようなX1X_1について、補題 3.1によりπker⁡A∣X1 ⁣:X1→X/ker⁡A\pi_{\ker A}|_{X_1}\colon X_1\to X/\ker Aは線形同型である。§E3.6 定理 3.2による線形同型A~ ⁣:X/ker⁡A→im⁡A\widetilde A\colon X/\ker A\to\im Aとの合成はA∣X1=A~∘(πker⁡A∣X1)A|_{X_1}=\widetilde A\circ(\pi_{\ker A}|_{X_1})であるから、A∣X1A|_{X_1}は線形な全単射である。A∣X1A|_{X_1}は連続写像AAの制限であるから連続である。

主張 (2)を示す。im⁡A\im AはYYの閉線形部分空間でありdim⁡Y/im⁡A<∞\dim Y/\im A<\inftyであるから、定理 4.3により、Y=im⁡A⊕Y1Y=\im A\oplus Y_1を満たすY1Y_1が存在し、そのような任意のY1Y_1についてYYはim⁡A\im AとY1Y_1の位相的直和である。命題 3.3 (4)によりπim⁡A∣Y1\pi_{\im A}|_{Y_1}は線形同相写像であり、とくに線形同型であるからdim⁡Y1=dim⁡coker⁡A\dim Y_1=\dim\operatorname{coker}Aである。▨

例 5.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、ℓ2\ell^2をK\mathbb K値数列の Hilbert 空間とし、S(xn)n≥1=(0,x1,x2,…)S(x_n)_{n\geq1}=(0,x_1,x_2,\ldots),L(xn)n≥1=(x2,x3,…)L(x_n)_{n\geq1}=(x_2,x_3,\ldots)により右シフトSSと左シフトLLを定める。§E12.5 例 3.3によりSSとLLは Fredholm 作用素であり、ker⁡S={0}\ker S=\{0\},ker⁡L=Ke1\ker L=\mathbb Ke_1である。ℓ2\ell^2は Hausdorff 局所凸空間であるから、X=Y=ℓ2X=Y=\ell^2とA∈{S,L}A\in\{S,L\}は命題 5.1の仮定を満たす。

A=LA=Lとし、X1={x∈ℓ2∣x1=0}X_1=\{x\in\ell^2\mid x_1=0\}とおく。ℓ2=Ke1⊕X1\ell^2=\mathbb Ke_1\oplus X_1であり、LS=ILS=Iによりim⁡L=ℓ2\im L=\ell^2であるからY1={0}Y_1=\{0\}である。x∈X1x\in X_1についてSLx=(0,x2,x3,…)=xSLx=(0,x_2,x_3,\ldots)=xであるから、全単射L∣X1 ⁣:X1→ℓ2L|_{X_1}\colon X_1\to\ell^2の逆写像は有界線形作用素SSであり、連続である。

A=SA=Sとすると、ker⁡S={0}\ker S=\{0\}であるからX1=ℓ2X_1=\ell^2であり、im⁡S={x∈ℓ2∣x1=0}\im S=\{x\in\ell^2\mid x_1=0\}である。ℓ2=im⁡S⊕Ke1\ell^2=\im S\oplus\mathbb Ke_1であるからY1=Ke1Y_1=\mathbb Ke_1はℓ2=im⁡S⊕Y1\ell^2=\im S\oplus Y_1を満たし、命題 5.1 (2)によりdim⁡coker⁡S=dim⁡Y1=1\dim\operatorname{coker}S=\dim Y_1=1である。いずれの場合もind⁡A=dim⁡ker⁡A−dim⁡Y1\operatorname{ind}A=\dim\ker A-\dim Y_1は§E12.5 例 3.3の指数（ind⁡L=1\operatorname{ind}L=1,ind⁡S=−1\operatorname{ind}S=-1）に一致する。

例 5.3.c00c_{00}に二つのノルム∥x∥1=∑j∣xj∣\lVert x\rVert_1=\sum_j\lvert x_j\rvertと∥x∥∞=sup⁡j∣xj∣\lVert x\rVert_\infty=\sup_j\lvert x_j\rvertを入れ、X=(c00,∥⋅∥1)X=(c_{00},\lVert\cdot\rVert_1),Y=(c00,∥⋅∥∞)Y=(c_{00},\lVert\cdot\rVert_\infty)とする。§E12.16 例 4.2 (2)により、恒等写像A ⁣:X→YA\colon X\to Yは連続な線形全単射であり、逆写像は連続でない。XXは Hausdorff 局所凸空間であり、ker⁡A={0}\ker A=\{0\},im⁡A=Y\im A=Y,coker⁡A={0}\operatorname{coker}A=\{0\}であるから、XX、YYとAAは命題 5.1の仮定を満たす。X1=XX_1=XとするとA∣X1A|_{X_1}は逆写像が連続でない連続な線形全単射である。したがって命題 5.1 (1)のA∣X1A|_{X_1}が連続な線形全単射であるという結論を、線形同相写像であるという結論に強めることはできない。

6 演習

問題 6.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、有界なK\mathbb K値数列の全体ℓ∞\ell^\inftyに上限ノルム∥⋅∥∞\lVert\cdot\rVert_\inftyを入れたノルム空間と、00に収束する数列の全体c0⊆ℓ∞c_0\subseteq\ell^\inftyを考える。c0c_0がℓ∞\ell^\inftyの閉線形部分空間であることを示せ。さらに、商ノルムについて、任意のx∈ℓ∞x\in\ell^\inftyが

∥πc0(x)∥ℓ∞/c0=lim sup⁡n→∞∣xn∣=inf⁡N∈N≥1sup⁡n≥N∣xn∣\lVert\pi_{c_0}(x)\rVert_{\ell^\infty/c_0}=\limsup_{n\to\infty}\lvert x_n\rvert=\inf_{N\in\NN}\sup_{n\geq N}\lvert x_n\rvert

を満たすことを示せ。

解答.

c0c_0が線形部分空間であることは、00に収束する数列の和とスカラー倍が00に収束する数列であることから従う。c0c_0の点列(x(k))k∈N≥1(x^{(k)})_{k\in\NN}がx∈ℓ∞x\in\ell^\inftyに∥⋅∥∞\lVert\cdot\rVert_\inftyについて収束するとする。実数ε>0\varepsilon>0とする。一様収束により∥x−x(k)∥∞<ε/2\lVert x-x^{(k)}\rVert_\infty<\varepsilon/2を満たすk∈N≥1k\in\NNが存在するので、一つ選ぶ。このkkについてx(k)∈c0x^{(k)}\in c_0であるから、任意のn≥Nn\geq Nが∣xn(k)∣<ε/2\lvert x^{(k)}_n\rvert<\varepsilon/2を満たすN∈N≥1N\in\NNが存在するので、一つ選ぶ。任意のn≥Nn\geq Nについて∣xn∣≤∣xn−xn(k)∣+∣xn(k)∣<ε\lvert x_n\rvert\leq\lvert x_n-x^{(k)}_n\rvert+\lvert x^{(k)}_n\rvert<\varepsilonである。ゆえにx∈c0x\in c_0であり、c0c_0は閉である。

ℓ(x)=inf⁡N∈N≥1sup⁡n≥N∣xn∣\ell(x)=\inf_{N\in\NN}\sup_{n\geq N}\lvert x_n\rvertとおく。c0=−c0c_0=-c_0であるから、∥πc0(x)∥ℓ∞/c0=inf⁡m∈c0∥x−m∥∞\lVert\pi_{c_0}(x)\rVert_{\ell^\infty/c_0}=\inf_{m\in c_0}\lVert x-m\rVert_\inftyである。m∈c0m\in c_0とN∈N≥1N\in\NNについて、

∥x−m∥∞≥sup⁡n≥N∣xn−mn∣≥sup⁡n≥N∣xn∣−sup⁡n≥N∣mn∣≥ℓ(x)−sup⁡n≥N∣mn∣\lVert x-m\rVert_\infty\geq\sup_{n\geq N}\lvert x_n-m_n\rvert\geq\sup_{n\geq N}\lvert x_n\rvert-\sup_{n\geq N}\lvert m_n\rvert\geq\ell(x)-\sup_{n\geq N}\lvert m_n\rvert

であり、m∈c0m\in c_0によりN→∞N\to\inftyのときsup⁡n≥N∣mn∣→0\sup_{n\geq N}\lvert m_n\rvert\to0であるから、∥x−m∥∞≥ℓ(x)\lVert x-m\rVert_\infty\geq\ell(x)である。実数ε>0\varepsilon>0に対してsup⁡n>N∣xn∣<ℓ(x)+ε\sup_{n>N}\lvert x_n\rvert<\ell(x)+\varepsilonを満たすNNをとり、m=(x1,…,xN,0,0,…)∈c0m=(x_1,\ldots,x_N,0,0,\ldots)\in c_0とおくと、∥x−m∥∞=sup⁡n>N∣xn∣<ℓ(x)+ε\lVert x-m\rVert_\infty=\sup_{n>N}\lvert x_n\rvert<\ell(x)+\varepsilonである。ゆえにinf⁡m∈c0∥x−m∥∞=ℓ(x)\inf_{m\in c_0}\lVert x-m\rVert_\infty=\ell(x)である。▨

問題 6.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、c0c_0に上限ノルム∥⋅∥∞\lVert\cdot\rVert_\inftyを入れる。f(x)=∑n=1∞2−nxnf(x)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}x_nによりf ⁣:c0→Kf\colon c_0\to\mathbb Kを定め、M=ker⁡fM=\ker fとおく。ffが連続な線形写像でありMMがc0c_0の閉線形部分空間であることを示し、さらに次を示せ。

  1. 任意のx∈c0x\in c_0について∥πM(x)∥c0/M=∣f(x)∣\lVert\pi_M(x)\rVert_{c_0/M}=\lvert f(x)\rvertである。
  2. f(x)≠0f(x)\neq0を満たすx∈c0x\in c_0と任意のm∈Mm\in Mについて、∥x−m∥∞>∥πM(x)∥c0/M\lVert x-m\rVert_\infty>\lVert\pi_M(x)\rVert_{c_0/M}である。したがって、閉単位球{x∈c0∣∥x∥∞≤1}\{x\in c_0\mid\lVert x\rVert_\infty\leq1\}のπM\pi_Mによる像は、c0/Mc_0/Mの閉単位球に一致しない。
解答.

x∈c0x\in c_0について級数∑n=1∞2−nxn\sum_{n=1}^\infty2^{-n}x_nは絶対収束し、ffは線形である。∣f(x)∣≤∑n=1∞2−n∣xn∣≤∥x∥∞\lvert f(x)\rvert\leq\sum_{n=1}^\infty2^{-n}\lvert x_n\rvert\leq\lVert x\rVert_\inftyであるから、§E10.2 定理 1.5によりffは連続である。K\mathbb Kにおいて{0}\{0\}は閉集合であるから、M=f−1({0})M=f^{-1}(\{0\})は閉線形部分空間である。

(1)を示す。m∈Mm\in Mについて∣f(x)∣=∣f(x−m)∣≤∥x−m∥∞\lvert f(x)\rvert=\lvert f(x-m)\rvert\leq\lVert x-m\rVert_\inftyであるから、∣f(x)∣≤∥πM(x)∥c0/M\lvert f(x)\rvert\leq\lVert\pi_M(x)\rVert_{c_0/M}である。t=f(x)t=f(x)とおく。N∈N≥1N\in\NNについて、第NN成分までがt(1−2−N)−1t(1-2^{-N})^{-1}であり第N+1N+1成分以降が00である数列をzN∈c0z_N\in c_0とすると、f(zN)=t(1−2−N)−1∑n=1N2−n=tf(z_N)=t(1-2^{-N})^{-1}\sum_{n=1}^N2^{-n}=tである。mN=x−zNm_N=x-z_Nはf(mN)=0f(m_N)=0を満たすからMMに属し、∥πM(x)∥c0/M≤∥x−mN∥∞=∥zN∥∞=∣t∣(1−2−N)−1\lVert\pi_M(x)\rVert_{c_0/M}\leq\lVert x-m_N\rVert_\infty=\lVert z_N\rVert_\infty=\lvert t\rvert(1-2^{-N})^{-1}である。N→∞N\to\inftyとして∥πM(x)∥c0/M≤∣t∣\lVert\pi_M(x)\rVert_{c_0/M}\leq\lvert t\rvertを得る。

(2)を示す。t=f(x)≠0t=f(x)\neq0とし、m∈Mm\in Mについて∥x−m∥∞=∣t∣\lVert x-m\rVert_\infty=\lvert t\rvertであると仮定する。z=x−mz=x-mとおくとf(z)=tf(z)=tであり、∑n=1∞2−n=1\sum_{n=1}^\infty2^{-n}=1により

∣t∣=∣f(z)∣≤∑n=1∞2−n∣zn∣≤∥z∥∞=∣t∣\lvert t\rvert=\lvert f(z)\rvert\leq\sum_{n=1}^\infty2^{-n}\lvert z_n\rvert\leq\lVert z\rVert_\infty=\lvert t\rvert

であるから、∑n=1∞2−n(∥z∥∞−∣zn∣)=0\sum_{n=1}^\infty2^{-n}(\lVert z\rVert_\infty-\lvert z_n\rvert)=0であり、各項が非負であるからすべてのnnについて∣zn∣=∣t∣≠0\lvert z_n\rvert=\lvert t\rvert\neq0である。これはz∈c0z\in c_0に反する。ゆえに∥x−m∥∞≠∣t∣\lVert x-m\rVert_\infty\neq\lvert t\rvertであり、(1)により∥x−m∥∞≥∥πM(x)∥c0/M=∣t∣\lVert x-m\rVert_\infty\geq\lVert\pi_M(x)\rVert_{c_0/M}=\lvert t\rvertであるから、∥x−m∥∞>∥πM(x)∥c0/M\lVert x-m\rVert_\infty>\lVert\pi_M(x)\rVert_{c_0/M}である。

f(x)=1f(x)=1を満たすx∈c0x\in c_0をとる（x=(2,0,0,…)x=(2,0,0,\ldots)とすればよい）と、∥πM(x)∥c0/M=1\lVert\pi_M(x)\rVert_{c_0/M}=1であるからπM(x)\pi_M(x)はc0/Mc_0/Mの閉単位球に属する。πM(x′)=πM(x)\pi_M(x')=\pi_M(x)を満たすx′∈c0x'\in c_0はx′=x−mx'=x-m（m∈Mm\in M）と表され、∥x′∥∞>1\lVert x'\rVert_\infty>1であるから、πM(x)\pi_M(x)は閉単位球{x′∣∥x′∥∞≤1}\{x'\mid\lVert x'\rVert_\infty\leq1\}の像に属さない。▨

参考文献

  1. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw Hill, 1991.位相線形空間の商空間と、有限次元部分空間および有限余次元の閉部分空間の補空間の扱いを参考にした。
  2. Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York, 2011.ノルム空間の商ノルムと Banach 空間の商の完備性の扱いを参考にした。
  3. Robert Whitley, Projecting m onto c₀, The American Mathematical Monthly 73 (1966), no. 3, 285–286.実数列および複素数列の有界数列空間において、零収束数列空間が位相的補空間をもたないことの扱いを参考にした。

前提記事