§E12.57スペクトル定理 IV

証明.§E12.12 補題 3.6により、$B$は単射な正作用素であり、$I-B$も正作用素であり、$C=TB\in B(H,K)$である。§E12.8 定理 5.1により$Q$が存在し、$Q^2=B$である。$\ker Q=\ker B=\{0\}$であり、$Q=Q^*$と§E12.1 命題 1.4 (1)により$\im Q$は$H$で稠密である。

$h\in H$について$T^*TBh=(I-B)h$であるから、

である。したがって$Qh\mapsto Ch$は$\im Q$上の作用素ノルム$1$以下の線形写像であり、§E10.4 系 2.2によりノルム$1$以下の有界線形写像$Z\in B(H,K)$へ延長される。任意の$u\in H$に対して、$Qh_n\to u$を満たす点列$(h_n)$をとる。このとき$Bh_n\to Qu$、$TBh_n=ZQh_n\to Zu$である。$T$は閉作用素であるから、$Qu\in D(T)$かつ$TQu=Zu$である。

$h\in H$に対して$u=Qh$とおくと、$ZQh=Ch$と$Q^2=B$により

である。$\im Q$の稠密性と連続性により、$\|Qu\|^2+\|Zu\|^2=\|u\|^2$はすべての$u\in H$で成り立つ。§E12.1 補題 2.3 (3)により$Z^*Z=I-B$である。写像$u\mapsto(Qu,Zu)$は$H$から$H\times K$への等長写像であるから、その像は閉集合である。この像は$G(T)$に含まれ、すべての$h\in H$について

を含む。§E12.12 補題 3.6 (3)により、これらの点は$G(T)$で稠密である。したがって像は$G(T)$全体に等しく、$\im Q=D(T)$である。▨

証明.条件 (a)を仮定し、$D=D(T)=D(T^*)$とおく。§E12.1 補題 2.3 (1)を$D$上の半双線形形式に適用すると、

である。$y\in D$が$D(T^*T)$に属することは、$x\mapsto\langle Tx,Ty\rangle$が$D$上で$H$のノルムに関して有界であることと同値である。右辺の形式について同じ条件を課すと、§E12.12 命題 2.2 (1)と$T^{**}=T$により$y\in D(TT^*)$と同値になる。したがって二つの積の定義域は一致する。その定義域の元$y$と任意の$x\in D$に対して

であり、$D$の稠密性から$T^*Ty=TT^*y$である。

条件 (b)を仮定し、$B=(I+T^*T)^{-1}=(I+TT^*)^{-1}$、$Q=B^{1/2}$とおく。§E12.12 命題 2.2 (5)により$T^*$も稠密に定義された閉作用素であり、$T^{**}=T$である。補題 1.2を$T$と$T^*$に適用すると、

を得る。▨

証明.命題 1.3により$A=T^*T=TT^*$とおくことができる。$x\in D(T)$、$y=Bx$とすると、$y\in D(A)$、$Ty\in D(T^*)$、$T^*Ty=x-y\in D(T)$である。したがって$Ty\in D(TT^*)=D(A)$であり、

である。$B=(I+A)^{-1}$を適用すると$TBx=BTx$となる。$T^*$も正規であり、$I+(T^*)^*T^*=I+A$であるから、この計算を$T^*$に適用すると、$x\in D(T^*)$について$T^*Bx=BT^*x$を得る。

$H\ne\{0\}$のとき、§E2.32 補題 2.2により$[0,1]$上で平方根に一様収束する多項式列$(p_n)$をとる。$0\le B\le I$と§E12.1 命題 4.4 (1)により$\sigma(B)\subseteq[0,1]$であるから、§E12.55 定理 3.1 (1)と§E12.8 定理 5.1により$p_n(B)\to Q$が作用素ノルムについて成り立つ。$x\in D(T)$について$p_n(B)x\in D(T)$、$Tp_n(B)x=p_n(B)Tx$であるから、$T$の閉性により$Qx\in D(T)$かつ$TQx=QTx$である。$T^*$についても同じ多項式列を用いると、$x\in D(T^*)$について$T^*Qx=QT^*x$である。$H=\{0\}$ではこれらの等式は零写像の等式である。

補題 1.2を$T$と$T^*$に適用すると、$Z=TQ$と$W=T^*Q$はともに有界であり、$Z^*Z=W^*W=I-B$である。$x\in H$、$y\in D(T^*)$について

である。$D(T^*)$の稠密性と$Z,W$の有界性から$Z^*=W$である。したがって$ZZ^*=W^*W=I-B=Z^*Z$である。$\im Q=D(T)$と$TQ=Z$により$T=ZQ^{-1}$であり、$Q=(I-Z^*Z)^{1/2}$である。▨

証明.$H=\{0\}$ならば、$A\mapsto0$がただ一つの射影値測度であり、その座標関数の積分は$T=0$である。$H\ne\{0\}$とし、命題 2.1の$B,Q,Z$をとる。$K=\sigma(Z)$とおくと、§E12.55 定理 3.1 (1)と$\|Z\|\le1$により$K\subseteq\{w\in\C:|w|\le1\}$である。§E12.56 定理 1.1の$K$上のスペクトル測度を$F$とする。

$q(w)=(1-|w|^2)^{1/2}$（$w\in K$）とおく。§E12.56 定理 1.2 (1)により$B=I-Z^*Z=\Phi_F(q^2)$であり、§E12.55 定理 3.1 (2)と§E12.8 定理 5.1により$Q=\Phi_F(q)$である。§E12.15 命題 1.3 (3)を$q$に適用すると、

である。したがって単位円周の射影は零である。

$\mathbb D=\{w\in\C:|w|<1\}$とおき、$K\cap\mathbb D$上で$r(w)=q(w)^{-1}$、$h(w)=w/q(w)$と定め、$K\setminus\mathbb D$上で$r(w)=h(w)=0$と定める。これらは有限複素値 Borel 関数である。$F$に関して零の集合を除いて、

である。§E12.15 定理 1.2 (4)と§E12.7 命題 5.1 (4)により$\Phi_F(r)Q=I$であり、$Q\Phi_F(r)$は$D(\Phi_F(r))$上の恒等写像である。したがって

最後の等式は$r^2=1+|h|^2$と$F_{x,x}(K)=\|x\|^2$による。さらに$\Phi_F(h)Q=\Phi_F(w)=Z=TQ$であり、$Q$の像は$D(T)$と$D(\Phi_F(h))$に等しいから、$T=\Phi_F(h)$である。

§E12.7 命題 7.1 (1)により

は$\C$上の射影値測度である。§E12.7 命題 7.1 (3)により座標関数の積分は$T$に等しく、定義域と行列要素の式は§E12.7 命題 5.1による。

$G$を$\C$上の射影値測度で$T=\Phi_G(z)$を満たすものとする。§E12.15 定理 1.2 (1)と§E12.15 定理 1.2 (4)により

ここで$|z|^2\le1+|z|^4$により$D(\Phi_G(|z|^2))\subseteq D(T)$である。$b(z)=(1+|z|^2)^{-1}$とおく。§E12.15 定理 1.2 (3)と§E12.15 定理 1.2 (4)により$\Phi_G(b)$は$I+T^*T=\Phi_G(1+|z|^2)$の逆写像であるから、$B=\Phi_G(b)$である。§E12.7 定理 4.5 (2)により$\Phi_G(\sqrt b)=\Phi_G(b^{1/4})^*\Phi_G(b^{1/4})$は正作用素で、その二乗は$B$であるから、§E12.8 定理 5.1により$Q=\Phi_G(\sqrt b)$である。再び積の公式により

である。

$\beta\colon\C\to\mathbb D$は逆写像$w\mapsto w/\sqrt{1-|w|^2}$をもつ同相写像である。$G$を$\beta$で押し出して閉単位円板上の射影値測度$G_\beta$を得る。その座標関数の積分は$Z$である。§E12.15 命題 1.3 (1)により$G_\beta$は$K=\sigma(Z)$の外で零である。したがって$K$への制限は§E12.56 定理 1.1の一意性により$F$に等しい。任意の Borel 集合$A\subseteq\C$について、$\beta(A)$は閉単位円板の Borel 集合であり、

である。最後の等式では$F(K\setminus\mathbb D)=0$と$h|_{K\cap\mathbb D}=\beta^{-1}|_{K\cap\mathbb D}$を用いた。核の等式は§E12.15 命題 1.3 (3)を座標関数に適用して得る。▨

証明.$N$は全空間上で有界であるから閉作用素である。$N^*(x_1,x_2)=(0,x_1)$であり、$e_1=(1,0)$に対して$\|Ne_1\|=0$、$\|N^*e_1\|=1$である。一方、§E12.15 定理 1.2 (1)により、任意の射影値測度について座標関数の積分とその共役作用素のノルムは共通定義域上で一致する。したがって$N$はそのような積分として表されない。▨

証明.§E12.7 命題 5.1と§E12.15 定理 1.2を$E_T$に適用すると、定義域、行列要素、閉性、共役作用素、和と積についての主張を得る。特に$g(T)$とその共役作用素の定義域およびノルムは一致するから、$g(T)$は正規作用素である。

§E12.7 命題 7.1 (1)と§E12.7 命題 7.1 (3)により、$E_T$を$g$で押し出した射影値測度の座標関数の積分は$g(T)$である。定理 3.1の一意性により、この押し出しは$E_{g(T)}$に等しい。再び§E12.7 命題 7.1 (3)を$f$に適用すると、定義域を含む合成の等式を得る。▨

証明.$T=T^*$とする。§E12.15 定理 2.1 (1)の$\R$上のスペクトル測度を包含写像$\R\hookrightarrow\C$で押し出すと、§E12.7 命題 7.1 (3)により、その座標関数の積分は$T$に等しい。定理 3.1の一意性により、この押し出しは$E_T$である。したがって$E_T(\C\setminus\R)=0$であり、実軸上の測度は一致する。汎関数計算の一致も押し出しの積分公式による。

$H\ne\{0\}$かつ$T\in B(H)$とする。$F_T$を包含写像$\sigma(T)\hookrightarrow\C$で押し出すと、その座標関数の積分は$T$であるから、$T$のスペクトル測度の一意性により、この押し出しは$E_T$である。$g|_{\sigma(T)}$が有界であるとき、§E12.7 命題 7.1 (3)と§E12.7 命題 5.1 (3)により二つの汎関数計算は一致する。▨

証明.§E12.7 例 7.2 (1)の射影値測度$E(A)u=\mathbf1_Au$をとる。この命題の非有界な積分の公式により$M_z=\Phi_E(z)$であり、§E12.15 定理 1.2 (1)により$M_z$は閉正規作用素で$M_z^*=M_{\bar z}$である。定理 3.1の一意性から$E=E_{M_z}$である。$g(M_z)$の定義域と値も§E12.7 例 7.2 (1)による。積の公式から$M_z^*M_z=M_{|z|^2}$であり、$I+M_z^*M_z$の逆写像は$(1+|z|^2)^{-1}$による乗算である。平方根の一意性から$B^{1/2}$は$(1+|z|^2)^{-1/2}$による乗算であり、$Z=M_zB^{1/2}$の式を得る。

$n\in\NN$とし、$A_n=\{z:n<|z|<n+1\}$の指示関数を$H$のノルムが$1$になるように規格化したものを$u_n$とする。$0<m(A_n)<\infty$であり、$u_n\in D(M_z)$、$\|M_zu_n\|\ge n$であるから、$M_z$は非有界である。

任意の$\lambda\in\C$と$\delta>0$に対し、円板$D(\lambda,\delta)=\{z:|z-\lambda|<\delta\}$は正の有限面積をもつ。その指示関数は$E(D(\lambda,\delta))$の像に属する非零ベクトルである。したがって§E12.15 命題 1.3 (1)により、すべての$\lambda\in\C$は$\sigma(M_z)$に属する。一方、一点集合は面積零であるから$E(\{\lambda\})=0$であり、§E12.15 命題 1.3 (3)により$\ker(M_z-\lambda I)=\{0\}$である。▨