§E12.37Grothendieck の完備性定理

証明.$\Phi\in H(E)$が零でなければ、$\Phi(f)\ne0$を満たす$f\in E'$が存在する。$f$の連続性により、$f\in U^\circ$を満たす零近傍$U$が存在し、$p_U(\Phi)\geq|\Phi(f)|>0$である。したがって半ノルムの族$(p_U)_U$は点を分離し、§E12.16 命題 2.4 (3)により$H(E)$は Hausdorff である。

$j_E$の線形性は評価の線形性から従い、単射性は§E12.27 命題 1.2 (2)による。任意の零近傍$U$に対し、半ノルム$p_U\circ j_E$は$U$上で$1$以下である。任意の$\varepsilon>0$について$(\varepsilon/2)U$上では$\varepsilon/2$以下であるから、この半ノルムは連続である。§E12.16 命題 2.4 (5)により$j_E$は連続である。

$W$を$E$の閉絶対凸零近傍とする。§E12.32 補題 1.1 (2)により

である。したがって$j_E(W)$は$j_E(E)$の零近傍を含む。§E12.32 補題 1.1 (1)により、閉絶対凸零近傍の全体は$E$の零近傍基をなすから、$j_E^{-1}\colon j_E(E)\to E$は連続である。▨

証明.$E'\times\mathbb K$と$E\times\mathbb K$の間に

で双線形写像を定める。§E12.27 命題 1.2 (2)により、この対は双対対である。$E'\times\mathbb K$上の弱位相は、$E'$の＊弱位相と$\mathbb K$の通常の位相の積位相に等しい。実際、積位相の座標写像$f\mapsto f(x)$と$t\mapsto t$はそれぞれ$(x,0)$と$(0,1)$による評価であり、一般の評価はこれらの和である。

集合

は、§E12.29 定理 3.1と$\Phi|_{U^\circ}$の連続性によりコンパクトである。$E'\times\mathbb K$の弱位相は Hausdorff であるから、$G$は閉集合である。$U^\circ$は絶対凸であり$\Phi$は線形であるから、$G$は$0$を含む絶対凸集合でもある。

$(0,\varepsilon)\notin G$であるから、双極定理§E12.28 定理 2.1により$(0,\varepsilon)\notin(G^\circ)_\circ$である。したがって、ある$(y,a)\in E\times\mathbb K$が

を満たす。$a\ne0$であるから$x=-a^{-1}y$とおくと、

である。▨

証明.$(\Phi_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を$H(E)$の Cauchy ネットとする。各$f\in E'$はある零近傍の極集合に属するから、$(\Phi_\lambda(f))_\lambda$は$\mathbb K$の Cauchy ネットである。$\mathbb K$の完備性により

が定まり、各点極限$\Phi$は線形である。

零近傍$U$と$\varepsilon>0$をとる。Cauchy 条件により、$\lambda,\mu\geq\lambda_0$ならば

となる$\lambda_0$が存在する。各$f\in U^\circ$について$\mu$の極限をとると、$\lambda\geq\lambda_0$に対して

を得る。したがって$\Phi_\lambda|_{U^\circ}$は$\Phi|_{U^\circ}$に一様収束する。この極限は＊弱連続である。実際、任意の$f_0\in U^\circ$と$\delta>0$に対し、一様誤差が$\delta/3$未満の$\Phi_\lambda$を固定し、$|\Phi_\lambda(f)-\Phi_\lambda(f_0)|<\delta/3$となる$f_0$の相対近傍をとれば、その近傍で$|\Phi(f)-\Phi(f_0)|<\delta$となる。

任意の同程度連続集合はある$U^\circ$に含まれるから、$\Phi\in H(E)$である。また、各零近傍$U$に対して$p_U(\Phi_\lambda-\Phi)\to0$であるから、§E12.16 補題 2.6により$\Phi_\lambda\to\Phi$である。§E2.53 命題 1.3 (3)により、$H(E)$は Cauchy フィルターによる完備性の定義を満たす。

$U_1,\ldots,U_m$を零近傍とし、$U=\bigcap_{i=1}^mU_i$とおくと、$U_i^\circ\subseteq U^\circ$であるから$p_{U_i}\leq p_U$である。補題 1.3により、任意の$\Phi\in H(E)$を有限個の半ノルム$p_{U_i}$について同時に近似することができる。したがって$j_E(E)$は$H(E)$で稠密である。命題 1.2と完備化の一意性§E12.16 定理 6.2 (2)により、線形同相写像$J$が一意に存在する。

$E$が完備ならば、$(E,\id_E)$も$E$の完備化であるから、完備化の一意性により$j_E$は全射である。逆に$j_E$が全射ならば、$E$は完備な$H(E)$と線形同相であるから完備である。表現する元$x$の一意性は$j_E$の単射性による。▨

証明.$N$は閉線形部分空間であり、零近傍の全体の共通部分に等しい。実際、$n\in\tpcl{\{0\}}$であることは、任意の零近傍$V$について$0\in n+V$となることと同値であり、$-V$も零近傍であることから後者の共通部分の記述を得る。加法とスカラー倍の連続性から$N$は線形部分空間である。

任意の開集合$O\subseteq E$は$O+N=O$を満たす。実際、$x\in O$に対し、$x+V+V\subseteq O$を満たす零近傍$V$をとると、$N\subseteq V$により$x+N\subseteq O$である。商写像を$q\colon E\to E/N$とすると、§E12.19 命題 1.2 (1)により$q(O)$は開集合であり、$q^{-1}(q(O))=O$である。したがって、ネット$(x_\lambda)$が Cauchy であることと$(q(x_\lambda))$が Cauchy であることは同値であり、$x_\lambda\to x$と$q(x_\lambda)\to q(x)$も同値である。$E/N$の任意のネットについて各項の代表元をとることができるので、§E2.53 命題 1.3 (3)により$E$と$E/N$の完備性は同値である。

すべての$f\in E'$は$N$上で零であり、§E12.19 命題 1.2 (3)により、$q$との合成は$(E/N)'$と$E'$の間の線形全単射を与える。この同一視の下で、評価$f(x)$は商の元$q(x)$による評価と一致するから、両双対の＊弱位相は一致する。さらに、$E$の零近傍$U$について$U^\circ$は$q(U)^\circ$に対応し、商の零近傍はそのような$q(U)$で尽くされる。§E12.29 命題 1.2により同程度連続集合も一致し、$H(E)=H(E/N)$が位相も含めて成り立つ。

§E12.19 命題 1.2 (4)と§E12.19 命題 1.2 (6)により$E/N$は Hausdorff 局所凸空間である。定理 2.1を$E/N$に適用すると、完備化の表示と全射性の特徴づけを得る。さらに$j_E=j_{E/N}\circ q$であり$j_{E/N}$は単射であるから、$\ker j_E=N$である。▨

証明.$(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を$E'_\beta$の Cauchy ネットとする。一点集合は有界であるから、各$x\in E$に対して$(f_\lambda(x))_\lambda$は$\mathbb K$の Cauchy ネットである。各点極限

は$E$上の線形汎関数を定める。

$B\subseteq E$を空でない有界集合とする。強位相の定義§E12.32 定義 1.4と Cauchy 条件により、$\lambda,\mu\geq\lambda_0$ならば

となる$\lambda_0$が存在する。$\lambda=\lambda_0$として各点で$\mu$の極限をとると、

を得る。最後の有限性は$f_{\lambda_0}$の連続性と$B$の有界性による。したがって、絶対凸集合$A=\{x\in E\mid |f(x)|\leq1\}$は$E$のすべての有界集合を吸収する。ボルノロジー性§E12.32 定義 5.1により$A$は零近傍であり、その正のスカラー倍を用いると$f$は連続である。ゆえに$f\in E'$である。

任意の$\varepsilon>0$に対し、十分大きい$\lambda,\mu$について$\sup_{x\in B}|f_\lambda(x)-f_\mu(x)|<\varepsilon/2$が成り立つので、各$x\in B$で$\mu$の極限をとると、十分大きい$\lambda$について

となる。$B$は任意の空でない有界集合であるから、$f_\lambda\to f$は強収束である。§E2.53 命題 1.3 (3)により$E'_\beta$は完備である。距離化可能な場合は§E12.32 定理 5.2による。▨

証明.(a)$\Rightarrow$(b)を示す。$C\subseteq\mathbb K$を閉集合とし、$A=\Phi^{-1}(C)$とおく。任意の零近傍$U\subseteq E$について、$A\cap U^\circ$は$U^\circ$の＊弱位相に関する閉部分集合である。§E12.29 定理 3.1により$U^\circ$は＊弱コンパクトであるから、$A\cap U^\circ$もコンパクトであり、Hausdorff 空間$(E',\sigma(E',E))$の閉集合である。§E12.33 補題 1.1により$A$は$\tau_{\mathrm{pc}}$閉集合である。$C$は任意の閉集合であるから$\Phi$は$\tau_{\mathrm{pc}}$連続である。

(b)$\Rightarrow$(a)は、同程度連続集合上での二つの位相の一致§E12.32 補題 3.1 (2)による。

(a)$\Leftrightarrow$(c)は、Fréchet 空間の完備性と定理 2.1による。▨