1 有界集合と強双対 補題 1.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K §E12.27 命題 1.2 (2) の双対対( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ )
E E E U U U W ⊆ U W\subseteq U W ⊆ U E E E W W W D D D E E E ( D ∘ ) ∘ = D (D^\circ)_\circ=D ( D ∘ ) ∘ = D B B B E E E ( B ∘ ) ∘ (B^\circ)_\circ ( B ∘ ) ∘ E E E 証明. 主張 (1) を示す。§E12.16 命題 1.4 (6) によりV 1 ‾ ⊆ U \tpcl{V_1}\subseteq U V 1 ⊆ U V 1 V_1 V 1 §E12.16 定理 2.9 条件 (b) によりV 2 ⊆ V 1 V_2\subseteq V_1 V 2 ⊆ V 1 V 2 V_2 V 2 W = V 2 ‾ W=\tpcl{V_2} W = V 2 W W W V 2 V_2 V 2 §E12.16 補題 1.6 (3) と§E12.16 補題 1.6 (4) により絶対凸な閉集合であり、W ⊆ V 1 ‾ ⊆ U W\subseteq\tpcl{V_1}\subseteq U W ⊆ V 1 ⊆ U
主張 (2) を示す。§E12.30 系 1.2 (1) によりD D D σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) §E12.28 定理 2.1 を双対対( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ ) D D D
主張 (3) を示す。U U U E E E 主張 (1) によりW ⊆ U W\subseteq U W ⊆ U W W W B B B B ⊆ t W B\subseteq tW B ⊆ t W t > 0 t>0 t > 0 §E12.16 命題 1.4 (1) によりx ↦ t x x\mapsto tx x ↦ t x t W tW t W 0 0 0 主張 (2) により( ( t W ) ∘ ) ∘ = t W ((tW)^\circ)_\circ=tW (( t W ) ∘ ) ∘ = t W §E12.28 命題 1.3 (2) を双対対( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ ) ( E ′ , E ) (E',E) ( E ′ , E ) B ⊆ t W B\subseteq tW B ⊆ t W ( t W ) ∘ ⊆ B ∘ (tW)^\circ\subseteq B^\circ ( t W ) ∘ ⊆ B ∘ ( B ∘ ) ∘ ⊆ ( ( t W ) ∘ ) ∘ = t W ⊆ t U (B^\circ)_\circ\subseteq((tW)^\circ)_\circ=tW\subseteq tU ( B ∘ ) ∘ ⊆ (( t W ) ∘ ) ∘ = t W ⊆ t U U U U ( B ∘ ) ∘ (B^\circ)_\circ ( B ∘ ) ∘ ▨
定理 1.2 (Mackey の定理). K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K A ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E A A A f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ sup a ∈ A ∣ f ( a ) ∣ < ∞ \sup_{a\in A}\lvert f(a)\rvert<\infty sup a ∈ A ∣ f ( a )∣ < ∞ A A A ( E , σ ( E , E ′ ) ) (E,\sigma(E,E')) ( E , σ ( E , E ′ ))
証明. 必要性を示す。A A A f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ f f f f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 U = { x ∈ E ∣ ∣ f ( x ) ∣ < 1 } U=\{x\in E\mid\lvert f(x)\rvert<1\} U = { x ∈ E ∣ ∣ f ( x )∣ < 1 } A ⊆ t U A\subseteq tU A ⊆ t U t > 0 t>0 t > 0 a ∈ A a\in A a ∈ A t − 1 a ∈ U t^{-1}a\in U t − 1 a ∈ U ∣ f ( a ) ∣ < t \lvert f(a)\rvert<t ∣ f ( a )∣ < t
十分性を示す。すべてのf ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ sup a ∈ A ∣ f ( a ) ∣ < ∞ \sup_{a\in A}\lvert f(a)\rvert<\infty sup a ∈ A ∣ f ( a )∣ < ∞ U U U E E E 補題 1.1 (1) により、W ⊆ U W\subseteq U W ⊆ U W W W ( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ ) N = ⋃ n ∈ N ≥ 1 n W ∘ N=\bigcup_{n\in\NN}nW^\circ N = ⋃ n ∈ N ≥ 1 n W ∘ §E12.28 命題 1.3 (1) によりW ∘ W^\circ W ∘ 0 0 0 c ≤ n c\leq n c ≤ n c W ∘ = n ( ( c / n ) W ∘ ) ⊆ n W ∘ cW^\circ=n\bigl((c/n)W^\circ\bigr)\subseteq nW^\circ c W ∘ = n ( ( c / n ) W ∘ ) ⊆ n W ∘ f ∈ n W ∘ f\in nW^\circ f ∈ n W ∘ g ∈ m W ∘ g\in mW^\circ g ∈ m W ∘ λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 k ≥ max { n , m , ∣ λ ∣ n } k\geq\max\{n,m,\lvert\lambda\rvert n\} k ≥ max { n , m , ∣ λ ∣ n } f , g ∈ k W ∘ f,g\in kW^\circ f , g ∈ k W ∘ W ∘ W^\circ W ∘ f + g = 2 k ( 1 2 k − 1 f + 1 2 k − 1 g ) ∈ 2 k W ∘ f+g=2k\bigl(\tfrac12k^{-1}f+\tfrac12k^{-1}g\bigr)\in2kW^\circ f + g = 2 k ( 2 1 k − 1 f + 2 1 k − 1 g ) ∈ 2 k W ∘ n − 1 f ∈ W ∘ n^{-1}f\in W^\circ n − 1 f ∈ W ∘ ∣ λ n / k ∣ ≤ 1 \lvert\lambda n/k\rvert\leq1 ∣ λn / k ∣ ≤ 1 λ f = k ( λ n / k ) ( n − 1 f ) ∈ k W ∘ \lambda f=k(\lambda n/k)(n^{-1}f)\in kW^\circ λ f = k ( λn / k ) ( n − 1 f ) ∈ k W ∘ N N N E ′ E' E ′ f ∈ N f\in N f ∈ N q ( f ) = sup x ∈ W ∣ f ( x ) ∣ q(f)=\sup_{x\in W}\lvert f(x)\rvert q ( f ) = sup x ∈ W ∣ f ( x )∣ f ∈ n W ∘ f\in nW^\circ f ∈ n W ∘ q ( f ) ≤ n q(f)\leq n q ( f ) ≤ n q q q N N N q ( f ) = 0 q(f)=0 q ( f ) = 0 §E12.16 命題 1.4 (2) により各x ∈ E x\in E x ∈ E x = s w x=sw x = s w s > 0 s>0 s > 0 w ∈ W w\in W w ∈ W f ( x ) = s f ( w ) = 0 f(x)=sf(w)=0 f ( x ) = s f ( w ) = 0 f = 0 f=0 f = 0 q q q N N N f ∈ N f\in N f ∈ N q ( f ) ≤ 1 q(f)\leq1 q ( f ) ≤ 1 f ∈ W ∘ f\in W^\circ f ∈ W ∘
( N , q ) (N,q) ( N , q ) ( f k ) k ∈ N ≥ 1 (f_k)_{k\in\NN} ( f k ) k ∈ N ≥ 1 ( N , q ) (N,q) ( N , q ) x ∈ E x\in E x ∈ E x ∈ s W x\in sW x ∈ s W s > 0 s>0 s > 0 ∣ f k ( x ) − f l ( x ) ∣ ≤ s q ( f k − f l ) \lvert f_k(x)-f_l(x)\rvert\leq sq(f_k-f_l) ∣ f k ( x ) − f l ( x )∣ ≤ s q ( f k − f l ) ( f k ( x ) ) k ∈ N ≥ 1 (f_k(x))_{k\in\NN} ( f k ( x ) ) k ∈ N ≥ 1 K \mathbb K K g ( x ) g(x) g ( x ) g : E → K g\colon E\to\mathbb K g : E → K ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 k , l ≥ k 0 k,l\geq k_0 k , l ≥ k 0 q ( f k − f l ) ≤ ε q(f_k-f_l)\leq\varepsilon q ( f k − f l ) ≤ ε k 0 k_0 k 0 k ≥ k 0 k\geq k_0 k ≥ k 0 x ∈ W x\in W x ∈ W ∣ f k ( x ) − f l ( x ) ∣ ≤ ε \lvert f_k(x)-f_l(x)\rvert\leq\varepsilon ∣ f k ( x ) − f l ( x )∣ ≤ ε l → ∞ l\to\infty l → ∞ ∣ f k ( x ) − g ( x ) ∣ ≤ ε \lvert f_k(x)-g(x)\rvert\leq\varepsilon ∣ f k ( x ) − g ( x )∣ ≤ ε x ∈ W x\in W x ∈ W ∣ g ( x ) ∣ ≤ c \lvert g(x)\rvert\leq c ∣ g ( x )∣ ≤ c c = q ( f k 0 ) + ε > 0 c=q(f_{k_0})+\varepsilon>0 c = q ( f k 0 ) + ε > 0 §E12.29 命題 1.2 を集合{ c − 1 g } \{c^{-1}g\} { c − 1 g } W W W c − 1 g ∈ W ∘ c^{-1}g\in W^\circ c − 1 g ∈ W ∘ g ∈ c W ∘ ⊆ N g\in cW^\circ\subseteq N g ∈ c W ∘ ⊆ N k ≥ k 0 k\geq k_0 k ≥ k 0 q ( f k − g ) ≤ ε q(f_k-g)\leq\varepsilon q ( f k − g ) ≤ ε ( f k ) (f_k) ( f k ) ( N , q ) (N,q) ( N , q ) g g g
a ∈ A a\in A a ∈ A §E12.16 命題 1.4 (2) によりs a − 1 a ∈ W s_a^{-1}a\in W s a − 1 a ∈ W s a > 0 s_a>0 s a > 0 f ∈ N f\in N f ∈ N ∣ f ( a ) ∣ ≤ s a q ( f ) \lvert f(a)\rvert\leq s_aq(f) ∣ f ( a )∣ ≤ s a q ( f ) a ^ ( f ) = f ( a ) \hat a(f)=f(a) a ^ ( f ) = f ( a ) a ^ : N → K \hat a\colon N\to\mathbb K a ^ : N → K B ( N , K ) B(N,\mathbb K) B ( N , K ) f ∈ N f\in N f ∈ N sup a ∈ A ∣ a ^ ( f ) ∣ < ∞ \sup_{a\in A}\lvert\hat a(f)\rvert<\infty sup a ∈ A ∣ a ^ ( f )∣ < ∞ §E12.20 系 3.1 を Banach 空間( N , q ) (N,q) ( N , q ) K \mathbb K K ( a ^ ) a ∈ A (\hat a)_{a\in A} ( a ^ ) a ∈ A a ∈ A a\in A a ∈ A ∥ a ^ ∥ ≤ M \lVert\hat a\rVert\leq M ∥ a ^ ∥ ≤ M M > 0 M>0 M > 0 f ∈ W ∘ f\in W^\circ f ∈ W ∘ q ( f ) ≤ 1 q(f)\leq1 q ( f ) ≤ 1 ∣ f ( M − 1 a ) ∣ ≤ 1 \lvert f(M^{-1}a)\rvert\leq1 ∣ f ( M − 1 a )∣ ≤ 1 M − 1 a ∈ ( W ∘ ) ∘ M^{-1}a\in(W^\circ)_\circ M − 1 a ∈ ( W ∘ ) ∘ 補題 1.1 (2) により( W ∘ ) ∘ = W (W^\circ)_\circ=W ( W ∘ ) ∘ = W A ⊆ M W ⊆ M U A\subseteq MW\subseteq MU A ⊆ M W ⊆ M U U U U A A A
§E12.27 命題 2.2 (1) によりσ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) x ↦ ∣ f ( x ) ∣ x\mapsto\lvert f(x)\rvert x ↦ ∣ f ( x )∣ f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ §E12.16 命題 3.3 (3) により、A A A ( E , σ ( E , E ′ ) ) (E,\sigma(E,E')) ( E , σ ( E , E ′ )) f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ sup a ∈ A ∣ f ( a ) ∣ < ∞ \sup_{a\in A}\lvert f(a)\rvert<\infty sup a ∈ A ∣ f ( a )∣ < ∞ ▨
例 1.3. p p p 0 < p < 1 0<p<1 0 < p < 1 K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } L p ( [ 0 , 1 ] ) L^p([0,1]) L p ([ 0 , 1 ]) §E12.16 命題 7.3 のとおりとし、定数関数1 1 1 u u u A = { n u ∣ n ∈ N ≥ 1 } A=\{nu\mid n\in\NN\} A = { n u ∣ n ∈ N ≥ 1 } L p ( [ 0 , 1 ] ) L^p([0,1]) L p ([ 0 , 1 ]) f ∈ L p ( [ 0 , 1 ] ) ′ f\in L^p([0,1])' f ∈ L p ([ 0 , 1 ] ) ′ sup a ∈ A ∣ f ( a ) ∣ < ∞ \sup_{a\in A}\lvert f(a)\rvert<\infty sup a ∈ A ∣ f ( a )∣ < ∞ A A A 定理 1.2 の十分性は、局所凸性の仮定を外すと成り立たない。
証明. §E12.16 例 7.2 により、d ( v , v ′ ) = ∫ [ 0 , 1 ] ∣ v − v ′ ∣ p d λ d(v,v')=\int_{[0,1]}\lvert v-v'\rvert^p\,d\lambda d ( v , v ′ ) = ∫ [ 0 , 1 ] ∣ v − v ′ ∣ p d λ L p ( [ 0 , 1 ] ) L^p([0,1]) L p ([ 0 , 1 ]) L p ( [ 0 , 1 ] ) L^p([0,1]) L p ([ 0 , 1 ]) §E12.16 命題 7.3 (2) によりL p ( [ 0 , 1 ] ) ′ = { 0 } L^p([0,1])'=\{0\} L p ([ 0 , 1 ] ) ′ = { 0 } f ∈ L p ( [ 0 , 1 ] ) ′ f\in L^p([0,1])' f ∈ L p ([ 0 , 1 ] ) ′ sup a ∈ A ∣ f ( a ) ∣ = 0 \sup_{a\in A}\lvert f(a)\rvert=0 sup a ∈ A ∣ f ( a )∣ = 0 U = { v ∈ L p ( [ 0 , 1 ] ) ∣ d ( v , 0 ) < 1 } U=\{v\in L^p([0,1])\mid d(v,0)<1\} U = { v ∈ L p ([ 0 , 1 ]) ∣ d ( v , 0 ) < 1 } A ⊆ t U A\subseteq tU A ⊆ t U t > 0 t>0 t > 0 n ≥ t n\geq t n ≥ t n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 t − 1 n u ∈ U t^{-1}nu\in U t − 1 n u ∈ U d ( t − 1 n u , 0 ) < 1 d(t^{-1}nu,0)<1 d ( t − 1 n u , 0 ) < 1 d ( t − 1 n u , 0 ) = ( n / t ) p ≥ 1 d(t^{-1}nu,0)=(n/t)^p\geq1 d ( t − 1 n u , 0 ) = ( n / t ) p ≥ 1 A A A ▨
定義 1.4. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K E E E B \mathfrak B B 定理 1.2 によりB \mathfrak B B ( E , σ ( E , E ′ ) ) (E,\sigma(E,E')) ( E , σ ( E , E ′ )) §E12.27 定義 6.1 を§E12.27 命題 1.2 (2) の双対対( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ ) B \mathfrak B B E ′ E' E ′ B \mathfrak B B β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) E ′ E' E ′ 強双対位相 (strong dual topology )β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) B ∈ B B\in\mathfrak B B ∈ B p B ( f ) = sup x ∈ B ∣ f ( x ) ∣ p_B(f)=\sup_{x\in B}\lvert f(x)\rvert p B ( f ) = sup x ∈ B ∣ f ( x )∣ E ′ E' E ′ p B p_B p B β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) E ′ E' E ′ E β ′ E'_\beta E β ′ E E E 強双対 (strong dual )
§E12.16 命題 1.4 (2) によりE E E ⋃ B = E \bigcup\mathfrak B=E ⋃ B = E §E12.27 命題 6.2 (1) と§E12.27 命題 6.2 (2) により、E β ′ E'_\beta E β ′ σ ( E ′ , E ) ⊆ β ( E ′ , E ) \sigma(E',E)\subseteq\beta(E',E) σ ( E ′ , E ) ⊆ β ( E ′ , E ) 定理 1.2 によりB \mathfrak B B ( E , σ ( E , E ′ ) ) (E,\sigma(E,E')) ( E , σ ( E , E ′ )) β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) ( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ )
X X X K \mathbb K K §E12.16 命題 2.10 によりX X X X ′ = X ∗ X'=X^* X ′ = X ∗ β ( X ∗ , X ) \beta(X^*,X) β ( X ∗ , X ) X ∗ X^* X ∗ B X = { x ∈ X ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } B_X=\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\} B X = { x ∈ X ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } §E12.16 命題 3.3 (3) によりB X ∈ B B_X\in\mathfrak B B X ∈ B B ∈ B B\in\mathfrak B B ∈ B B ⊆ t B X B\subseteq tB_X B ⊆ t B X t > 0 t>0 t > 0 p B ≤ t p B X p_B\leq tp_{B_X} p B ≤ t p B X §E12.27 命題 6.2 (2) によりτ { B X } ⊆ β ( X ∗ , X ) \tau_{\{B_X\}}\subseteq\beta(X^*,X) τ { B X } ⊆ β ( X ∗ , X ) §E12.16 命題 2.4 (4) と§E12.16 補題 2.5 によりβ ( X ∗ , X ) ⊆ τ { B X } \beta(X^*,X)\subseteq\tau_{\{B_X\}} β ( X ∗ , X ) ⊆ τ { B X } §E12.27 命題 6.2 (4) により、τ { B X } \tau_{\{B_X\}} τ { B X } X ∗ X^* X ∗
命題 1.5. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K ( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ )
E E E B B B B ∘ B^\circ B ∘ E β ′ E'_\beta E β ′ E β ′ E'_\beta E β ′ V V V B ∘ ⊆ V B^\circ\subseteq V B ∘ ⊆ V E E E B B B 線形写像φ : E ′ → K \varphi\colon E'\to\mathbb K φ : E ′ → K β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) E E E B B B f ∈ B ∘ f\in B^\circ f ∈ B ∘ ∣ φ ( f ) ∣ ≤ 1 \lvert\varphi(f)\rvert\leq1 ∣ φ ( f )∣ ≤ 1
E ′ E' E ′ E β ′ E'_\beta E β ′ 証明. 主張 (1) を示す。B B B B ∘ = { f ∈ E ′ ∣ p B ( f ) ≤ 1 } B^\circ=\{f\in E'\mid p_B(f)\leq1\} B ∘ = { f ∈ E ′ ∣ p B ( f ) ≤ 1 } §E12.16 命題 2.4 (1) の零近傍B { p B } , 1 ( 0 ) B_{\{p_B\},1}(0) B { p B } , 1 ( 0 ) V V V E β ′ E'_\beta E β ′ §E12.16 命題 2.4 (1) により、有界な部分集合B 1 , … , B m B_1,\ldots,B_m B 1 , … , B m m ≥ 0 m\geq0 m ≥ 0 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 max 1 ≤ i ≤ m p B i ( f ) < ε \max_{1\leq i\leq m}p_{B_i}(f)<\varepsilon max 1 ≤ i ≤ m p B i ( f ) < ε f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ V V V m = 0 m=0 m = 0 V = E ′ V=E' V = E ′ B = 2 ε − 1 ( B 1 ∪ ⋯ ∪ B m ) B=2\varepsilon^{-1}(B_1\cup\cdots\cup B_m) B = 2 ε − 1 ( B 1 ∪ ⋯ ∪ B m ) E E E U U U §E12.16 命題 1.4 (3) によりU ′ ⊆ U U'\subseteq U U ′ ⊆ U U ′ U' U ′ B i ⊆ t i U ′ B_i\subseteq t_iU' B i ⊆ t i U ′ t i > 0 t_i>0 t i > 0 t = max ( { 1 } ∪ { t i } ) t=\max(\{1\}\cup\{t_i\}) t = max ({ 1 } ∪ { t i }) B i ⊆ t U ′ B_i\subseteq tU' B i ⊆ t U ′ B ⊆ 2 ε − 1 t U B\subseteq2\varepsilon^{-1}tU B ⊆ 2 ε − 1 t U B B B f ∈ B ∘ f\in B^\circ f ∈ B ∘ x ∈ B i x\in B_i x ∈ B i ∣ f ( 2 ε − 1 x ) ∣ ≤ 1 \lvert f(2\varepsilon^{-1}x)\rvert\leq1 ∣ f ( 2 ε − 1 x )∣ ≤ 1 p B i ( f ) ≤ ε / 2 < ε p_{B_i}(f)\leq\varepsilon/2<\varepsilon p B i ( f ) ≤ ε /2 < ε f ∈ V f\in V f ∈ V
主張 (2) を示す。必要性を示す。φ \varphi φ { f ∈ E ′ ∣ ∣ φ ( f ) ∣ < 1 } \{f\in E'\mid\lvert\varphi(f)\rvert<1\} { f ∈ E ′ ∣ ∣ φ ( f )∣ < 1 } E β ′ E'_\beta E β ′ 主張 (1) によりB ∘ ⊆ { f ∈ E ′ ∣ ∣ φ ( f ) ∣ < 1 } B^\circ\subseteq\{f\in E'\mid\lvert\varphi(f)\rvert<1\} B ∘ ⊆ { f ∈ E ′ ∣ ∣ φ ( f )∣ < 1 } E E E B B B ∣ φ ∣ \lvert\varphi\rvert ∣ φ ∣ E ′ E' E ′ B ∘ B^\circ B ∘ 1 1 1 §E12.16 補題 2.2 により連続である。したがってφ \varphi φ 0 0 0 §E12.16 補題 1.7 により連続である。
主張 (3) を示す。H ⊆ E ′ H\subseteq E' H ⊆ E ′ §E12.29 命題 1.2 によりH ⊆ U ∘ H\subseteq U^\circ H ⊆ U ∘ E E E U U U B B B B ⊆ t U B\subseteq tU B ⊆ t U t > 0 t>0 t > 0 f ∈ H f\in H f ∈ H x ∈ B x\in B x ∈ B ∣ f ( x ) ∣ = t ∣ f ( t − 1 x ) ∣ ≤ t \lvert f(x)\rvert=t\lvert f(t^{-1}x)\rvert\leq t ∣ f ( x )∣ = t ∣ f ( t − 1 x )∣ ≤ t sup f ∈ H p B ( f ) ≤ t \sup_{f\in H}p_B(f)\leq t sup f ∈ H p B ( f ) ≤ t §E12.16 命題 3.3 (3) によりH H H E β ′ E'_\beta E β ′ ▨
命題 1.6. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E , G E,G E , G K \mathbb K K u : E → G u\colon E\to G u : E → G u ′ : G ′ → E ′ u'\colon G'\to E' u ′ : G ′ → E ′ §E12.27 命題 7.2 (4) の転置u ′ g = g ∘ u u'g=g\circ u u ′ g = g ∘ u u u u E E E G G G u ′ u' u ′ β ( G ′ , G ) \beta(G',G) β ( G ′ , G ) β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E )
証明. B B B E E E V V V G G G u u u u ( 0 ) = 0 u(0)=0 u ( 0 ) = 0 u − 1 ( V ) u^{-1}(V) u − 1 ( V ) E E E B ⊆ t u − 1 ( V ) B\subseteq tu^{-1}(V) B ⊆ t u − 1 ( V ) t > 0 t>0 t > 0 u ( B ) ⊆ t V u(B)\subseteq tV u ( B ) ⊆ t V u ( B ) u(B) u ( B ) g ∈ G ′ g\in G' g ∈ G ′
p B ( u ′ g ) = sup x ∈ B ∣ g ( u x ) ∣ = p u ( B ) ( g ) p_B(u'g)=\sup_{x\in B}\lvert g(ux)\rvert=p_{u(B)}(g) p B ( u ′ g ) = x ∈ B sup ∣ g ( ux )∣ = p u ( B ) ( g ) であり、§E12.16 命題 2.4 (2) によりp u ( B ) p_{u(B)} p u ( B ) β ( G ′ , G ) \beta(G',G) β ( G ′ , G ) p B ∘ u ′ p_B\circ u' p B ∘ u ′ β ( G ′ , G ) \beta(G',G) β ( G ′ , G ) §E12.16 命題 2.4 (5) により、u ′ : G β ′ → E β ′ u'\colon G'_\beta\to E'_\beta u ′ : G β ′ → E β ′ ▨
2 半回帰性と回帰性 定義 2.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K 定義 1.4 によりE β ′ E'_\beta E β ′ E ′ ′ = ( E β ′ ) ′ E''=(E'_\beta)' E ′′ = ( E β ′ ) ′ E β ′ E'_\beta E β ′ ( E β ′ ) β ′ (E'_\beta)'_\beta ( E β ′ ) β ′ E β ′ ′ E''_\beta E β ′′ x ∈ E x\in E x ∈ E ( J E x ) ( f ) = f ( x ) (J_Ex)(f)=f(x) ( J E x ) ( f ) = f ( x ) f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ J E x J_Ex J E x E ′ E' E ′ { x } \{x\} { x } { x } ∘ \{x\}^\circ { x } ∘ ∣ J E x ∣ ≤ 1 \lvert J_Ex\rvert\leq1 ∣ J E x ∣ ≤ 1 命題 1.5 (2) によりJ E x ∈ E ′ ′ J_Ex\in E'' J E x ∈ E ′′ J E : E → E ′ ′ J_E\colon E\to E'' J E : E → E ′′ §E12.27 定義 1.1 条件 (a) を双対対( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ ) J E J_E J E E E E 標準写像 (canonical map of a locally convex space )J E J_E J E E E E 半回帰的 (semi-reflexive )J E J_E J E E E E E β ′ ′ E''_\beta E β ′′ E E E 回帰的 (reflexive )
定理 2.2. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K
E E E E E E B B B B B B σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) E E E σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) 証明. 極集合は双対対( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ )
(a) ⇒ \Rightarrow ⇒ (b) B B B K = ( B ∘ ) ∘ K=(B^\circ)_\circ K = ( B ∘ ) ∘ 命題 1.5 (1) によりB ∘ B^\circ B ∘ E β ′ E'_\beta E β ′ E β ′ E'_\beta E β ′ E ′ ′ E'' E ′′ §E12.29 定義 1.1 をE β ′ E'_\beta E β ′ φ ∈ E ′ ′ \varphi\in E'' φ ∈ E ′′ φ ( f ) \varphi(f) φ ( f ) f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ E ′ ′ E'' E ′′ σ ( E ′ ′ , E ′ ) \sigma(E'',E') σ ( E ′′ , E ′ ) §E12.29 定理 3.1 によりP = { φ ∈ E ′ ′ ∣ すべての f ∈ B ∘ について ∣ φ ( f ) ∣ ≤ 1 } P=\{\varphi\in E''\mid\text{すべての }f\in B^\circ\text{ について }\lvert\varphi(f)\rvert\leq1\} P = { φ ∈ E ′′ ∣ すべての f ∈ B ∘ について ∣ φ ( f )∣ ≤ 1 } σ ( E ′ ′ , E ′ ) \sigma(E'',E') σ ( E ′′ , E ′ ) J E J_E J E f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ φ ∈ E ′ ′ \varphi\in E'' φ ∈ E ′′ f ( J E − 1 φ ) = φ ( f ) f(J_E^{-1}\varphi)=\varphi(f) f ( J E − 1 φ ) = φ ( f ) §E2.12 命題 3.3 (1) と§E12.27 命題 2.2 (4) により、J E − 1 J_E^{-1} J E − 1 σ ( E ′ ′ , E ′ ) \sigma(E'',E') σ ( E ′′ , E ′ ) σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) x ∈ E x\in E x ∈ E J E x ∈ P J_Ex\in P J E x ∈ P f ∈ B ∘ f\in B^\circ f ∈ B ∘ ∣ f ( x ) ∣ ≤ 1 \lvert f(x)\rvert\leq1 ∣ f ( x )∣ ≤ 1 J E − 1 ( P ) = K J_E^{-1}(P)=K J E − 1 ( P ) = K §E2.19 定理 4.2 によりK K K σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) §E12.28 命題 1.3 を双対対( E ′ , E ) (E',E) ( E ′ , E ) K K K σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) §E12.28 命題 1.3 (5) によりB ⊆ K B\subseteq K B ⊆ K B B B σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) C C C §E2.11 命題 2.5 (1) によりC ⊆ K C\subseteq K C ⊆ K §E2.12 命題 4.6 によりC C C K K K §E2.19 命題 4.1 と§E2.19 補題 2.7 により、C C C σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ )
(b) ⇒ \Rightarrow ⇒ (c) D D D E E E §E12.30 系 1.2 (1) によりD D D σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) §E2.11 命題 2.5 (2) によりD D D σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) D D D 条件 (b) によりD D D σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ )
(c) ⇒ \Rightarrow ⇒ (a) φ ∈ E ′ ′ \varphi\in E'' φ ∈ E ′′ 命題 1.5 (2) により、E E E B B B f ∈ B ∘ f\in B^\circ f ∈ B ∘ ∣ φ ( f ) ∣ ≤ 1 \lvert\varphi(f)\rvert\leq1 ∣ φ ( f )∣ ≤ 1 K = ( B ∘ ) ∘ K=(B^\circ)_\circ K = ( B ∘ ) ∘ 補題 1.1 (3) によりK K K §E12.28 命題 1.3 を双対対( E ′ , E ) (E',E) ( E ′ , E ) K K K 0 0 0 σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ E E E §E2.12 命題 3.3 (2) によりσ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) E E E K K K E E E 条件 (c) によりK K K σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) §E12.29 定義 6.1 を双対対( E ′ , E ) (E',E) ( E ′ , E ) M \mathfrak M M K K K p K ( f ) = sup x ∈ K ∣ f ( x ) ∣ p_K(f)=\sup_{x\in K}\lvert f(x)\rvert p K ( f ) = sup x ∈ K ∣ f ( x )∣ τ ( E ′ , E ) \tau(E',E) τ ( E ′ , E ) E ′ E' E ′ §E12.28 命題 1.3 (5) によりK ∘ = B ∘ K^\circ=B^\circ K ∘ = B ∘ f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ p K ( f ) > 0 p_K(f)>0 p K ( f ) > 0 p K ( f ) − 1 f ∈ K ∘ = B ∘ p_K(f)^{-1}f\in K^\circ=B^\circ p K ( f ) − 1 f ∈ K ∘ = B ∘ ∣ φ ( f ) ∣ ≤ p K ( f ) \lvert\varphi(f)\rvert\leq p_K(f) ∣ φ ( f )∣ ≤ p K ( f ) p K ( f ) = 0 p_K(f)=0 p K ( f ) = 0 t > 0 t>0 t > 0 t f ∈ B ∘ tf\in B^\circ t f ∈ B ∘ ∣ φ ( f ) ∣ ≤ t − 1 \lvert\varphi(f)\rvert\leq t^{-1} ∣ φ ( f )∣ ≤ t − 1 φ ( f ) = 0 \varphi(f)=0 φ ( f ) = 0 ∣ φ ∣ ≤ p K \lvert\varphi\rvert\leq p_K ∣ φ ∣ ≤ p K §E12.29 定理 6.2 (1) により( E ′ , τ ( E ′ , E ) ) (E',\tau(E',E)) ( E ′ , τ ( E ′ , E )) ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 { f ∣ p K ( f ) < ε } \{f\mid p_K(f)<\varepsilon\} { f ∣ p K ( f ) < ε } τ ( E ′ , E ) \tau(E',E) τ ( E ′ , E ) ∣ φ ∣ < ε \lvert\varphi\rvert<\varepsilon ∣ φ ∣ < ε §E12.16 補題 1.7 によりφ \varphi φ τ ( E ′ , E ) \tau(E',E) τ ( E ′ , E ) §E12.29 定理 6.2 (3) によりτ ( E ′ , E ) \tau(E',E) τ ( E ′ , E ) ( E ′ , E ) (E',E) ( E ′ , E ) f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ φ ( f ) = f ( x ) \varphi(f)=f(x) φ ( f ) = f ( x ) x ∈ E x\in E x ∈ E φ = J E x \varphi=J_Ex φ = J E x J E J_E J E ▨
定理 2.3. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K E E E E E E
証明. 極集合は双対対( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ ) H ⊆ E ′ H\subseteq E' H ⊆ E ′ P H = { φ ∈ E ′ ′ ∣ すべての f ∈ H について ∣ φ ( f ) ∣ ≤ 1 } P_H=\{\varphi\in E''\mid\text{すべての }f\in H\text{ について }\lvert\varphi(f)\rvert\leq1\} P H = { φ ∈ E ′′ ∣ すべての f ∈ H について ∣ φ ( f )∣ ≤ 1 } x ∈ E x\in E x ∈ E J E x ∈ P H J_Ex\in P_H J E x ∈ P H f ∈ H f\in H f ∈ H ∣ f ( x ) ∣ ≤ 1 \lvert f(x)\rvert\leq1 ∣ f ( x )∣ ≤ 1 J E − 1 ( P H ) = H ∘ J_E^{-1}(P_H)=H_\circ J E − 1 ( P H ) = H ∘
必要性を示す。E E E E E E T T T E E E T T T 0 ∈ T 0\in T 0 ∈ T 補題 1.1 (2) により( T ∘ ) ∘ = T (T^\circ)_\circ=T ( T ∘ ) ∘ = T φ ∈ E ′ ′ \varphi\in E'' φ ∈ E ′′ φ = J E x \varphi=J_Ex φ = J E x x ∈ E x\in E x ∈ E x ∈ t T x\in tT x ∈ tT t > 0 t>0 t > 0 f ∈ T ∘ f\in T^\circ f ∈ T ∘ ∣ φ ( f ) ∣ = ∣ f ( x ) ∣ ≤ t \lvert\varphi(f)\rvert=\lvert f(x)\rvert\leq t ∣ φ ( f )∣ = ∣ f ( x )∣ ≤ t 定理 1.2 を Hausdorff 局所凸空間E β ′ E'_\beta E β ′ E β ′ E'_\beta E β ′ E ′ ′ E'' E ′′ T ∘ T^\circ T ∘ E β ′ E'_\beta E β ′ 命題 1.5 (1) をE β ′ E'_\beta E β ′ P T ∘ P_{T^\circ} P T ∘ E β ′ ′ E''_\beta E β ′′ J E : E → E β ′ ′ J_E\colon E\to E''_\beta J E : E → E β ′′ J E − 1 ( P T ∘ ) = ( T ∘ ) ∘ = T J_E^{-1}(P_{T^\circ})=(T^\circ)_\circ=T J E − 1 ( P T ∘ ) = ( T ∘ ) ∘ = T E E E E E E
十分性を示す。E E E J E : E → E ′ ′ J_E\colon E\to E'' J E : E → E ′′ E β ′ E'_\beta E β ′ H H H r H ( φ ) = sup f ∈ H ∣ φ ( f ) ∣ r_H(\varphi)=\sup_{f\in H}\lvert\varphi(f)\rvert r H ( φ ) = sup f ∈ H ∣ φ ( f )∣ 定義 1.4 によりE β ′ ′ E''_\beta E β ′′ r H r_H r H
H H H E β ′ E'_\beta E β ′ σ ( E ′ , E ) ⊆ β ( E ′ , E ) \sigma(E',E)\subseteq\beta(E',E) σ ( E ′ , E ) ⊆ β ( E ′ , E ) σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) H H H ( E ′ , σ ( E ′ , E ) ) (E',\sigma(E',E)) ( E ′ , σ ( E ′ , E )) §E12.27 命題 2.2 (1) を双対対( E ′ , E ) (E',E) ( E ′ , E ) §E12.16 命題 3.3 (3) を用いると、H H H ( E ′ , σ ( E ′ , E ) ) (E',\sigma(E',E)) ( E ′ , σ ( E ′ , E )) x ∈ E x\in E x ∈ E sup f ∈ H ∣ f ( x ) ∣ < ∞ \sup_{f\in H}\lvert f(x)\rvert<\infty sup f ∈ H ∣ f ( x )∣ < ∞ H H H E E E K \mathbb K K E E E §E12.20 定理 2.4 によりH H H §E12.29 命題 1.2 によりH ⊆ U ∘ H\subseteq U^\circ H ⊆ U ∘ E E E U U U r H ∘ J E r_H\circ J_E r H ∘ J E U U U 1 1 1 §E12.16 補題 2.2 により連続である。§E12.16 命題 2.4 (5) によりJ E : E → E β ′ ′ J_E\colon E\to E''_\beta J E : E → E β ′′
U U U E E E 補題 1.1 (1) によりW ⊆ U W\subseteq U W ⊆ U W W W §E12.29 命題 1.2 によりW ∘ W^\circ W ∘ 命題 1.5 (3) によりE β ′ E'_\beta E β ′ 命題 1.5 (1) をE β ′ E'_\beta E β ′ P W ∘ P_{W^\circ} P W ∘ E β ′ ′ E''_\beta E β ′′ J E J_E J E 補題 1.1 (2) によりJ E − 1 ( P W ∘ ) = ( W ∘ ) ∘ = W ⊆ U J_E^{-1}(P_{W^\circ})=(W^\circ)_\circ=W\subseteq U J E − 1 ( P W ∘ ) = ( W ∘ ) ∘ = W ⊆ U J E − 1 : E β ′ ′ → E J_E^{-1}\colon E''_\beta\to E J E − 1 : E β ′′ → E 0 0 0 §E12.16 補題 1.7 により連続である。J E J_E J E E E E ▨
系 2.4. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } X X X K \mathbb K K X X X X ′ ′ = X ∗ ∗ X''=X^{**} X ′′ = X ∗∗ 定義 2.1 の標準写像J X J_X J X §E12.27 定義 4.1 の標準写像J X J_X J X X β ′ ′ X''_\beta X β ′′ X ∗ ∗ X^{**} X ∗∗
証明. 定義 1.4 により、X β ′ X'_\beta X β ′ X ∗ X^* X ∗ §E12.16 命題 2.10 をノルム空間X ∗ X^* X ∗ X ′ ′ = ( X ∗ ) ′ = X ∗ ∗ X''=(X^*)'=X^{**} X ′′ = ( X ∗ ) ′ = X ∗∗ x ∈ X x\in X x ∈ X f ↦ f ( x ) f\mapsto f(x) f ↦ f ( x ) 定義 1.4 をノルム空間X ∗ X^* X ∗ X β ′ ′ X''_\beta X β ′′ X ∗ ∗ X^{**} X ∗∗
(a) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (b) (c) ⇒ \Rightarrow ⇒ (b) 定義 2.1 による。(b) ⇒ \Rightarrow ⇒ (c) §E12.17 定理 4.7 によりJ X J_X J X J X J_X J X J X − 1 J_X^{-1} J X − 1 J X J_X J X X X X X β ′ ′ X''_\beta X β ′′ ▨
例 2.5. H H H H H H H H H 定義 2.1 の意味で回帰的であり、§E12.27 定義 4.1 の意味でも回帰的である。
証明. §E12.16 命題 2.10 によりH H H H ′ = H ∗ H'=H^* H ′ = H ∗ σ ( H , H ′ ) = σ ( H , H ∗ ) \sigma(H,H')=\sigma(H,H^*) σ ( H , H ′ ) = σ ( H , H ∗ ) B B B H H H §E12.16 命題 3.3 (3) によりB ⊆ r B H B\subseteq rB_H B ⊆ r B H r > 0 r>0 r > 0 B H = { x ∈ H ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } B_H=\{x\in H\mid\lVert x\rVert\leq1\} B H = { x ∈ H ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } §E12.27 命題 2.2 (3) により( H , σ ( H , H ∗ ) ) (H,\sigma(H,H^*)) ( H , σ ( H , H ∗ )) §E12.16 命題 1.4 (1) によりx ↦ r x x\mapsto rx x ↦ r x §E12.30 補題 3.4 と§E2.19 定理 4.2 によりr B H rB_H r B H σ ( H , H ∗ ) \sigma(H,H^*) σ ( H , H ∗ ) §E2.19 命題 6.4 によりσ ( H , H ∗ ) \sigma(H,H^*) σ ( H , H ∗ ) B B B σ ( H , H ∗ ) \sigma(H,H^*) σ ( H , H ∗ ) C C C §E2.11 命題 2.5 (1) によりr B H rB_H r B H §E2.12 命題 4.6 、§E2.19 命題 4.1 、§E2.19 補題 2.7 によりσ ( H , H ∗ ) \sigma(H,H^*) σ ( H , H ∗ ) 定理 2.2 条件 (b) によりH H H 系 2.4 から結論が従う。▨
例 2.6. H H H B H = { x ∈ H ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } B_H=\{x\in H\mid\lVert x\rVert\leq1\} B H = { x ∈ H ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } H H H σ ( H , H ∗ ) \sigma(H,H^*) σ ( H , H ∗ ) E w E_w E w
E w E_w E w E w ′ = H ∗ E_w'=H^* E w ′ = H ∗ E w E_w E w H H H E w E_w E w E w E_w E w E w E_w E w B H B_H B H E w E_w E w E w E_w E w B B B B ⊆ t B H B\subseteq tB_H B ⊆ t B H t > 0 t>0 t > 0 B H B_H B H E w E_w E w E w E_w E w したがって、定理 2.3 の十分性から樽型性の仮定を外すことはできない。
証明. (1) を示す。§E12.27 命題 2.2 (3) によりE w E_w E w H ∗ ⊆ E w ′ H^*\subseteq E_w' H ∗ ⊆ E w ′ §E12.27 定理 3.2 を双対対( H , H ∗ ) (H,H^*) ( H , H ∗ ) E w ′ E_w' E w ′ f ∈ H ∗ f\in H^* f ∈ H ∗ E w ′ = H ∗ E_w'=H^* E w ′ = H ∗ §E12.27 命題 2.2 (1) と§E12.16 命題 3.3 (3) により、A ⊆ H A\subseteq H A ⊆ H E w E_w E w f ∈ H ∗ f\in H^* f ∈ H ∗ sup a ∈ A ∣ f ( a ) ∣ < ∞ \sup_{a\in A}\lvert f(a)\rvert<\infty sup a ∈ A ∣ f ( a )∣ < ∞ §E12.20 系 3.3 によりノルムについての有界性を導き、§E10.2 命題 1.2 の∣ f ( a ) ∣ ≤ ∥ f ∥ ∥ a ∥ \lvert f(a)\rvert\leq\lVert f\rVert\lVert a\rVert ∣ f ( a )∣ ≤ ∥ f ∥ ∥ a ∥
(2) を示す。B B B E w E_w E w (1) によりB B B H H H 例 2.5 によりH H H 定理 2.2 条件 (b) によりB B B σ ( H , H ∗ ) \sigma(H,H^*) σ ( H , H ∗ ) σ ( E w , E w ′ ) \sigma(E_w,E_w') σ ( E w , E w ′ ) E w E_w E w σ ( H , H ∗ ) \sigma(H,H^*) σ ( H , H ∗ ) 定理 2.2 によりE w E_w E w
(3) を示す。H H H §E12.27 命題 5.1 (4) によりB H B_H B H E w E_w E w B H B_H B H x ∈ H x\in H x ∈ H x ∈ ( ∥ x ∥ + 1 ) B H x\in(\lVert x\rVert+1)B_H x ∈ (∥ x ∥ + 1 ) B H B H B_H B H E w E_w E w E w E_w E w B B B (1) によりsup b ∈ B ∥ b ∥ < ∞ \sup_{b\in B}\lVert b\rVert<\infty sup b ∈ B ∥ b ∥ < ∞ B ⊆ t B H B\subseteq tB_H B ⊆ t B H t > 0 t>0 t > 0 B H B_H B H E w E_w E w §E12.27 命題 5.1 (2) によりB H B_H B H H H H N N N z ∈ N z\in N z ∈ N z ≠ 0 z\neq0 z = 0 2 ∥ z ∥ − 1 z ∈ N ⊆ B H 2\lVert z\rVert^{-1}z\in N\subseteq B_H 2 ∥ z ∥ − 1 z ∈ N ⊆ B H ∥ 2 ∥ z ∥ − 1 z ∥ ≤ 1 \lVert2\lVert z\rVert^{-1}z\rVert\leq1 ∥ 2 ∥ z ∥ − 1 z ∥ ≤ 1 ∥ 2 ∥ z ∥ − 1 z ∥ = 2 \lVert2\lVert z\rVert^{-1}z\rVert=2 ∥ 2 ∥ z ∥ − 1 z ∥ = 2 B H B_H B H E w E_w E w E w E_w E w 定理 2.3 によりE w E_w E w ▨
3 前コンパクト集合の上の一様収束 補題 3.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K E E E P \mathfrak P P §E12.16 命題 3.3 (1) と定理 1.2 によりP \mathfrak P P ( E , σ ( E , E ′ ) ) (E,\sigma(E,E')) ( E , σ ( E , E ′ )) §E12.27 定義 6.1 を双対対( E , E ′ ) (E,E') ( E , E ′ ) P \mathfrak P P E ′ E' E ′ P \mathfrak P P τ p c \tau_{\mathrm{pc}} τ pc
σ ( E ′ , E ) ⊆ τ p c ⊆ β ( E ′ , E ) \sigma(E',E)\subseteq\tau_{\mathrm{pc}}\subseteq\beta(E',E) σ ( E ′ , E ) ⊆ τ pc ⊆ β ( E ′ , E ) E ′ E' E ′ H H H H H H σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) H H H τ p c \tau_{\mathrm{pc}} τ pc 証明. E E E F F F U U U F ⊆ F + U F\subseteq F+U F ⊆ F + U
主張 (1) を示す。E E E P \mathfrak P P §E12.27 命題 6.2 (3) と§E12.27 命題 6.2 (2) によりσ ( E ′ , E ) ⊆ τ p c \sigma(E',E)\subseteq\tau_{\mathrm{pc}} σ ( E ′ , E ) ⊆ τ pc §E12.16 命題 3.3 (1) によりP \mathfrak P P E E E §E12.27 命題 6.2 (2) によりτ p c ⊆ β ( E ′ , E ) \tau_{\mathrm{pc}}\subseteq\beta(E',E) τ pc ⊆ β ( E ′ , E )
主張 (2) を示す。§E12.29 命題 1.2 により、H ⊆ U ∘ H\subseteq U^\circ H ⊆ U ∘ E E E U U U 主張 (1) により、σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) E ′ E' E ′ τ p c \tau_{\mathrm{pc}} τ pc H H H σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) τ p c \tau_{\mathrm{pc}} τ pc O O O H H H τ p c \tau_{\mathrm{pc}} τ pc f 0 ∈ O f_0\in O f 0 ∈ O O = O ′ ∩ H O=O'\cap H O = O ′ ∩ H τ p c \tau_{\mathrm{pc}} τ pc O ′ O' O ′ §E12.16 命題 2.4 (1) により、K 1 , … , K m ∈ P K_1,\ldots,K_m\in\mathfrak P K 1 , … , K m ∈ P m ≥ 0 m\geq0 m ≥ 0 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 max 1 ≤ i ≤ m p K i ( f − f 0 ) < ε \max_{1\leq i\leq m}p_{K_i}(f-f_0)<\varepsilon max 1 ≤ i ≤ m p K i ( f − f 0 ) < ε f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ O ′ O' O ′ §E12.16 命題 1.4 (1) によりV = ( ε / 3 ) U V=(\varepsilon/3)U V = ( ε /3 ) U i i i K i ⊆ F i + V K_i\subseteq F_i+V K i ⊆ F i + V F i ⊆ E F_i\subseteq E F i ⊆ E F = F 1 ∪ ⋯ ∪ F m F=F_1\cup\cdots\cup F_m F = F 1 ∪ ⋯ ∪ F m
W = { f ∈ E ′ ∣ すべての a ∈ F について ∣ f ( a ) − f 0 ( a ) ∣ < ε / 3 } W=\{f\in E'\mid\text{すべての }a\in F\text{ について }\lvert f(a)-f_0(a)\rvert<\varepsilon/3\} W = { f ∈ E ′ ∣ すべての a ∈ F について ∣ f ( a ) − f 0 ( a )∣ < ε /3 } とおくと、§E12.27 命題 2.2 (2) を双対対( E ′ , E ) (E',E) ( E ′ , E ) W W W σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) f 0 f_0 f 0 f ∈ W ∩ H f\in W\cap H f ∈ W ∩ H δ = max a ∈ F ∣ f ( a ) − f 0 ( a ) ∣ \delta=\max_{a\in F}\lvert f(a)-f_0(a)\rvert δ = max a ∈ F ∣ f ( a ) − f 0 ( a )∣ F = ∅ F=\emptyset F = ∅ δ = 0 \delta=0 δ = 0 δ < ε / 3 \delta<\varepsilon/3 δ < ε /3 x ∈ K i x\in K_i x ∈ K i x = a + v x=a+v x = a + v a ∈ F i a\in F_i a ∈ F i v ∈ V v\in V v ∈ V 3 ε − 1 v ∈ U 3\varepsilon^{-1}v\in U 3 ε − 1 v ∈ U f , f 0 ∈ U ∘ f,f_0\in U^\circ f , f 0 ∈ U ∘ ∣ f ( v ) ∣ ≤ ε / 3 \lvert f(v)\rvert\leq\varepsilon/3 ∣ f ( v )∣ ≤ ε /3 ∣ f 0 ( v ) ∣ ≤ ε / 3 \lvert f_0(v)\rvert\leq\varepsilon/3 ∣ f 0 ( v )∣ ≤ ε /3
∣ f ( x ) − f 0 ( x ) ∣ ≤ ∣ f ( a ) − f 0 ( a ) ∣ + ∣ f ( v ) ∣ + ∣ f 0 ( v ) ∣ ≤ δ + 2 ε 3 \lvert f(x)-f_0(x)\rvert\leq\lvert f(a)-f_0(a)\rvert+\lvert f(v)\rvert+\lvert f_0(v)\rvert\leq\delta+\frac{2\varepsilon}3 ∣ f ( x ) − f 0 ( x )∣ ≤ ∣ f ( a ) − f 0 ( a )∣ + ∣ f ( v )∣ + ∣ f 0 ( v )∣ ≤ δ + 3 2 ε である。したがってp K i ( f − f 0 ) ≤ δ + 2 ε / 3 < ε p_{K_i}(f-f_0)\leq\delta+2\varepsilon/3<\varepsilon p K i ( f − f 0 ) ≤ δ + 2 ε /3 < ε f ∈ O ′ ∩ H = O f\in O'\cap H=O f ∈ O ′ ∩ H = O W ∩ H ⊆ O W\cap H\subseteq O W ∩ H ⊆ O f 0 ∈ O f_0\in O f 0 ∈ O W W W W f 0 W_{f_0} W f 0 O = H ∩ ⋃ f 0 ∈ O W f 0 O=H\cap\bigcup_{f_0\in O}W_{f_0} O = H ∩ ⋃ f 0 ∈ O W f 0 O O O H H H σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) ▨
4 Montel 空間 定義 4.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K E E E E E E B B B B ‾ \tpcl{B} B E E E E E E Montel 空間 (Montel space )
系 4.2. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
証明. E E E B B B E E E f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ E E E §E2.12 命題 3.3 (2) によりσ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) E E E E → ( E , σ ( E , E ′ ) ) E\to(E,\sigma(E,E')) E → ( E , σ ( E , E ′ )) §E2.19 定理 4.2 によりB ‾ \tpcl{B} B σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) §E12.27 命題 2.2 (3) と§E2.19 命題 6.4 によりσ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) B B B σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) C C C §E2.11 命題 2.5 (1) によりB ‾ \tpcl{B} B §E2.12 命題 4.6 、§E2.19 命題 4.1 、§E2.19 補題 2.7 によりσ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) 定理 2.2 条件 (b) によりE E E E E E 定理 2.3 により回帰的である。▨
補題 4.3. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K E E E E E E
例 4.4. Ω ⊆ C \Omega\subseteq\C Ω ⊆ C C \C C R 2 \R^2 R 2 ( K j ) j ∈ N ≥ 1 (K_j)_{j\in\NN} ( K j ) j ∈ N ≥ 1 §E12.16 補題 8.1 でn = 2 n=2 n = 2 Ω \Omega Ω H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) j ∈ N ≥ 1 j\in\NN j ∈ N ≥ 1
p j ( f ) = sup z ∈ K j ∣ f ( z ) ∣ ( f ∈ H ( Ω ) ) p_j(f)=\sup_{z\in K_j}\lvert f(z)\rvert\qquad(f\in H(\Omega)) p j ( f ) = z ∈ K j sup ∣ f ( z )∣ ( f ∈ H ( Ω )) とおく（K j = ∅ K_j=\emptyset K j = ∅ 0 0 0 H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) C \C C { p j ∣ j ∈ N ≥ 1 } \{p_j\mid j\in\NN\} { p j ∣ j ∈ N ≥ 1 } H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) ( f k ) k ∈ N ≥ 1 (f_k)_{k\in\NN} ( f k ) k ∈ N ≥ 1 f ∈ H ( Ω ) f\in H(\Omega) f ∈ H ( Ω ) Ω \Omega Ω K K K ( f k ) (f_k) ( f k ) f f f
証明. 正則関数の和とスカラー倍は正則であるから、H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) C \C C K j K_j K j §E2.19 定理 4.4 によりp j ( f ) < ∞ p_j(f)<\infty p j ( f ) < ∞ p j p_j p j f ≠ 0 f\neq0 f = 0 f ( z ) ≠ 0 f(z)\neq0 f ( z ) = 0 z ∈ Ω z\in\Omega z ∈ Ω §E12.16 補題 8.1 によりz ∈ K j z\in K_j z ∈ K j j j j p j ( f ) > 0 p_j(f)>0 p j ( f ) > 0 §E12.16 補題 8.1 により、Ω \Omega Ω K j K_j K j K j K_j K j Ω \Omega Ω §E12.16 命題 2.4 (6) から従う。
( f k ) k ∈ N ≥ 1 (f_k)_{k\in\NN} ( f k ) k ∈ N ≥ 1 H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) §E12.16 命題 2.4 (1) によりB { p j } , ε ( 0 ) B_{\{p_j\},\varepsilon}(0) B { p j } , ε ( 0 ) j j j p j ( f k − f l ) → 0 p_j(f_k-f_l)\to0 p j ( f k − f l ) → 0 k , l → ∞ k,l\to\infty k , l → ∞ z ∈ Ω z\in\Omega z ∈ Ω z ∈ K j z\in K_j z ∈ K j j j j ( f k ( z ) ) k ∈ N ≥ 1 (f_k(z))_{k\in\NN} ( f k ( z ) ) k ∈ N ≥ 1 C \C C g ( z ) g(z) g ( z ) j ∈ N ≥ 1 j\in\NN j ∈ N ≥ 1 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 k , l ≥ k 0 k,l\geq k_0 k , l ≥ k 0 p j ( f k − f l ) ≤ ε p_j(f_k-f_l)\leq\varepsilon p j ( f k − f l ) ≤ ε k 0 k_0 k 0 k ≥ k 0 k\geq k_0 k ≥ k 0 z ∈ K j z\in K_j z ∈ K j ∣ f k ( z ) − f l ( z ) ∣ ≤ ε \lvert f_k(z)-f_l(z)\rvert\leq\varepsilon ∣ f k ( z ) − f l ( z )∣ ≤ ε l → ∞ l\to\infty l → ∞ ∣ f k ( z ) − g ( z ) ∣ ≤ ε \lvert f_k(z)-g(z)\rvert\leq\varepsilon ∣ f k ( z ) − g ( z )∣ ≤ ε Ω \Omega Ω ( f k ) (f_k) ( f k ) g g g §E5.17 定理 2.1 (1) によりg g g Ω \Omega Ω g ∈ H ( Ω ) g\in H(\Omega) g ∈ H ( Ω ) j j j p j ( f k − g ) → 0 p_j(f_k-g)\to0 p j ( f k − g ) → 0 §E12.16 命題 2.4 (6) によりf k → g f_k\to g f k → g H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) §E12.16 系 5.16 (2) により Fréchet 空間である。▨
例 4.5. 次の Fréchet 空間は Montel 空間である。
n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R n \Omega\subseteq\R^n Ω ⊆ R n K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } §E12.16 例 8.2 のC ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } §E12.16 例 8.3 のS ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) 空でない開集合Ω ⊆ C \Omega\subseteq\C Ω ⊆ C 例 4.4 のH ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω )
証明. (1) を示す。( K j ) j ∈ N ≥ 1 (K_j)_{j\in\NN} ( K j ) j ∈ N ≥ 1 W n W_n W n ∂ w \partial^w ∂ w p j , w p_{j,w} p j , w §E12.16 例 8.2 のとおりとし、B B B C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) §E12.16 命題 3.3 (3) により、j ∈ N ≥ 1 j\in\NN j ∈ N ≥ 1 w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n M j , w = sup f ∈ B p j , w ( f ) M_{j,w}=\sup_{f\in B}p_{j,w}(f) M j , w = sup f ∈ B p j , w ( f ) B = ∅ B=\emptyset B = ∅ 0 0 0
主張 4.5.1. j ∈ N ≥ 1 j\in\NN j ∈ N ≥ 1 w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n K j ≠ ∅ K_j\neq\emptyset K j = ∅ { ∂ w f ∣ K j ∣ f ∈ B } \{\partial^wf|_{K_j}\mid f\in B\} { ∂ w f ∣ K j ∣ f ∈ B } C ( K j , K ) C(K_j,\mathbb K) C ( K j , K ) d ∞ d_\infty d ∞
証明. r = 1 / ( j ( j + 1 ) ) r=1/(j(j+1)) r = 1/ ( j ( j + 1 )) x ∈ K j x\in K_j x ∈ K j y ∈ R n y\in\R^n y ∈ R n ∣ y − x ∣ ≤ r \lvert y-x\rvert\leq r ∣ y − x ∣ ≤ r ∣ y ∣ ≤ j + r ≤ j + 1 \lvert y\rvert\leq j+r\leq j+1 ∣ y ∣ ≤ j + r ≤ j + 1 Ω ≠ R n \Omega\neq\R^n Ω = R n §E2.10 命題 5.2 (1) によりd ( y , R n ∖ Ω ) ≥ d ( x , R n ∖ Ω ) − r ≥ 1 / j − r = 1 / ( j + 1 ) d(y,\R^n\setminus\Omega)\geq d(x,\R^n\setminus\Omega)-r\geq1/j-r=1/(j+1) d ( y , R n ∖ Ω ) ≥ d ( x , R n ∖ Ω ) − r ≥ 1/ j − r = 1/ ( j + 1 ) y ∈ K j + 1 y\in K_{j+1} y ∈ K j + 1 x , y ∈ K j x,y\in K_j x , y ∈ K j ∣ y − x ∣ ≤ r \lvert y-x\rvert\leq r ∣ y − x ∣ ≤ r e 1 , … , e n e_1,\ldots,e_n e 1 , … , e n R n \R^n R n z 0 = x z_0=x z 0 = x z i = z i − 1 + ( y i − x i ) e i z_i=z_{i-1}+(y_i-x_i)e_i z i = z i − 1 + ( y i − x i ) e i 1 ≤ i ≤ n 1\leq i\leq n 1 ≤ i ≤ n z n = y z_n=y z n = y 0 ≤ t ≤ 1 0\leq t\leq1 0 ≤ t ≤ 1 z i − 1 + t ( y i − x i ) e i z_{i-1}+t(y_i-x_i)e_i z i − 1 + t ( y i − x i ) e i x x x ∣ y − x ∣ \lvert y-x\rvert ∣ y − x ∣ K j + 1 K_{j+1} K j + 1 f ∈ B f\in B f ∈ B ϕ ( t ) = ∂ w f ( z i − 1 + t ( y i − x i ) e i ) \phi(t)=\partial^wf(z_{i-1}+t(y_i-x_i)e_i) ϕ ( t ) = ∂ w f ( z i − 1 + t ( y i − x i ) e i ) 0 ≤ t ≤ 1 0\leq t\leq1 0 ≤ t ≤ 1 ϕ \phi ϕ w w w i i i ( i ) w (i)w ( i ) w ϕ ′ ( t ) = ( y i − x i ) ∂ ( i ) w f ( z i − 1 + t ( y i − x i ) e i ) \phi'(t)=(y_i-x_i)\partial^{(i)w}f(z_{i-1}+t(y_i-x_i)e_i) ϕ ′ ( t ) = ( y i − x i ) ∂ ( i ) w f ( z i − 1 + t ( y i − x i ) e i ) §D1.14 定理 3.1 をℜ ϕ \Re\phi ℜ ϕ ℑ ϕ \Im\phi ℑ ϕ ∣ ϕ ( 1 ) − ϕ ( 0 ) ∣ ≤ 2 ∣ y i − x i ∣ M j + 1 , ( i ) w \lvert\phi(1)-\phi(0)\rvert\leq2\lvert y_i-x_i\rvert M_{j+1,(i)w} ∣ ϕ ( 1 ) − ϕ ( 0 )∣ ≤ 2 ∣ y i − x i ∣ M j + 1 , ( i ) w L = max 1 ≤ i ≤ n M j + 1 , ( i ) w L=\max_{1\leq i\leq n}M_{j+1,(i)w} L = max 1 ≤ i ≤ n M j + 1 , ( i ) w i = 1 , … , n i=1,\ldots,n i = 1 , … , n
∣ ∂ w f ( y ) − ∂ w f ( x ) ∣ ≤ 2 n L ∣ y − x ∣ \lvert\partial^wf(y)-\partial^wf(x)\rvert\leq2nL\lvert y-x\rvert ∣ ∂ w f ( y ) − ∂ w f ( x )∣ ≤ 2 n L ∣ y − x ∣ を得る。実数ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 x ∈ K j x\in K_j x ∈ K j δ = min { r , ε / ( 2 n L + 1 ) } \delta=\min\{r,\varepsilon/(2nL+1)\} δ = min { r , ε / ( 2 n L + 1 )} { y ∈ K j ∣ ∣ y − x ∣ < δ } \{y\in K_j\mid\lvert y-x\rvert<\delta\} { y ∈ K j ∣ ∣ y − x ∣ < δ } K j K_j K j x x x y y y f ∈ B f\in B f ∈ B ∣ ∂ w f ( y ) − ∂ w f ( x ) ∣ < ε \lvert\partial^wf(y)-\partial^wf(x)\rvert<\varepsilon ∣ ∂ w f ( y ) − ∂ w f ( x )∣ < ε { ∂ w f ∣ K j ∣ f ∈ B } \{\partial^wf|_{K_j}\mid f\in B\} { ∂ w f ∣ K j ∣ f ∈ B } §E2.31 定義 1.1 の意味で同程度連続である。x ∈ K j x\in K_j x ∈ K j { ∂ w f ( x ) ∣ f ∈ B } \{\partial^wf(x)\mid f\in B\} { ∂ w f ( x ) ∣ f ∈ B } { c ∈ K ∣ ∣ c ∣ ≤ M j , w } \{c\in\mathbb K\mid\lvert c\rvert\leq M_{j,w}\} { c ∈ K ∣ ∣ c ∣ ≤ M j , w } §E2.9 定理 4.3 によりコンパクトであるから（K = C \mathbb K=\C K = C R 2 \R^2 R 2 §E2.9 系 3.3 と§E2.8 命題 3.1 により全有界である。§E12.16 補題 8.1 によりK j K_j K j §E2.31 定理 3.1 により主張が従う。▨
U U U C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) B = ∅ B=\emptyset B = ∅ B ⊆ ∅ + U B\subseteq\emptyset+U B ⊆ ∅ + U B ≠ ∅ B\neq\emptyset B = ∅ §E12.16 命題 2.4 (1) により、( j 1 , w 1 ) , … , ( j s , w s ) ∈ N ≥ 1 × W n (j_1,w_1),\ldots,(j_s,w_s)\in\NN\times W_n ( j 1 , w 1 ) , … , ( j s , w s ) ∈ N ≥ 1 × W n s ≥ 0 s\geq0 s ≥ 0 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 1 ≤ l ≤ s 1\leq l\leq s 1 ≤ l ≤ s l l l p j l , w l ( h ) < ε p_{j_l,w_l}(h)<\varepsilon p j l , w l ( h ) < ε h ∈ C ∞ ( Ω ) h\in C^\infty(\Omega) h ∈ C ∞ ( Ω ) U U U j = max ( { 1 } ∪ { j 1 , … , j s } ) j=\max(\{1\}\cup\{j_1,\ldots,j_s\}) j = max ({ 1 } ∪ { j 1 , … , j s }) K j l ⊆ K j K_{j_l}\subseteq K_j K j l ⊆ K j p j l , w l ≤ p j , w l p_{j_l,w_l}\leq p_{j,w_l} p j l , w l ≤ p j , w l K j = ∅ K_j=\emptyset K j = ∅ p j l , w l p_{j_l,w_l} p j l , w l 0 0 0 U = C ∞ ( Ω ) U=C^\infty(\Omega) U = C ∞ ( Ω ) f 0 ∈ B f_0\in B f 0 ∈ B B ⊆ { f 0 } + U B\subseteq\{f_0\}+U B ⊆ { f 0 } + U K j ≠ ∅ K_j\neq\emptyset K j = ∅ 主張 4.5.1 と§E2.8 命題 3.1 により導関数の制限の像は制限距離について全有界であるから、各l l l B l ⊆ B B_l\subseteq B B l ⊆ B f ∈ B f\in B f ∈ B p j , w l ( f − g ) < ε / 2 p_{j,w_l}(f-g)<\varepsilon/2 p j , w l ( f − g ) < ε /2 g ∈ B l g\in B_l g ∈ B l d ∞ ( ∂ w l f ∣ K j , ∂ w l g ∣ K j ) = p j , w l ( f − g ) d_\infty(\partial^{w_l}f|_{K_j},\partial^{w_l}g|_{K_j})=p_{j,w_l}(f-g) d ∞ ( ∂ w l f ∣ K j , ∂ w l g ∣ K j ) = p j , w l ( f − g ) γ = ( g 1 , … , g s ) ∈ B 1 × ⋯ × B s \gamma=(g_1,\ldots,g_s)\in B_1\times\cdots\times B_s γ = ( g 1 , … , g s ) ∈ B 1 × ⋯ × B s B γ = { f ∈ B ∣ 1 ≤ l ≤ s を満たすすべての l について p j , w l ( f − g l ) < ε / 2 } B_\gamma=\{f\in B\mid1\leq l\leq s\text{ を満たすすべての }l\text{ について }p_{j,w_l}(f-g_l)<\varepsilon/2\} B γ = { f ∈ B ∣ 1 ≤ l ≤ s を満たすすべての l について p j , w l ( f − g l ) < ε /2 } B B B B γ B_\gamma B γ §E1.18 補題 2.5 により、B γ ≠ ∅ B_\gamma\neq\emptyset B γ = ∅ γ \gamma γ f γ ∈ B γ f_\gamma\in B_\gamma f γ ∈ B γ f ∈ B γ f\in B_\gamma f ∈ B γ l l l p j l , w l ( f − f γ ) ≤ p j , w l ( f − g l ) + p j , w l ( g l − f γ ) < ε p_{j_l,w_l}(f-f_\gamma)\leq p_{j,w_l}(f-g_l)+p_{j,w_l}(g_l-f_\gamma)<\varepsilon p j l , w l ( f − f γ ) ≤ p j , w l ( f − g l ) + p j , w l ( g l − f γ ) < ε f − f γ ∈ U f-f_\gamma\in U f − f γ ∈ U B B B { f γ } \{f_\gamma\} { f γ } B ⊆ { f γ } + U B\subseteq\{f_\gamma\}+U B ⊆ { f γ } + U 補題 4.3 によりC ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω )
(2) の証明は演習とする（問題 6.1 ）。
(3) を示す。( K j ) (K_j) ( K j ) p j p_j p j 例 4.4 のとおりとし、B B B H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) §E12.16 命題 3.3 (3) により各j j j sup f ∈ B p j ( f ) < ∞ \sup_{f\in B}p_j(f)<\infty sup f ∈ B p j ( f ) < ∞ §E12.16 補題 8.1 によりΩ \Omega Ω K j K_j K j B B B §E5.17 命題 4.4 (2) を満たす。§E5.17 命題 4.4 によりB B B §E5.17 定理 5.1 により正規族である。d d d §E12.16 命題 5.12 で半ノルムの列( p j ) j ∈ N ≥ 1 (p_j)_{j\in\NN} ( p j ) j ∈ N ≥ 1 d d d d d d H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) B B B ( f k ) (f_k) ( f k ) ( f k i ) (f_{k_i}) ( f k i ) g : Ω → C g\colon\Omega\to\C g : Ω → C Ω \Omega Ω ( f k i ) (f_{k_i}) ( f k i ) g g g §E5.17 定理 2.1 (1) によりg ∈ H ( Ω ) g\in H(\Omega) g ∈ H ( Ω ) 例 4.4 により( f k i ) (f_{k_i}) ( f k i ) H ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) g g g d d d §E2.8 定理 2.1 を距離空間( B , d ) (B,d) ( B , d ) B B B §E12.16 命題 3.4 により前コンパクトである。補題 4.3 によりH ( Ω ) H(\Omega) H ( Ω ) ▨
例 4.6. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } X X X K \mathbb K K X X X 例 2.6 のE w E_w E w 系 4.2 の逆は成り立たず、定義 4.1 から樽型性の条件を外すと系 4.2 の結論は成り立たない。
定理 4.7. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K τ p c \tau_{\mathrm{pc}} τ pc 補題 3.1 の位相とする。このとき、次が成り立つ。
β ( E ′ , E ) = τ p c \beta(E',E)=\tau_{\mathrm{pc}} β ( E ′ , E ) = τ pc E ′ E' E ′ H H H H H H σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) H H H β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) E ′ E' E ′ ( f k ) k ∈ N ≥ 1 (f_k)_{k\in\NN} ( f k ) k ∈ N ≥ 1 f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ ( f k ) (f_k) ( f k ) β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) f f f ( f k ) (f_k) ( f k ) σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) f f f 証明. 主張 (1) を示す。B B B E E E B ‾ \tpcl{B} B §E12.16 命題 3.3 (2) により前コンパクトであるから、その部分集合B B B §E12.16 命題 3.3 (1) により前コンパクトな部分集合は有界である。ゆえにE E E β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) τ p c \tau_{\mathrm{pc}} τ pc
主張 (2) は補題 3.1 (2) と主張 (1) から従う。
主張 (3) を示す。必要性を示す。定義 1.4 によりσ ( E ′ , E ) ⊆ β ( E ′ , E ) \sigma(E',E)\subseteq\beta(E',E) σ ( E ′ , E ) ⊆ β ( E ′ , E ) f f f σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) ( f k ) (f_k) ( f k ) ( f k ) (f_k) ( f k ) σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) f f f §E12.27 命題 2.2 (1) を双対対( E ′ , E ) (E',E) ( E ′ , E ) §E12.16 命題 2.4 (6) を用いると、各x ∈ E x\in E x ∈ E f k ( x ) → f ( x ) f_k(x)\to f(x) f k ( x ) → f ( x ) H = { f } ∪ { f k ∣ k ∈ N ≥ 1 } H=\{f\}\cup\{f_k\mid k\in\NN\} H = { f } ∪ { f k ∣ k ∈ N ≥ 1 } x ∈ E x\in E x ∈ E { g ( x ) ∣ g ∈ H } \{g(x)\mid g\in H\} { g ( x ) ∣ g ∈ H } H H H E E E §E12.20 定理 2.4 によりH H H f k f_k f k f f f H H H 主張 (2) によるH H H ( f k ) (f_k) ( f k ) β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) f f f ▨
例 4.8. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 §E10.3 命題 1.4 の Hilbert 空間とし、n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 f n : ℓ 2 → K f_n\colon\ell^2\to\mathbb K f n : ℓ 2 → K f n ( x ) = x n f_n(x)=x_n f n ( x ) = x n f n ∈ ( ℓ 2 ) ∗ f_n\in(\ell^2)^* f n ∈ ( ℓ 2 ) ∗ ( f n ) (f_n) ( f n ) σ ( ( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) \sigma((\ell^2)^*,\ell^2) σ (( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) 0 0 0 β ( ( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) \beta((\ell^2)^*,\ell^2) β (( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 定理 4.7 (3) は、E E E E E E
証明. x ∈ ℓ 2 x\in\ell^2 x ∈ ℓ 2 ∣ f n ( x ) ∣ = ∣ x n ∣ ≤ ∥ x ∥ 2 \lvert f_n(x)\rvert=\lvert x_n\rvert\leq\lVert x\rVert_2 ∣ f n ( x )∣ = ∣ x n ∣ ≤ ∥ x ∥ 2 f n f_n f n f n ∈ ( ℓ 2 ) ∗ f_n\in(\ell^2)^* f n ∈ ( ℓ 2 ) ∗ ∥ f n ∥ ≤ 1 \lVert f_n\rVert\leq1 ∥ f n ∥ ≤ 1 n n n 1 1 1 0 0 0 e n e_n e n ∥ e n ∥ 2 = 1 \lVert e_n\rVert_2=1 ∥ e n ∥ 2 = 1 f n ( e n ) = 1 f_n(e_n)=1 f n ( e n ) = 1 §E10.2 命題 1.2 により∥ f n ∥ = 1 \lVert f_n\rVert=1 ∥ f n ∥ = 1 x ∈ ℓ 2 x\in\ell^2 x ∈ ℓ 2 ∑ n ∣ x n ∣ 2 < ∞ \sum_n\lvert x_n\rvert^2<\infty ∑ n ∣ x n ∣ 2 < ∞ f n ( x ) = x n → 0 f_n(x)=x_n\to0 f n ( x ) = x n → 0 §E12.27 命題 2.2 (1) と§E12.16 命題 2.4 (6) により( f n ) (f_n) ( f n ) σ ( ( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) \sigma((\ell^2)^*,\ell^2) σ (( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) 0 0 0 ( f n ) (f_n) ( f n ) β ( ( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) \beta((\ell^2)^*,\ell^2) β (( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) g g g σ ( ( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) ⊆ β ( ( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) \sigma((\ell^2)^*,\ell^2)\subseteq\beta((\ell^2)^*,\ell^2) σ (( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) ⊆ β (( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) σ ( ( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) \sigma((\ell^2)^*,\ell^2) σ (( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) g g g §E12.27 命題 2.2 (3) と§E2.15 命題 1.3 によりg = 0 g=0 g = 0 定義 1.4 によりβ ( ( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) \beta((\ell^2)^*,\ell^2) β (( ℓ 2 ) ∗ , ℓ 2 ) ( ℓ 2 ) ∗ (\ell^2)^* ( ℓ 2 ) ∗ §E12.16 命題 2.4 (6) により∥ f n ∥ → 0 \lVert f_n\rVert\to0 ∥ f n ∥ → 0 n n n ∥ f n ∥ = 1 \lVert f_n\rVert=1 ∥ f n ∥ = 1 ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 例 2.5 により回帰的であり、§E12.16 系 5.16 (4) と§E12.20 系 1.5 により樽型である。▨
命題 4.9. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K ( x k ) k ∈ N ≥ 1 (x_k)_{k\in\NN} ( x k ) k ∈ N ≥ 1 E E E x ∈ E x\in E x ∈ E ( x k ) (x_k) ( x k ) σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) x x x ( x k ) (x_k) ( x k ) E E E x x x
5 ボルノロジー空間 定義 5.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K E E E A A A E E E B B B B ⊆ t A B\subseteq tA B ⊆ t A t > 0 t>0 t > 0 E E E E E E ボルノロジー空間 (bornological space )
定理 5.2. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K E E E V \mathcal V V E E E V \mathcal V V E E E E E E E E E E E E
証明. E E E E E E V ≠ ∅ \mathcal V\neq\emptyset V = ∅ V = { V k ′ ∣ k ∈ N ≥ 1 } \mathcal V=\{V'_k\mid k\in\NN\} V = { V k ′ ∣ k ∈ N ≥ 1 } V k = V 1 ′ ∩ ⋯ ∩ V k ′ V_k=V'_1\cap\cdots\cap V'_k V k = V 1 ′ ∩ ⋯ ∩ V k ′ V k V_k V k V k + 1 ⊆ V k V_{k+1}\subseteq V_k V k + 1 ⊆ V k E E E V k V_k V k A A A E E E B B B B ⊆ t A B\subseteq tA B ⊆ t A t > 0 t>0 t > 0 E E E A A A §E12.16 命題 1.4 (1) により各k − 1 V k k^{-1}V_k k − 1 V k k − 1 V k ⊈ A k^{-1}V_k\not\subseteq A k − 1 V k ⊆ A x k ∈ V k x_k\in V_k x k ∈ V k x k ∉ k A x_k\notin kA x k ∈ / k A U U U V m ⊆ U V_m\subseteq U V m ⊆ U m m m k ≥ m k\geq m k ≥ m x k ∈ V k ⊆ V m ⊆ U x_k\in V_k\subseteq V_m\subseteq U x k ∈ V k ⊆ V m ⊆ U ( x k ) (x_k) ( x k ) 0 0 0 §E2.38 補題 1.2 により{ 0 } ∪ { x k ∣ k ∈ N ≥ 1 } \{0\}\cup\{x_k\mid k\in\NN\} { 0 } ∪ { x k ∣ k ∈ N ≥ 1 } §E12.16 命題 3.3 (2) と§E12.16 命題 3.3 (1) により有界であるから、その部分集合{ x k ∣ k ∈ N ≥ 1 } \{x_k\mid k\in\NN\} { x k ∣ k ∈ N ≥ 1 } { x k ∣ k ∈ N ≥ 1 } ⊆ t A \{x_k\mid k\in\NN\}\subseteq tA { x k ∣ k ∈ N ≥ 1 } ⊆ t A t > 0 t>0 t > 0 k ≥ t k\geq t k ≥ t k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 A A A t A = k ( ( t / k ) A ) ⊆ k A tA=k\bigl((t/k)A\bigr)\subseteq kA t A = k ( ( t / k ) A ) ⊆ k A x k ∈ k A x_k\in kA x k ∈ k A x k ∈ k A x_k\in kA x k ∈ k A x k ∉ k A x_k\notin kA x k ∈ / k A A A A E E E
d d d E E E d d d E E E §E2.2 補題 1.2 により{ x ∈ E ∣ d ( x , 0 ) < 1 / k } \{x\in E\mid d(x,0)<1/k\} { x ∈ E ∣ d ( x , 0 ) < 1/ k } k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 E E E ▨
例 5.3. E w E_w E w 例 2.6 のとおりとする。このとき、E w E_w E w E w E_w E w E w E_w E w
証明. 例 2.6 (3) により、B H B_H B H E w E_w E w E w E_w E w B B B B ⊆ t B H B\subseteq tB_H B ⊆ t B H t > 0 t>0 t > 0 E w E_w E w E w E_w E w 例 2.6 (1) によりE w E_w E w 定理 5.2 により後半の主張が従う。▨
6 演習 解答. W n W_n W n ∂ w \partial^w ∂ w q β , w q_{\beta,w} q β , w §E12.16 例 8.3 のとおりとし、p j , w p_{j,w} p j , w §E12.16 例 8.2 でΩ = R n \Omega=\R^n Ω = R n Ω = R n \Omega=\R^n Ω = R n §E12.16 補題 8.1 のK j K_j K j { x ∈ R n ∣ ∣ x ∣ ≤ j } \{x\in\R^n\mid\lvert x\rvert\leq j\} { x ∈ R n ∣ ∣ x ∣ ≤ j } 補題 4.3 により、S ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) B B B B = ∅ B=\emptyset B = ∅ B ≠ ∅ B\neq\emptyset B = ∅ §E12.16 命題 3.3 (3) により、β ∈ N ≥ 0 n \beta\in\N^n β ∈ N ≥ 0 n w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n Q β , w = sup f ∈ B q β , w ( f ) Q_{\beta,w}=\sup_{f\in B}q_{\beta,w}(f) Q β , w = sup f ∈ B q β , w ( f )
U U U S ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) §E12.16 命題 2.4 (1) により、有限集合G ⊆ N ≥ 0 n × W n G\subseteq\N^n\times W_n G ⊆ N ≥ 0 n × W n ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ( β , w ) ∈ G (\beta,w)\in G ( β , w ) ∈ G q β , w ( h ) < ε q_{\beta,w}(h)<\varepsilon q β , w ( h ) < ε h ∈ S ( R n ) h\in\mathcal S(\R^n) h ∈ S ( R n ) U U U G = ∅ G=\emptyset G = ∅ U = S ( R n ) U=\mathcal S(\R^n) U = S ( R n ) f 0 ∈ B f_0\in B f 0 ∈ B B ⊆ { f 0 } + U B\subseteq\{f_0\}+U B ⊆ { f 0 } + U G ≠ ∅ G\neq\emptyset G = ∅ β ∈ N ≥ 0 n \beta\in\N^n β ∈ N ≥ 0 n 1 ≤ i ≤ n 1\leq i\leq n 1 ≤ i ≤ n β \beta β i i i 2 2 2 β ( i ) \beta^{(i)} β ( i ) x ∈ R n x\in\R^n x ∈ R n f ∈ B f\in B f ∈ B x i 2 x β = x β ( i ) x_i^2x^\beta=x^{\beta^{(i)}} x i 2 x β = x β ( i )
∣ x ∣ 2 ∣ x β ∂ w f ( x ) ∣ = ∑ i = 1 n ∣ x β ( i ) ∂ w f ( x ) ∣ ≤ C \lvert x\rvert^2\lvert x^\beta\partial^wf(x)\rvert=\sum_{i=1}^n\lvert x^{\beta^{(i)}}\partial^wf(x)\rvert\leq C ∣ x ∣ 2 ∣ x β ∂ w f ( x )∣ = i = 1 ∑ n ∣ x β ( i ) ∂ w f ( x )∣ ≤ C である。ここでC = max ( β , w ) ∈ G ∑ i = 1 n Q β ( i ) , w C=\max_{(\beta,w)\in G}\sum_{i=1}^nQ_{\beta^{(i)},w} C = max ( β , w ) ∈ G ∑ i = 1 n Q β ( i ) , w C < j 2 ε / 4 C<j^2\varepsilon/4 C < j 2 ε /4 j ∈ N ≥ 1 j\in\NN j ∈ N ≥ 1 ∣ x ∣ ≥ j \lvert x\rvert\geq j ∣ x ∣ ≥ j f ∈ B f\in B f ∈ B ( β , w ) ∈ G (\beta,w)\in G ( β , w ) ∈ G ∣ x β ∂ w f ( x ) ∣ ≤ C / j 2 < ε / 4 \lvert x^\beta\partial^wf(x)\rvert\leq C/j^2<\varepsilon/4 ∣ x β ∂ w f ( x )∣ ≤ C / j 2 < ε /4 c = max { 1 , max ( β , w ) ∈ G max ∣ x ∣ ≤ j ∣ x β ∣ } c=\max\{1,\max_{(\beta,w)\in G}\max_{\lvert x\rvert\leq j}\lvert x^\beta\rvert\} c = max { 1 , max ( β , w ) ∈ G max ∣ x ∣ ≤ j ∣ x β ∣} G G G w w w G W G_W G W
p j , w ≤ q 0 , w p_{j,w}\leq q_{0,w} p j , w ≤ q 0 , w §E12.16 命題 3.3 (3) によりB B B C ∞ ( R n ) C^\infty(\R^n) C ∞ ( R n ) 例 4.5 (1) と補題 4.3 によりC ∞ ( R n ) C^\infty(\R^n) C ∞ ( R n ) V = { h ∈ C ∞ ( R n ) ∣ すべての w ∈ G W について p j , w ( h ) < ε / ( 4 c ) } V=\{h\in C^\infty(\R^n)\mid\text{すべての }w\in G_W\text{ について }p_{j,w}(h)<\varepsilon/(4c)\} V = { h ∈ C ∞ ( R n ) ∣ すべての w ∈ G W について p j , w ( h ) < ε / ( 4 c )} C ∞ ( R n ) C^\infty(\R^n) C ∞ ( R n ) B ⊆ F + V B\subseteq F+V B ⊆ F + V F ⊆ C ∞ ( R n ) F\subseteq C^\infty(\R^n) F ⊆ C ∞ ( R n ) ( h + V ) ∩ B ≠ ∅ (h+V)\cap B\neq\emptyset ( h + V ) ∩ B = ∅ h ∈ F h\in F h ∈ F §E1.18 補題 2.5 によりf h ∈ ( h + V ) ∩ B f_h\in(h+V)\cap B f h ∈ ( h + V ) ∩ B f ∈ B f\in B f ∈ B f ∈ h + V f\in h+V f ∈ h + V h ∈ F h\in F h ∈ F w ∈ G W w\in G_W w ∈ G W p j , w ( f − f h ) ≤ p j , w ( f − h ) + p j , w ( h − f h ) < ε / ( 2 c ) p_{j,w}(f-f_h)\leq p_{j,w}(f-h)+p_{j,w}(h-f_h)<\varepsilon/(2c) p j , w ( f − f h ) ≤ p j , w ( f − h ) + p j , w ( h − f h ) < ε / ( 2 c ) ( β , w ) ∈ G (\beta,w)\in G ( β , w ) ∈ G ∣ x ∣ ≤ j \lvert x\rvert\leq j ∣ x ∣ ≤ j ∣ x β ∂ w ( f − f h ) ( x ) ∣ ≤ c p j , w ( f − f h ) < ε / 2 \lvert x^\beta\partial^w(f-f_h)(x)\rvert\leq c\,p_{j,w}(f-f_h)<\varepsilon/2 ∣ x β ∂ w ( f − f h ) ( x )∣ ≤ c p j , w ( f − f h ) < ε /2 ∣ x ∣ ≥ j \lvert x\rvert\geq j ∣ x ∣ ≥ j ∣ x β ∂ w ( f − f h ) ( x ) ∣ ≤ ∣ x β ∂ w f ( x ) ∣ + ∣ x β ∂ w f h ( x ) ∣ < ε / 2 \lvert x^\beta\partial^w(f-f_h)(x)\rvert\leq\lvert x^\beta\partial^wf(x)\rvert+\lvert x^\beta\partial^wf_h(x)\rvert<\varepsilon/2 ∣ x β ∂ w ( f − f h ) ( x )∣ ≤ ∣ x β ∂ w f ( x )∣ + ∣ x β ∂ w f h ( x )∣ < ε /2 q β , w ( f − f h ) ≤ ε / 2 < ε q_{\beta,w}(f-f_h)\leq\varepsilon/2<\varepsilon q β , w ( f − f h ) ≤ ε /2 < ε f − f h ∈ U f-f_h\in U f − f h ∈ U B B B { f h } \{f_h\} { f h } B ⊆ { f h } + U B\subseteq\{f_h\}+U B ⊆ { f h } + U ▨
問題 6.2. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } ℓ 1 \ell^1 ℓ 1 §E10.1 定義 3.1 でp = 1 p=1 p = 1 K \mathbb K K B = { x ∈ ℓ 1 ∣ ∥ x ∥ 1 ≤ 1 } B=\{x\in\ell^1\mid\lVert x\rVert_1\leq1\} B = { x ∈ ℓ 1 ∣ ∥ x ∥ 1 ≤ 1 } n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 n n n 1 1 1 0 0 0 e n e_n e n
B B B σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) \sigma(\ell^1,(\ell^1)^*) σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) \sigma(\ell^1,(\ell^1)^*) σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) ℓ 1 \ell^1 ℓ 1 §E12.27 定義 4.1 の意味でも定義 2.1 の意味でも回帰的でないことを示せ。 解答. (1) を示す。e 1 , e 2 , … e_1,e_2,\ldots e 1 , e 2 , … ℓ 1 \ell^1 ℓ 1 §E12.27 命題 5.1 (4) によりB B B σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) \sigma(\ell^1,(\ell^1)^*) σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) x ∈ ℓ 1 x\in\ell^1 x ∈ ℓ 1 Φ ( x ) = ∑ j = 1 ∞ x j \Phi(x)=\sum_{j=1}^\infty x_j Φ ( x ) = ∑ j = 1 ∞ x j π k ( x ) = x k \pi_k(x)=x_k π k ( x ) = x k k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 ∣ Φ ( x ) ∣ ≤ ∥ x ∥ 1 \lvert\Phi(x)\rvert\leq\lVert x\rVert_1 ∣ Φ ( x )∣ ≤ ∥ x ∥ 1 ∣ π k ( x ) ∣ ≤ ∥ x ∥ 1 \lvert\pi_k(x)\rvert\leq\lVert x\rVert_1 ∣ π k ( x )∣ ≤ ∥ x ∥ 1 Φ , π k ∈ ( ℓ 1 ) ∗ \Phi,\pi_k\in(\ell^1)^* Φ , π k ∈ ( ℓ 1 ) ∗ B B B σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) \sigma(\ell^1,(\ell^1)^*) σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) m ∈ N ≥ 1 m\in\NN m ∈ N ≥ 1 { e n ∣ n ≥ m } \{e_n\mid n\geq m\} { e n ∣ n ≥ m } σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) \sigma(\ell^1,(\ell^1)^*) σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) C m C_m C m C m C_m C m B B B §E2.12 命題 4.6 によりB B B m ≤ m ′ m\leq m' m ≤ m ′ e m ′ ∈ C m ′ ⊆ C m e_{m'}\in C_{m'}\subseteq C_m e m ′ ∈ C m ′ ⊆ C m ( C m ) m ∈ N ≥ 1 (C_m)_{m\in\NN} ( C m ) m ∈ N ≥ 1 §E2.19 定理 3.2 によりx ∈ ⋂ m C m x\in\bigcap_mC_m x ∈ ⋂ m C m k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 §E12.27 命題 2.2 (3) によりπ k \pi_k π k σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) \sigma(\ell^1,(\ell^1)^*) σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) §E2.12 命題 1.6 (2) によりπ k − 1 ( { 0 } ) \pi_k^{-1}(\{0\}) π k − 1 ({ 0 }) { e n ∣ n ≥ k + 1 } \{e_n\mid n\geq k+1\} { e n ∣ n ≥ k + 1 } C k + 1 C_{k+1} C k + 1 x k = π k ( x ) = 0 x_k=\pi_k(x)=0 x k = π k ( x ) = 0 x = 0 x=0 x = 0 Φ − 1 ( { 1 } ) \Phi^{-1}(\{1\}) Φ − 1 ({ 1 }) { e n ∣ n ≥ 1 } \{e_n\mid n\geq1\} { e n ∣ n ≥ 1 } C 1 C_1 C 1 Φ ( x ) = 1 \Phi(x)=1 Φ ( x ) = 1 Φ ( 0 ) = 0 \Phi(0)=0 Φ ( 0 ) = 0 B B B σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) \sigma(\ell^1,(\ell^1)^*) σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ )
(2) を示す。§E12.16 命題 3.3 (3) によりB B B ℓ 1 \ell^1 ℓ 1 §E12.16 命題 2.10 により( ℓ 1 ) ′ = ( ℓ 1 ) ∗ (\ell^1)'=(\ell^1)^* ( ℓ 1 ) ′ = ( ℓ 1 ) ∗ (1) により、B B B σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) \sigma(\ell^1,(\ell^1)^*) σ ( ℓ 1 , ( ℓ 1 ) ∗ ) B B B 定理 2.2 条件 (b) は成り立たず、定理 2.2 によりℓ 1 \ell^1 ℓ 1 系 2.4 により、ℓ 1 \ell^1 ℓ 1 ▨
問題 6.3. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
命題 4.9 の証明を完成させよ。ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 §E10.3 命題 1.4 の Hilbert 空間とし、e n e_n e n n n n 1 1 1 0 0 0 ( e n ) (e_n) ( e n ) σ ( ℓ 2 , ( ℓ 2 ) ∗ ) \sigma(\ell^2,(\ell^2)^*) σ ( ℓ 2 , ( ℓ 2 ) ∗ ) 0 0 0 0 0 0 命題 4.9 の結論は回帰的かつ樽型な空間については成り立たないことを結論せよ。 解答. (1) を示す。必要性を示す。各f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ §E2.12 命題 3.3 (2) によりσ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) E E E x x x σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) E E E ( x k ) (x_k) ( x k ) σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) x x x §E12.27 命題 2.2 (1) と§E12.16 命題 2.4 (6) により、各f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ f ( x k ) → f ( x ) f(x_k)\to f(x) f ( x k ) → f ( x ) A = { x } ∪ { x k ∣ k ∈ N ≥ 1 } A=\{x\}\cup\{x_k\mid k\in\NN\} A = { x } ∪ { x k ∣ k ∈ N ≥ 1 } f ∈ E ′ f\in E' f ∈ E ′ sup a ∈ A ∣ f ( a ) ∣ < ∞ \sup_{a\in A}\lvert f(a)\rvert<\infty sup a ∈ A ∣ f ( a )∣ < ∞ 定理 1.2 によりA A A K = A ‾ K=\tpcl{A} K = A K K K E E E σ ( E , E ′ ) \sigma(E,E') σ ( E , E ′ ) §E12.27 命題 2.2 (3) と§E2.15 定理 2.1 (3) により後者は Hausdorff であるから、§E2.19 定理 6.8 によりこの恒等写像は同相写像である。各x k x_k x k x x x K K K K K K ( x k ) (x_k) ( x k ) E E E x x x
(2) を示す。f ∈ ( ℓ 2 ) ∗ f\in(\ell^2)^* f ∈ ( ℓ 2 ) ∗ §E10.5 定理 1.1 によりf = ⟨ ⋅ , y ⟩ f=\langle\cdot,y\rangle f = ⟨ ⋅ , y ⟩ y ∈ ℓ 2 y\in\ell^2 y ∈ ℓ 2 f ( e n ) = y n ‾ → 0 f(e_n)=\overline{y_n}\to0 f ( e n ) = y n → 0 §E12.27 命題 2.2 (1) と§E12.16 命題 2.4 (6) により、( e n ) (e_n) ( e n ) σ ( ℓ 2 , ( ℓ 2 ) ∗ ) \sigma(\ell^2,(\ell^2)^*) σ ( ℓ 2 , ( ℓ 2 ) ∗ ) 0 0 0 n n n ∥ e n − 0 ∥ 2 = 1 \lVert e_n-0\rVert_2=1 ∥ e n − 0 ∥ 2 = 1 §E12.16 命題 2.4 (6) により( e n ) (e_n) ( e n ) 0 0 0 §E12.16 命題 2.10 により( ℓ 2 ) ′ = ( ℓ 2 ) ∗ (\ell^2)'=(\ell^2)^* ( ℓ 2 ) ′ = ( ℓ 2 ) ∗ ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 例 2.5 により回帰的であり、§E12.16 系 5.16 (4) と§E12.20 系 1.5 により樽型である。したがって、ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 命題 4.9 の結論を満たさない回帰的かつ樽型な空間である。▨
問題 6.4. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E = C ∞ ( R ) E=C^\infty(\R) E = C ∞ ( R ) §E12.16 例 8.2 のK \mathbb K K ( h k ) k ∈ N ≥ 1 (h_k)_{k\in\NN} ( h k ) k ∈ N ≥ 1 R ∖ { 0 } \R\setminus\{0\} R ∖ { 0 } h k → 0 h_k\to0 h k → 0 T k , T : E → K T_k,T\colon E\to\mathbb K T k , T : E → K
T k ( f ) = f ( h k ) − f ( 0 ) h k , T ( f ) = f ′ ( 0 ) T_k(f)=\frac{f(h_k)-f(0)}{h_k},\qquad T(f)=f'(0) T k ( f ) = h k f ( h k ) − f ( 0 ) , T ( f ) = f ′ ( 0 ) で定める。このとき、T k , T ∈ E ′ T_k,T\in E' T k , T ∈ E ′ ( T k ) (T_k) ( T k ) β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) T T T 定理 4.7 (3) を用いて示せ。さらに、E E E B B B sup f ∈ B sup ∣ x ∣ ≤ 1 ∣ f ′ ′ ( x ) ∣ \sup_{f\in B}\sup_{|x|\leq1}|f''(x)| sup f ∈ B sup ∣ x ∣ ≤ 1 ∣ f ′′ ( x ) ∣ p B ( T k − T ) p_B(T_k-T) p B ( T k − T )
解答. p j , w p_{j,w} p j , w §E12.16 例 8.2 でn = 1 n=1 n = 1 Ω = R \Omega=\R Ω = R §E12.16 補題 8.1 のコンパクト集合K j K_j K j [ − j , j ] [-j,j] [ − j , j ] k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 j ≥ max { 1 , ∣ h k ∣ } j\geq\max\{1,|h_k|\} j ≥ max { 1 , ∣ h k ∣ } j ∈ N ≥ 1 j\in\NN j ∈ N ≥ 1 f ∈ E f\in E f ∈ E
∣ T k ( f ) ∣ ≤ 2 ∣ h k ∣ p j , ( ) ( f ) , ∣ T ( f ) ∣ ≤ p 1 , ( 1 ) ( f ) |T_k(f)|\leq\frac{2}{|h_k|}p_{j,()}(f),\qquad |T(f)|\leq p_{1,(1)}(f) ∣ T k ( f ) ∣ ≤ ∣ h k ∣ 2 p j , ( ) ( f ) , ∣ T ( f ) ∣ ≤ p 1 , ( 1 ) ( f ) である。ここで( ) () ( ) 0 0 0 T k T_k T k T T T K \mathbb K K T k , T ∈ E ′ T_k,T\in E' T k , T ∈ E ′ f ∈ E f\in E f ∈ E T k ( f ) → f ′ ( 0 ) = T ( f ) T_k(f)\to f'(0)=T(f) T k ( f ) → f ′ ( 0 ) = T ( f ) §E12.27 命題 2.2 (1) と§E12.16 命題 2.4 (6) により( T k ) (T_k) ( T k ) σ ( E ′ , E ) \sigma(E',E) σ ( E ′ , E ) T T T 例 4.5 (1) によりE E E 定理 4.7 (3) により( T k ) (T_k) ( T k ) β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) T T T
B B B E E E §E12.16 命題 3.3 (3) により
M B = sup f ∈ B p 1 , ( 1 , 1 ) ( f ) = sup f ∈ B sup ∣ x ∣ ≤ 1 ∣ f ′ ′ ( x ) ∣ < ∞ M_B=\sup_{f\in B}p_{1,(1,1)}(f)=\sup_{f\in B}\sup_{|x|\leq1}|f''(x)|<\infty M B = f ∈ B sup p 1 , ( 1 , 1 ) ( f ) = f ∈ B sup ∣ x ∣ ≤ 1 sup ∣ f ′′ ( x ) ∣ < ∞ である。0 < ∣ h ∣ ≤ 1 0<|h|\leq1 0 < ∣ h ∣ ≤ 1 f ∈ B f\in B f ∈ B K = R \mathbb K=\R K = R ψ = f \psi=f ψ = f K = C \mathbb K=\C K = C ψ = ℜ f \psi=\Re f ψ = ℜ f ψ = ℑ f \psi=\Im f ψ = ℑ f §D1.14 定理 3.1 を二度適用すると、0 0 0 h h h c c c 0 0 0 c c c d d d
ψ ( h ) − ψ ( 0 ) h − ψ ′ ( 0 ) = ψ ′ ( c ) − ψ ′ ( 0 ) = c ψ ′ ′ ( d ) \frac{\psi(h)-\psi(0)}h-\psi'(0)=\psi'(c)-\psi'(0)=c\psi''(d) h ψ ( h ) − ψ ( 0 ) − ψ ′ ( 0 ) = ψ ′ ( c ) − ψ ′ ( 0 ) = c ψ ′′ ( d ) である。c , d ∈ [ − 1 , 1 ] c,d\in[-1,1] c , d ∈ [ − 1 , 1 ] ∣ c ∣ ≤ ∣ h ∣ |c|\leq|h| ∣ c ∣ ≤ ∣ h ∣ ∣ h ∣ M B |h|M_B ∣ h ∣ M B
∣ f ( h ) − f ( 0 ) h − f ′ ( 0 ) ∣ ≤ 2 ∣ h ∣ M B \left|\frac{f(h)-f(0)}h-f'(0)\right|\leq2|h|M_B h f ( h ) − f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) ≤ 2∣ h ∣ M B を得る。h k → 0 h_k\to0 h k → 0 k ≥ k 0 k\geq k_0 k ≥ k 0 0 < ∣ h k ∣ ≤ 1 0<|h_k|\leq1 0 < ∣ h k ∣ ≤ 1 k 0 ∈ N ≥ 1 k_0\in\NN k 0 ∈ N ≥ 1 k ≥ k 0 k\geq k_0 k ≥ k 0 p B ( T k − T ) ≤ 2 ∣ h k ∣ M B p_B(T_k-T)\leq2|h_k|M_B p B ( T k − T ) ≤ 2∣ h k ∣ M B p B ( T k − T ) → 0 p_B(T_k-T)\to0 p B ( T k − T ) → 0 B = ∅ B=\emptyset B = ∅ p B ( T k − T ) = 0 p_B(T_k-T)=0 p B ( T k − T ) = 0 定義 1.4 と§E12.16 命題 2.4 (6) により( T k ) (T_k) ( T k ) β ( E ′ , E ) \beta(E',E) β ( E ′ , E ) T T T ▨