§E12.58Pettis 積分

例 1.3.§E10.18 例 8.1の三点測度空間で、値域を$\R$、非零の値を$1$とする。このとき、その写像は$\mu$-強可測であるが、恒等汎関数による評価は$\Sigma$-可測でない。したがって、$\mu$-強可測性から弱$\Sigma$-可測性は従わない。

$X=\{a,b\}$、$\Sigma=\{\emptyset,X\}$、$\mu(X)=1$とする。このとき、$F(a)=0$、$F(b)=1$で定まる実数値関数は可分値であるが、$F^{-1}((1/2,\infty))=\{b\}\notin\Sigma$である。可測零集合は空集合だけであるから、$F$は$\mu$-弱可測でなく、定理 1.2 (2)により$\mu$-強可測でもない。

例 1.4.$X=[0,1]$に Lebesgue 測度を入れ、$B=\mathcal F_b([0,1])$を上限ノルムをもつ実有界関数空間とする。このとき、$B$は§E2.5 定理 5.5により Banach 空間である。$F(t)=\mathbf1_{\{t\}}\in B$と定める。このとき、$F$は弱可測であるが、本質的に可分値でなく、強可測でもない。

実際、$\varphi\in B^*$と有限集合$E\subseteq[0,1]$に対して、$\varepsilon_t\varphi(F(t))=|\varphi(F(t))|$となる$\varepsilon_t\in\{-1,1\}$を選ぶと、

である。各$k\in\NN$について$\{t:|\varphi(F(t))|\geq1/k\}$は有限であるから、$\varphi F$の非零集合は高々可算である。したがって$\varphi F$は可測であり、ほとんど至る所で零である。

$t\ne s$ならば$\|F(t)-F(s)\|_\infty=1$である。可分な距離空間の中では、互いの距離が$1$である点の集合は高々可算である。実際、可算稠密集合の各点を中心とする半径$1/3$の球には、そのような点は高々一つしか入らない。可測零集合$N$の補集合$[0,1]\setminus N$は非可算であるから、$F([0,1]\setminus N)$は可分部分空間に含まれない。定理 1.2 (2)により$F$は強可測でない。

例 3.5.例 1.4の関数は強可測でないが、Pettis 可積分である。実際、任意のスカラー評価はほとんど至る所で零であるから、すべての可測集合$A$について$D_A=0=J_B0$であり、$\int_A^{\mathrm P}F\,d\mu=0$である。

例 4.3.$\NN$のすべての部分集合を可測とし、$\mu(\{n\})=n^{-2}$とする。このとき、実または複素の$c_0$は§E10.1 例 3.4により Banach 空間である。第$n$座標だけが$1$の数列を$e_n$とし、$F(n)=ne_n$と定める。このとき、有限個の点で$F$に一致し、その外で零となる単関数により、$F$は強可測である。$c_0^*=\ell^1$という同定§E12.34 定理 3.4の下で、$b=(b_n)\in\ell^1$に対して

である。$\mu(\NN)<\infty$であるから、定理 4.2を$p=2$に適用すると、$F$は Pettis 可積分である。任意の$A\subseteq\NN$について

である。実際、右辺の$\varphi_b$による評価は、絶対収束する級数$\sum_{n\in A}b_n/n$であり、$\varphi_bF$の積分に等しい。一方、$\int\|F\|\,d\mu=\sum_n1/n=\infty$であるから、$F$は Bochner 可積分でない。

例 4.4.例 4.3と同じ有限測度空間で$H(n)=n^2e_n\in c_0$と定める。このとき、$H$は強可測であり、任意の$b\in\ell^1=c_0^*$について

である。しかし、全空間上の Pettis 積分が$x\in c_0$であるならば、各座標評価により$x_n=1$となり、$x_n\to0$に反する。したがって、定理 4.2の指数条件を$p=1$に置き換えることはできない。

例 4.5.$\NN$に数え上げ測度$\kappa$を入れ、$F(n)=e_n\in c_0$とする。このとき、$F$は強可測であり、$b\in\ell^1=c_0^*$に対して

である§E12.34 補題 3.1 (4)。しかし、Pettis 積分の各座標は$1$でなければならず、$c_0$に属する積分値は存在しない。したがって、定理 4.2から測度の有限性を除くことはできない。

例 5.1.$[0,1]$に Lebesgue 測度を入れ、$F(t)=((t/2)^n)_{n\in\NN}\in c_0$とする。このとき、有限台で有理数成分をもつ数列は実$c_0$で稠密である。複素$c_0$では成分を$\Q+i\Q$にとればよい。したがって$c_0$は可分である。任意の$b\in\ell^1=c_0^*$に対して

は可測関数の極限であるから可測である。定理 1.2 (1)により$F$は強可測である。$\|F(t)\|_\infty=t/2$であるから、系 3.4により両積分が存在して一致する。座標評価を積分と交換すると、

を得る。

例 5.2.$\NN$に数え上げ測度$\kappa$を入れる。実または複素の有界数列$a=(a_n)$に対して$F_a(n)=a_ne_n\in c_0$と定める。このとき、$F_a$は強可測かつスカラー可積分である。$c_0^{**}=\ell^\infty$という同定の下で、任意の$A\subseteq\NN$について Dunford 積分は

である。さらに、$F_a$が Pettis 可積分であるための必要十分条件は$a\in c_0$であり、Bochner 可積分であるための必要十分条件は$a\in\ell^1$である。

実際、有限個の点で$F_a$に一致する単関数列は全点で$F_a$に収束する。$b\in\ell^1=c_0^*$について、$\sum_n|a_nb_n|\leq\|a\|_\infty\|b\|_1$である。§E12.34 補題 3.1 (4)により$D_A(b)=\sum_{n\in A}a_nb_n$であるから、§E12.34 系 3.3 (2)によって表示式を得る。$a\in c_0$ならばすべての$A$について$(a_n\mathbf1_A(n))_n\in c_0$である。逆に Pettis 可積分ならば、$A=\NN$として$a\in c_0$を得る。最後に、$\int\|F_a\|\,d\kappa=\sum_n|a_n|$と§E10.18 定理 2.4によって Bochner 可積分性の条件を得る。

$a_n=1$の場合には Dunford 積分が存在するが Pettis 積分は存在しない。一方、$a_n=1/n$の場合には Pettis 積分が存在するが Bochner 積分は存在しない。