§E12.5左右逆作用素

証明.$d=\dim F$とし、$F$の基底$v_1,\dots,v_d$をとる。$j=0,1,\dots,d$について$M_j=M+\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_j\}$とおく（$M_0=M$）。$M_0$は閉である。$1\le j\le d$とし、$M_{j-1}$が閉であると仮定する。$v_j\in M_{j-1}$ならば$M_j=M_{j-1}$は閉である。$v_j\notin M_{j-1}$とし、$\delta=\inf_{z\in M_{j-1}}\|v_j-z\|$とおく。$\delta=0$ならば$M_{j-1}$の点列で$v_j$に収束するものが存在し、$M_{j-1}$は閉であるから$v_j\in M_{j-1}$となる。したがって$\delta>0$である。$m\in M_{j-1}$と$t\in\mathbb K\setminus\{0\}$について$-t^{-1}m\in M_{j-1}$であるから

であり、この不等式は$t=0$でも成り立つ。$M_j$の点列$(z_k)$が$z\in X$に収束するとし、$z_k=m_k+t_kv_j$（$m_k\in M_{j-1}$、$t_k\in\mathbb K$）と表す。$z_k-z_l=(m_k-m_l)+(t_k-t_l)v_j$に上の不等式を適用すると$|t_k-t_l|\,\delta\le\|z_k-z_l\|$であるから、$(t_k)$は$\mathbb K$の Cauchy 列であり、ある$t\in\mathbb K$に収束する。したがって$m_k=z_k-t_kv_j\to z-tv_j$であり、$M_{j-1}$は閉であるから$z-tv_j\in M_{j-1}$である。したがって$z\in M_j$であり、$M_j$は閉である。$j$についての帰納法により、$M+F=M_d$は閉である。

$X/M$が有限次元であるとし、$N$を$M$を含む$X$の線形部分空間とする。$M\subseteq N$であるから、$q(x+M)=x+N$によって線形な全射$q\colon X/M\to X/N$が定まり、$\ker q=\{x+M:x\in N\}=N/M$である。§E3.9 定理 1.3を$q$に適用すると$\dim X/M=\dim N/M+\dim X/N$であるから、$N/M$と$X/N$は有限次元であり、$\dim X/N\le\dim X/M$である。$k=\dim N/M$とし、$v_1+M,\dots,v_k+M$が$N/M$の基底となる$v_1,\dots,v_k\in N$をとって、$F=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}$とおく。$n\in N$に対して$n+M=\sum_{i=1}^ka_iv_i+M$を満たす$a_1,\dots,a_k\in\mathbb K$が存在し、$n-\sum_{i=1}^ka_iv_i\in M$であるから、$N\subseteq M+F$である。$M+F\subseteq N$と合わせて$N=M+F$であり、前段により$N$は閉である。▨

証明.主張 (1)を示す。§E3.6 命題 1.5により$\pi$は$\ker\pi=\im A$を満たす線形写像であるから、その制限$\pi_A$も線形である。$z\in\ker A^*$が$\pi_A(z)=0$を満たすとする。このとき$z\in\im A$であり、§E12.1 命題 1.4 (1)により$z\in(\im A)^\perp$であるから、$\langle z,z\rangle=0$となって$z=0$である。

主張 (2)を示す。$\im A$が閉であるとし、$y\in H_2$をとる。§E10.3 定理 2.2により、$y=m+n$を満たす$m\in\im A$と$n\in(\im A)^\perp$が存在する。§E12.1 命題 1.4 (1)により$n\in\ker A^*$であり、$y-n=m\in\im A$であるから$\pi(y)=\pi_A(n)$である。したがって$\pi_A$は全射であり、主張 (1)により線形同型である。線形同型は基底を基底へ写すから、$\dim\operatorname{coker}A=\dim\ker A^*$である。

逆に、$\pi_A$が全射であるとし、$y\in\tpcl{\im A}$をとる。$\pi(y)=\pi_A(n)$を満たす$n\in\ker A^*$をとると、$y-n\in\im A$であるから、$n=y-(y-n)$は$\tpcl{\im A}$に属する。§E12.1 命題 1.4 (2)により$\tpcl{\im A}=(\ker A^*)^\perp$であるから、$\langle n,n\rangle=0$となって$n=0$である。したがって$y\in\im A$であり、$\im A$は閉集合である。▨

証明.$\im A$が閉であるとき、命題 2.1 (2)により$\dim\operatorname{coker}A=\dim\ker A^*$である。したがって、$\im A$が閉であるという条件の下で、$\operatorname{coker}A$が有限次元であることは$\ker A^*$が有限次元であることと同値であり、Fredholm 作用素の定義から主張の同値を得る。$A$が Fredholm 作用素ならば$\im A$は閉であるから、指数の定義の$\dim\operatorname{coker}A$を$\dim\ker A^*$に置き換えて所要の式を得る。▨

証明.§E12.1 命題 1.3 (1)、§E12.1 命題 1.3 (2)、§E12.1 命題 1.3 (5)により$(\lambda I-K)^*=\overline\lambda I-K^*$であり、§E12.4 定理 2.1 (2)により$\im(\lambda I-K)$は閉である。命題 2.1 (2)を$A=\lambda I-K$に適用すると、余核写像の$\ker(\overline\lambda I-K^*)$への制限は線形同型であり、$\dim H/\im(\lambda I-K)=\dim\ker(\overline\lambda I-K^*)$である。§E12.4 定理 2.1 (1)により、右辺は$\dim\ker(\lambda I-K)<\infty$に等しい。したがって命題 2.3により$\lambda I-K$は Fredholm 作用素であり、その指数は$0$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$B\in B(H_2,H_1)$を$A$のコンパクト誤差をもつ左逆作用素とし、$K_1=I_{H_1}-BA$、$N=\ker(I_{H_1}-K_1)$とおく。$K_1\in\mathcal K(H_1)$であるから、§E12.2 命題 5.2 (1)により$N$は有限次元である。$Ax=0$ならば$(I_{H_1}-K_1)x=BAx=0$であるから、$\ker A\subseteq N$であり、$\ker A$は有限次元である。

$N$は§E10.1 系 2.4により閉である。§E10.3 命題 2.4により、$N$への直交射影$P_N$について$N^\perp=\ker P_N$は$H_1$の閉線形部分空間であり、すべての$x\in H_1$について$P_Nx\in N$かつ$x-P_Nx\in N^\perp$である。したがって$\im A=A(N^\perp)+A(N)$である。§E12.2 命題 5.1を$K_1$と$\lambda=1$に適用すると、ある$c>0$がすべての$x\in H_1$について$\|(I_{H_1}-K_1)x\|\ge c\operatorname{dist}(x,N)$を満たす。$x\in N^\perp$と$z\in N$について$\langle x,z\rangle=0$であるから$\|x-z\|^2=\|x\|^2+\|z\|^2\ge\|x\|^2$であり、$\operatorname{dist}(x,N)=\|x\|$である。したがって

である。$N^\perp$の点列$(x_n)$と$y\in H_2$が$Ax_n\to y$を満たすとする。$\|x_n-x_m\|\le c^{-1}(\|B\|+1)\|Ax_n-Ax_m\|$であるから$(x_n)$は Cauchy 列であり、$H_1$の完備性によりある$x\in H_1$に収束する。$N^\perp$は閉であるから$x\in N^\perp$であり、$A$の連続性により$Ax=y$である。したがって$A(N^\perp)$は$H_2$の閉線形部分空間である。$A(N)$は有限次元線形空間$N$の線形写像による像であるから、§E3.9 定理 1.3により$\dim A(N)\le\dim N<\infty$である。補題 1.1により、$\im A=A(N^\perp)+A(N)$は閉である。

主張 (2)を示す。$C\in B(H_2,H_1)$を$A$のコンパクト誤差をもつ右逆作用素とし、$K_2=I_{H_2}-AC$、$M=\im(I_{H_2}-K_2)$とおく。$M=\im AC\subseteq\im A$である。$K_2\in\mathcal K(H_2)$であるから、§E12.2 命題 5.2 (2)により$M$は$H_2$の閉線形部分空間であり、系 2.4により$\dim H_2/M=\dim\ker(I_{H_2}-K_2)<\infty$である。補題 1.1を$M$と$M$を含む線形部分空間$\im A$に適用すると、$\im A$は閉であり、$\dim\operatorname{coker}A=\dim H_2/\im A\le\dim H_2/M<\infty$である。

$A$がコンパクト誤差をもつ左逆作用素と右逆作用素をもつならば、主張 (1)と主張 (2)により、$\ker A$と$\operatorname{coker}A$は有限次元であり、$\im A$は閉である。したがって$A$は Fredholm 作用素である。▨