§E12.41核型空間

証明.$T=\sum_n\lambda_nf_n(\cdot)y_n$を核型表示とする。各項の作用素ノルムは$|\lambda_n|$以下であるから$\|T\|\le\sum_n|\lambda_n|$であり、下限を取ると$\|T\|\le\|T\|_{\mathrm N}$である。二つの表示を交互に並べると和の核型表示を得るので、表示の係数の和について下限を取ると三角不等式を得る。係数をスカラー倍すると斉次性を得る。零作用素はすべての係数が零の表示をもち、$\|T\|_{\mathrm N}=0$ならば$\|T\|=0$であるから、核型ノルムはノルムである。

部分和は有限階数であり、§E12.2 命題 1.4によりコンパクトである。部分和は作用素ノルムで$T$に収束するから、§E12.2 命題 1.6により$T$はコンパクトである。有限階数作用素$S$について、像の基底$(v_j)_{j=1}^m$の座標汎関数を$a_j$とする。有限次元ノルムの同値性§E10.1 命題 2.2により$a_j$は連続であり、$Sx=\sum_{j=1}^m(a_j\circ S)(x)v_j$である。零項を除き、各汎関数と各ベクトルをノルムで割って正規化すると核型表示を得る。

$A=0$または$B=0$ならば合成の主張は成り立つ。それ以外の場合、

は核型表示である。$T$の表示について下限を取ると所要の評価を得る。▨

証明.§E12.11 命題 2.2 (2)の特異値による表示を取ると、正規直交系$(e_n),(v_n)$と非負数$s_n$によって

である。内積は第1変数について線形であるから、$x\mapsto\langle x,e_n\rangle$はノルム$1$の線形汎関数である。有限和の場合は零項を補う。各項の作用素ノルムは$s_n$であり、級数は作用素ノルムで収束するので、核型表示を得る。後半は§E12.11 定理 4.1 (1)を適用して従う。▨

証明.$a$を$E$上の連続半ノルムとする。§E12.16 命題 2.4 (4)と有向性により、$a\le Cp$を満たす$C>0$と$p\in\mathcal P$が存在する。仮定を二回適用し、$p\le q\le r$となる$q,r\in\mathcal P$であって、$\varphi_{qp}$と$\varphi_{rq}$が Hilbert–Schmidt 作用素であるものを取る。命題 1.3により$\varphi_{rp}=\varphi_{qp}\varphi_{rq}$は核型である。

$d=\max\{1,C\}$とおくと$a\le dr$である。$j_{dr}(x)\mapsto j_r(x)$と$j_p(x)\mapsto j_a(x)$は、それぞれノルム$d^{-1}$以下と$C$以下の有界線形写像へ延長される。両延長を$A\colon E_{dr}\to E_r$、$B\colon E_p\to E_a$とすると、稠密な$j_{dr}(E)$上で$B\varphi_{rp}A$と$\varphi_{dr,a}$は一致する。したがって$\varphi_{dr,a}=B\varphi_{rp}A$であり、命題 1.2により核型である。▨

証明.$K=U_q^\circ$とおく。$K$は零近傍$\{x:q(x)\le1\}$の極集合であるから、§E12.29 定理 3.1により＊弱位相でコンパクトである。異なる汎関数はある点で値が異なるので、この位相は Hausdorff である。

実ノルム空間$C(K,\R)$において、有限族$x_1,\ldots,x_m\in E$に対応する関数

の全体を$\mathcal G$とする。各評価$f\mapsto f(x_i)$は連続であるから$\mathcal G\subseteq C(K,\R)$である。族の連結は関数の和に対応し、$x_i$の非負実数倍は関数の同じスカラー倍に対応するので、$\mathcal G$は零を含む凸錐である。仮定とコンパクト性から、各$g\in\mathcal G$は少なくとも一点で非正の値を取る。したがって、開凸集合

は$\mathcal G$と交わらない。

§E12.18 系 1.3を$\mathcal O$と$\mathcal G$に適用し、得た汎関数の符号を反転すると、非零の連続実線形汎関数$L$と実数$a$であって

を満たすものが存在する。$0\in\mathcal G$より$a\ge0$である。$h\in\mathcal O$を固定し$th\in\mathcal O$において$t\downarrow0$とすると$a\le0$であり、$a=0$となる。$h\ge0$ならば$h+\delta1\in\mathcal O$（$\delta>0$）であるから、$\delta\downarrow0$として$L(h)\ge0$を得る。さらに$1\in\mathcal O$より$L(1)>0$である。$\Lambda=L/L(1)$は正で$\Lambda(1)=1$を満たす。

§E10.33 定理 1.1により、$\Lambda(h)=\int_Kh\,d\nu$を満たす正則 Borel 確率測度$\nu$が存在する。$g_x=p(x)1-c|f(x)|$に対する$\Lambda(g_x)\le0$が所要の不等式である。▨

証明.定理 3.1の確率測度$\nu$を取り、

とおく。$b$は非負のエルミート形式であるから、$h$は Hilbert 半ノルムである。$\nu$の全質量は$1$であり、§E10.13 定理 1.3から

である。したがって$h$は連続である。この評価を$x_i$に適用して加えると

となる。▨

証明.$E$を核型とし、$F$を Hausdorff 局所凸空間、$p,s$をそれぞれ$E,F$の連続半ノルムとする。$q\ge p$を$\varphi_{qp}$が核型となるように取り、

と表示する。

$u=\sum_{i=1}^m x_i\otimes y_i$を取る。§E12.17 系 3.2 (1)を$E\otimes_\pi F$の半ノルム$p\otimes_\pi s$に適用して、$L(u)=(p\otimes_\pi s)(u)$と$|L(v)|\le(p\otimes_\pi s)(v)$を満たす線形汎関数$L$を取る。$b(x,y)=L(x\otimes y)$は双線形であり、§E12.40 命題 1.3により$|b(x,y)|\le p(x)s(y)$である。各$y\in F$について第一変数を$E/\ker p$へ降ろし、§E10.4 定理 2.1により$E_p$へ延長する。延長の一意性から双線形形式$\widetilde b\colon E_p\times F\to\mathbb K$を得て、$|\widetilde b(z,y)|\le\|z\|s(y)$である。

$a_nj_q\in U_q^\circ$、$\widetilde b(z_n,\cdot)\in U_s^\circ$である。核型表示を代入し、有限和と絶対収束級数の順序を交換すると

ゆえに各射影半ノルムは単射的テンソル位相で連続である。逆向きの連続性は§E12.40 命題 2.2による。主張 (2)において$F=\ell^1$とすれば主張 (3)を得る。

主張 (3)を仮定し、$p$を$E$の連続半ノルムとする。位相の一致と§E12.16 命題 2.4 (4)により、ある連続半ノルム$q\ge p$と$c>0$が存在して

となる。実際、右辺に必要な有限個の$E$側の半ノルムは$p$とともに最大値でまとめ、$\ell^1$側の連続半ノルムは$\|\cdot\|_1$の定数倍で支配することができる。

有限族$x_1,\ldots,x_m\in E$に対して、$\ell^1$の標準単位ベクトルを$e_i$とし、$u=\sum_i x_i\otimes e_i$とおく。このとき

第一の等式の上からの評価は表示から従う。下からの評価については、§E12.17 系 3.2 (1)により$|f_i|\le p$、$f_i(x_i)=p(x_i)$となる$f_i$を取り、$B(x,a)=\sum_{i=1}^m f_i(x)a_i$とおく。$|B(x,a)|\le p(x)\|a\|_1$であるから、$B$に対応する線形汎関数を$u$の任意の有限表示に適用すれば、$\sum_i p(x_i)\le(p\otimes_\pi\|\cdot\|_1)(u)$となる。第二の等式では、固定した$f$に対し、$|\theta_i|\le1$かつ$\theta_i f(x_i)=|f(x_i)|$となる$\theta_i$を取る。ノルム$1$以下の汎関数$a\mapsto\sum_{i=1}^m\theta_i a_i$が上限を実現する。

したがって、各連続半ノルム$p$に対して定理 3.1の有限族の評価を満たす$q,c$が存在する。補題 3.2により、各$p$は連続 Hilbert 半ノルムで支配される。連続 Hilbert 半ノルムの全体を$\mathcal P$とすると、$h_1,h_2\in\mathcal P$に対して$(h_1^2+h_2^2)^{1/2}\in\mathcal P$であるから、$\mathcal P$は有向であり$E$の位相を定める。

$h\in\mathcal P$を取る。$p=h$に対する有限族の評価から$q\ge h,c>0$を取り、$q$を支配する$k\in\mathcal P$を取る。補題 3.2の二乗和評価と$U_q^\circ\subseteq U_k^\circ$から

である。$U_k^\circ$の各元は$E_k$のノルム$1$以下の汎関数へ一意に延長され、逆にそのような汎関数の$j_k$による引戻しは$U_k^\circ$に属する。$j_k(E)$は稠密であるから、任意の有限族$\xi_1,\ldots,\xi_m\in E_k$について

となる。ここで近似列について右辺の極限を取ることは、写像$(\xi_i)_{i=1}^m\mapsto\sup_{\|a\|\le1}(\sum_i|a(\xi_i)|^2)^{1/2}$の差が$(\sum_i\|\xi_i-\eta_i\|^2)^{1/2}$以下であることによる。

$(\xi_i)_{i=1}^m$が正規直交系ならば、$\|a\|\le1$に対して$z=\sum_i\overline{a(\xi_i)}\xi_i$とおくことにより

を得る。ゆえに$\sum_i\|\varphi_{kh}\xi_i\|^2\le c^2$である。§E12.7 命題 2.3による$E_k$の完全正規直交系のすべての有限部分に適用すると、$\varphi_{kh}$は Hilbert–Schmidt 作用素である。定理 2.4により$E$は核型である。▨

証明.$H_k=\{x:p_k(x)<\infty\}$とおくと、$x\mapsto((1+n)^kx_n)_n$は$H_k$から$\ell^2$への線形等長同型である。§E10.3 命題 1.4により$H_k$は Hilbert 空間である。$s$における Cauchy 列$(x^{(j)})_j$は各$H_k$で極限$y^{(k)}$をもつ。各座標の評価は$H_k$上で連続であるから、すべての$y^{(k)}$の各座標は同じ極限をもち、共通の数列$y$を定める。$y\in H_k$はすべての$k$について成り立つので$y\in s$であり、$p_k(x^{(j)}-y)\to0$である。$p_0$はノルムであり、§E12.16 命題 5.12の距離について$s$は完備であるから、$s$は Fréchet 空間である。

有限支持の数列は$s$に属し$H_k$で稠密であるから、$s_{p_k}$は$H_k$と等長同型である。$e_n$を標準単位ベクトルとすると、$((1+n)^{-k-1}e_n)_n$は$H_{k+1}$の完全正規直交系であり、包含$H_{k+1}\to H_k$による像のノルムの二乗和は$\sum_n(1+n)^{-2}<\infty$である。定理 2.4により$s$は核型である。

$M_k(x)=\sup_n(1+n)^k|x_n|$とおくと

したがって、すべての$p_k$が有限であることと、すべての$M_k$が有限であることは同値である。▨

証明.$E$を核型 Fréchet 空間、$B\subseteq E$を有界集合、$U$を零近傍とする。$B=\emptyset$ならば$B\subseteq\emptyset+U$であるから、$B\ne\emptyset$とする。§E12.16 命題 2.4 (1)により、ある連続半ノルム$p$と$\delta>0$が$\{x:p(x)<\delta\}\subseteq U$を満たす。核型性により、$q\ge p$であって$\varphi_{qp}$が核型であるものを取る。§E12.16 命題 3.3 (3)により$j_q(B)$は有界であり、命題 1.2により$\varphi_{qp}$はコンパクトである。したがって$j_p(B)=\varphi_{qp}j_q(B)$は$E_p$で相対コンパクトであり、有限個の$b_1,\ldots,b_m\in B$を選んで、各$x\in B$に対しある$i$が$\|j_p(x)-j_p(b_i)\|<\delta$を満たすようにすることができる。ゆえに$B\subseteq\{b_1,\ldots,b_m\}+U$であり、$B$は前コンパクトである。§E12.32 補題 4.3により$E$は Montel 空間である。▨

証明.$E$を核型とし、位相を定めるノルムを$p$とする。$q\ge p$であって$\varphi_{qp}$が核型であるものを取る。$q$は連続であるから$q\le Cp$を満たす$C>0$が存在する。$j_p(x)\mapsto j_q(x)$の有界な延長を$A\colon E_p\to E_q$とすると、$\varphi_{qp}A=\id_{E_p}$が稠密性により成り立つ。命題 1.2により$\id_{E_p}$は核型かつコンパクトであり、§E12.2 命題 4.2により$E_p$は有限次元である。$p$はノルムであるから$j_p$は単射であり、$E$も有限次元である。

逆に$E$を有限次元とする。任意の連続半ノルム$a$に対して$E/\ker a$は有限次元であり、§E10.1 系 2.3により$E/\ker a$は完備であるから$E_a$も有限次元である。命題 1.2により$\varphi_{aa}=\id_{E_a}$は核型であり、$E$は核型である。▨