§E12.23強連続半群

証明. すべての$n\in\NN$について$\{\lVert T(t)\rVert:0\le t\le1/n\}$が上に有界でないと仮定する。各$n\in\NN$について、$0\le t_n\le1/n$かつ$\lVert T(t_n)\rVert\ge n$を満たす$t_n$をとる。$x\in X$とする。$t_n\to0$であるから、$T$の強連続性により$T(t_n)x\to x$であり、ある$N\in\NN$がすべての$n\ge N$について$\lVert T(t_n)x\rVert\le\lVert x\rVert+1$を満たす。$C_x=\max\{\lVert x\rVert+1,\lVert T(t_1)x\rVert,\dots,\lVert T(t_N)x\rVert\}$とおくと、すべての$n\in\NN$について$\lVert T(t_n)x\rVert\le C_x$である。§E12.20 系 3.1を族$(T(t_n))_{n\in\NN}$に適用すると、ある実数$C$がすべての$n\in\NN$について$\lVert T(t_n)\rVert\le C$を満たす。$n>C$を満たす$n\in\NN$について$\lVert T(t_n)\rVert\ge n>C$であり、これは$\lVert T(t_n)\rVert\le C$と両立しない。したがって、$\{\lVert T(t)\rVert:0\le t\le\delta\}$が上に有界であるような$\delta>0$が存在する。

$M=\max\bigl\{1,\sup_{0\le t\le\delta}\lVert T(t)\rVert\bigr\}$、$\omega=M/\delta$とおく。§E5.3 定義 1.3の級数の項はすべて非負であるから$e^{\omega\delta}=e^M\ge1+M\ge M$である。$t\ge0$とし、$n$を$t/\delta$以下の最大の非負整数とし、$r=t-n\delta$とおくと、$0\le r<\delta$である。$n$に関する帰納法により$T(t)=T(\delta)^nT(r)$であるから、§E10.2 命題 2.4により

である。ここで等号は§E5.3 命題 1.6による。最後の不等式は、$\omega(t-n\delta)\ge0$と§E5.3 定義 1.3の級数の項の非負性により$e^{\omega(t-n\delta)}\ge1$であることと、§E5.3 命題 1.6から従う。▨

証明.$x\in c_{00}$、$t\ge0$とする。$T(t)x$の第$2n-1$項と第$2n$項は$x_{2n-1},x_{2n}$だけで定まり、$x_{2n-1}=x_{2n}=0$ならば$0$であるから、$T(t)x\in c_{00}$であり、$T(t)\colon c_{00}\to c_{00}$は線形である。$T(0)x=x$である。$t,s\ge0$について、§E5.3 命題 1.6により

と$(T(t)T(s)x)_{2n}=e^{-n(t+s)}x_{2n}$が成り立つから、$T(t)T(s)=T(t+s)$である。

$t>0$とする。$\rho_n=\bigl(\lvert x_{2n-1}\rvert^2+\lvert x_{2n}\rvert^2\bigr)^{1/2}$とおくと、$\lvert x_{2n-1}+n^2t\,x_{2n}\rvert\le(1+n^2t)\rho_n$かつ$\lvert x_{2n}\rvert\le\rho_n$であるから

である。§E5.3 定義 1.3の級数の項はすべて非負であるから$e^{nt}\ge1$かつ$e^{nt}\ge(nt)^3/6$であり、§E5.3 命題 1.6により$e^{-nt}=1/e^{nt}$であるから、$e^{-nt}(2+n^2t)\le2+6/(nt^2)\le2+6/t^2$である。$n$について和をとると$\lVert T(t)x\rVert\le(2+6/t^2)\lVert x\rVert$であるから、$T(t)\in B(c_{00})$である。

$x\in c_{00}$とし、$k>2N$ならば$x_k=0$となる$N\in\NN$をとる。$n>N$ならば$T(t)x-x$の第$2n-1$項と第$2n$項は$0$である。$n\le N$ならば、§E5.3 命題 1.8により、これらの項は$t$の連続関数であって$t=0$で$0$をとる。$\lVert T(t)x-x\rVert^2$はこれら有限個の項の絶対値の二乗の和であるから、$t\downarrow0$のとき$\lVert T(t)x-x\rVert\to0$である。したがって$T$は$c_{00}$上の強連続半群である。

$M\ge1$、$\omega\ge0$を実数とし、$n\in\NN$を$n>eMe^\omega$を満たすようにとり、$t=1/n$とおく。$T(t)e_{2n}=e^{-1}(ne_{2n-1}+e_{2n})$であり、$\lVert e_{2n}\rVert=1$かつ$\lVert T(t)e_{2n}\rVert\ge n/e$である。$\omega(1-t)\ge0$と§E5.3 定義 1.3の級数の項の非負性により$e^{\omega(1-t)}\ge1$であり、§E5.3 命題 1.6により$e^\omega=e^{\omega t}e^{\omega(1-t)}\ge e^{\omega t}$であるから、$\lVert T(t)\rVert\ge n/e>Me^\omega\ge Me^{\omega t}$である。▨

証明.定理 1.3により、実数$M\ge1$と$\omega\ge0$がすべての$t\ge0$について$\lVert T(t)\rVert\le Me^{\omega t}$を満たす。$x\in X$、$t\ge0$とする。$h>0$について$T(t+h)x-T(t)x=T(t)(T(h)x-x)$であるから、$\lVert T(t+h)x-T(t)x\rVert\le Me^{\omega t}\lVert T(h)x-x\rVert$であり、右辺は$h\downarrow0$のとき$0$に収束する。$t>0$とし、$0<h\le t$とすると、$T(t-h)x-T(t)x=T(t-h)(x-T(h)x)$である。§E5.3 定義 1.3の級数の項の非負性により$e^{\omega h}\ge1$であり、§E5.3 命題 1.6により$e^{\omega t}=e^{\omega(t-h)}e^{\omega h}\ge e^{\omega(t-h)}$であるから$\lVert T(t-h)x-T(t)x\rVert\le Me^{\omega t}\lVert x-T(h)x\rVert$であって、右辺は$h\downarrow0$のとき$0$に収束する。▨

証明.主張 (1)を示す。実数$a$について、§E5.3 命題 1.7 (1)により$\lvert e^a\rvert=e^a$かつ$e^a\ne0$であるから$e^a>0$である。実数$u\ge0$について、§E5.3 定義 1.3の級数の項$u^n/n!$はすべて非負であるから$e^u\ge1+u\ge1$である。$a\le b$ならば、§E5.3 命題 1.6により$e^b=e^ae^{b-a}\ge e^a$である。$u\ge0$について、§E5.3 命題 1.6により$e^ue^{-u}=e^0=1$であるから、$e^{-u}=1/e^u\le(1+u)^{-1}$である。

主張 (2)を示す。$c=0$ならば$h^{-1}(e^{0}-1)=0$である。$c\ne0$とする。§E5.3 命題 1.8により$e^z$の$z=0$における微分係数は$e^0=1$であるから、$w\to0$（$w\ne0$）のとき$(e^w-1)/w\to1$である。$h>0$について$w=ch\ne0$であり、$h\downarrow0$のとき$w\to0$であるから、$h^{-1}(e^{ch}-1)=c\,(e^{ch}-1)/(ch)\to c$である。

主張 (3)を示す。$c\in\C$、$h>0$とし、$\kappa=\max\{\Re c,0\}$とおく。$s\in[0,h]$について$v(s)=e^{cs}$、$u(s)=ce^{cs}$とおく。§E5.3 命題 1.8により$v,u\colon[0,h]\to\C$は連続である。$s\in[0,h)$と$r>0$について、§E5.3 命題 1.6により

であり、主張 (2)により右辺は$r\downarrow0$のとき$0$に収束する。$\C$を複素数体上の Banach 空間とみなして§E10.18 補題 7.3 (3)を適用すると$e^{ch}-1=v(h)-v(0)=\int_0^hu(s)\,ds$であり、§E10.18 補題 7.3 (1)の評価により$\lvert e^{ch}-1\rvert\le h\sup_{0\le s\le h}\lvert c\rvert\lvert e^{cs}\rvert$である。$0\le s\le h$について、§E5.3 命題 1.7 (1)により$\lvert e^{cs}\rvert=e^{s\Re c}$であり、$s\Re c\le h\kappa$と主張 (1)により$e^{s\Re c}\le e^{h\kappa}$である。したがって$\lvert e^{ch}-1\rvert\le\lvert c\rvert he^{h\kappa}$である。▨

証明.$Z=X\times Y$にノルム$\lVert(x,y)\rVert=(\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2)^{1/2}$を入れる。$\max\{\lVert x\rVert,\lVert y\rVert\}\le\lVert(x,y)\rVert\le\lVert x\rVert+\lVert y\rVert$であるから、$Z$の Cauchy 列の各成分は Cauchy 列であって$X,Y$の完備性により収束し、もとの列はその極限の組に収束する。したがって$Z$は Banach 空間である。

$\Phi=(f,g)\colon\Omega\to Z$とおく。§E10.18 命題 1.3により、強$\Sigma$-可測な$f^\sharp\colon\Omega\to X$、$g^\sharp\colon\Omega\to Y$と、$\mu(N_1)=\mu(N_2)=0$を満たす$N_1,N_2\in\Sigma$が存在して、$\Omega\setminus N_1$上で$f=f^\sharp$、$\Omega\setminus N_2$上で$g=g^\sharp$となる。$N=N_1\cup N_2$とおくと$\mu(N)=0$である。$f^\sharp$と$g^\sharp$にすべての点でノルム収束する可測単関数列$(s_n)$、$(t_n)$をとる。$(s_n,t_n)$は有限個の値をとり、値$(b,c)$の逆像$s_n^{-1}(\{b\})\cap t_n^{-1}(\{c\})$は$\Sigma$に属するから、$Z$に値をとる可測単関数である。$\lVert(s_n,t_n)-(f^\sharp,g^\sharp)\rVert\le\lVert s_n-f^\sharp\rVert+\lVert t_n-g^\sharp\rVert$であるから、すべての点で$(s_n,t_n)\to(f^\sharp,g^\sharp)$であり、$(f^\sharp,g^\sharp)$は強$\Sigma$-可測である。$(f^\sharp,g^\sharp)$は$\Omega\setminus N$上で$\Phi$に一致するから、§E10.18 命題 1.3により$\Phi$は$\mu$-強可測であり、$(f^\sharp,g^\sharp)$は$\Phi$の強可測代表元である。$\lVert(f^\sharp,g^\sharp)\rVert\le\lVert f^\sharp\rVert+\lVert g^\sharp\rVert$と§E10.18 定理 2.4により$\int_\Omega\lVert\Phi\rVert\,d\mu\le\int_\Omega\lVert f\rVert\,d\mu+\int_\Omega\lVert g\rVert\,d\mu<\infty$であり、同じ定理により$\Phi$は Bochner 可積分である。射影$\pr_1\colon Z\to X$と$\pr_2\colon Z\to Y$はノルムが$1$以下の有界線形作用素であるから、§E10.18 命題 5.2により$\int_\Omega\Phi\,d\mu=\bigl(\int_\Omega f\,d\mu,\int_\Omega g\,d\mu\bigr)$である。

$\Gamma=G(A)$とおく。$A$は閉作用素であるから、$\Gamma$は$Z$の閉線形部分空間である。$z_0=\int_\Omega\Phi\,d\mu$とおき、$z_0\notin\Gamma$と仮定する。§E12.17 定理 5.1により、すべての$\gamma\in\Gamma$について$\varphi(\gamma)=0$を満たし、$\varphi(z_0)=1$を満たす$\varphi\in Z^*$が存在する。$\mathbb K$を$\mathbb K$上の Banach 空間とみなして§E10.18 命題 5.2を$\varphi$に適用すると、$\varphi\circ\Phi$は Bochner 可積分であり、$\int_\Omega\varphi\circ\Phi\,d\mu=\varphi(z_0)=1$である。一方、すべての$\omega\in\Omega_0$について$\Phi(\omega)=(f(\omega),Af(\omega))\in\Gamma$であるから$\varphi(\Phi(\omega))=0$であり、$\mu(\Omega\setminus\Omega_0)=0$であるから、$\varphi\circ\Phi$は$\mu$-ほとんど至る所で零写像に一致する。§E10.18 定義 4.2により Bochner 積分は$\mu$-a.e. の一致による同値類だけで定まり、§E10.18 命題 4.3により零写像の積分は$0$であるから、$\int_\Omega\varphi\circ\Phi\,d\mu=0$である。これは$\int_\Omega\varphi\circ\Phi\,d\mu=1$と両立しない。したがって$z_0\in\Gamma$である。すなわち、$\int_\Omega f\,d\mu\in D(A)$かつ$A\int_\Omega f\,d\mu=\int_\Omega g\,d\mu$である。▨

証明.定理 1.3により、実数$M\ge1$と$\omega\ge0$がすべての$t\ge0$について$\lVert T(t)\rVert\le Me^{\omega t}$を満たす。$x\in X$について、系 1.5により$s\mapsto T(s)x$は連続であり、§E10.18 補題 7.3 (1)により、すべての$t\ge0$について$\int_0^tT(s)x\,ds$が定まる。

主張 (1)を示す。$x\in X$、$t\ge0$とし、$r\ge0$について$U(r)=\int_0^rT(s)x\,ds$とおく。$h>0$とする。$T(h)T(s)=T(s+h)$であるから、§E10.18 命題 5.2、§E10.18 補題 7.3 (4)と§E10.18 補題 7.3 (1)の加法性により

であり、$U(0)=0$であるから

である。§E10.18 補題 7.3 (2)を$[0,t+1]$上の$s\mapsto T(s)x$に適用すると、右辺は$h\downarrow0$のとき$T(t)x-T(0)x=T(t)x-x$に収束する。したがって$U(t)\in D(A)$かつ$AU(t)=T(t)x-x$である。

主張 (2)を示す。$x\in X$とし、$h>0$について$y_h=h^{-1}\int_0^hT(s)x\,ds$とおく。主張 (1)により$y_h\in D(A)$である。§E10.18 補題 7.3 (2)を$[0,1]$上の$s\mapsto T(s)x$に$t=0$で適用すると、$h\downarrow0$のとき$y_h\to T(0)x=x$である。したがって$x$は$D(A)$の閉包に属する。

主張 (3)を示す。$x\in D(A)$、$t\ge0$とする。$h>0$について

であり、$T(t)$は連続であるから、右辺は$h\downarrow0$のとき$T(t)Ax$に収束する。したがって$T(t)x\in D(A)$かつ$AT(t)x=T(t)Ax$であり、$u$は$t$で右微分可能であって右微分係数は$T(t)Ax$である。系 1.5により、$u$と$t\mapsto T(t)Ax$は$[0,\infty)$上で連続である。$b>0$とし、$[0,b]$上の$u$と$t\mapsto T(t)Ax$に§E10.18 補題 7.4を適用すると、$u$は各$t\in(0,b)$で微分可能であり、$u'(t)=T(t)Ax$である。$b>0$は任意であるから、$u$は各$t>0$で微分可能である。

主張 (4)を示す。$x\in D(A)$とする。$t=0$ならば両辺は$0$である。$t>0$とすると、主張 (3)により、$[0,t]$上の連続写像$s\mapsto T(s)x$はすべての$s\in[0,t)$で右微分係数$T(s)Ax$をもち、$s\mapsto T(s)Ax$は連続である。§E10.18 補題 7.3 (3)により$T(t)x-T(0)x=\int_0^tT(s)Ax\,ds$である。

主張 (5)を示す。$D(A)$の点列$(x_n)$がノルムについて$x\in X$に収束し、$(Ax_n)$が$y\in X$に収束するとする。$h>0$とする。主張 (4)により$T(h)x_n-x_n=\int_0^hT(s)Ax_n\,ds$である。$0\le s\le h$について、補題 2.1 (1)により$\lVert T(s)\rVert\le Me^{\omega s}\le Me^{\omega h}$であるから、§E10.18 命題 4.3と§E10.18 補題 7.3 (1)の評価により

であるから、$n\to\infty$とすると$T(h)x-x=\int_0^hT(s)y\,ds$を得る。§E10.18 補題 7.3 (2)により、$h\downarrow0$のとき$h^{-1}(T(h)x-x)=h^{-1}\int_0^hT(s)y\,ds\to y$であるから、$x\in D(A)$かつ$Ax=y$である。§E12.12 補題 1.3 (1)により$A$は閉作用素である。▨

証明.$a=\Re\lambda-\omega$とおくと$a>0$である。$x\in X$と$t\ge0$について$v_x(t)=e^{-\lambda t}T(t)x$とおく。§E5.3 命題 1.8により$t\mapsto e^{-\lambda t}$は連続であり、系 1.5により$v_x$は連続である。§E5.3 命題 1.7 (1)により$\lvert e^{-\lambda t}\rvert=e^{-t\Re\lambda}$であり、§E5.3 命題 1.6により$e^{-t\Re\lambda}e^{\omega t}=e^{-at}$であるから、$\lVert v_x(t)\rVert\le M\lVert x\rVert e^{-at}$である。

$r\ge0$について$q(r)=(1-e^{-ar})/a$とおく。§E5.3 命題 1.8により$q$と$r\mapsto e^{-ar}$は連続である。$r\ge0$、$h>0$について、§E5.3 命題 1.6により$h^{-1}(q(r+h)-q(r))=-a^{-1}e^{-ar}h^{-1}(e^{-ah}-1)$であり、補題 2.1 (2)により、これは$h\downarrow0$のとき$e^{-ar}$に収束する。§E10.18 補題 7.3 (3)を$\mathbb K$に値をとる写像に適用すると、$r>0$について$\int_0^re^{-at}\,dt=q(r)-q(0)=(1-e^{-ar})/a$である。補題 2.1 (1)により$0<e^{-ar}\le(1+ar)^{-1}$であるから、$r\to\infty$のとき$(1-e^{-ar})/a\to1/a$である。§E10.18 命題 4.4によりこれらの積分は Lebesgue 積分に一致するから、§E10.11 定理 1.1により$\int_0^\infty e^{-at}\,dt=1/a$である。したがって$\int_0^\infty\lVert v_x(t)\rVert\,dt\le M\lVert x\rVert/a$であり、§E10.18 補題 7.3 (5)により$v_x$は$[0,\infty)$上で Bochner 可積分である。$Rx=\int_0^\infty v_x(t)\,dt$とおく。$x\mapsto v_x$は線形であるから、§E10.18 命題 4.3により$R\colon X\to X$は線形であり、§E10.18 補題 7.3 (5)の評価により$\lVert Rx\rVert\le M\lVert x\rVert/a$である。したがって$R\in B(X)$かつ$\lVert R\rVert\le M/a$である。

$x\in X$、$h>0$とし、$v=v_x$とおく。$r>0$について、§E10.18 命題 5.2、§E5.3 命題 1.6、§E10.18 補題 7.3 (4)と§E10.18 補題 7.3 (1)の加法性により

である。$r\to\infty$とすると、$T(h)$の連続性と§E10.18 補題 7.3 (5)により$T(h)Rx=e^{\lambda h}\bigl(Rx-\int_0^hv(t)\,dt\bigr)$を得るから、