§E12.38閉値域定理

最終更新

実または複素 Banach 空間の間の有界線形作用素について、その像を共役作用素の核から記述することは、作用素の全射性を調べるための基本的な方法である。しかし、共役作用素の核から直接得られるのは像のノルム位相に関する閉包であり、例えばℓ2\ell^2の数列の第nn成分をnnで割る作用素の像は、ノルム位相に関して稠密であっても全空間とは一致しない。そこで、像がノルム位相に関して閉じているための条件が問題となる。閉値域定理によって、作用素の像のノルム位相に関する閉性を共役作用素の像のノルム位相に関する閉性から判定することができ、全射性の検討にもこの判定を用いることができる。本記事では、閉値域定理とその基本的な帰結について解説する。

1 商双対と零化域

補題 1.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、XXをK\mathbb K上のノルム空間、MMをXXのノルム位相に関して閉じた線形部分空間とする。q ⁣:X→X/Mq\colon X\to X/Mを商写像とし、X/MX/Mに商ノルムを入れる。このとき、次の写像は線形等長同型である。

  1. q′ ⁣:(X/M)∗→M⊥q'\colon(X/M)^*\to M^\perp、q′φ=φ∘qq'\varphi=\varphi\circ q。
  2. ρ ⁣:X∗/M⊥→M∗\rho\colon X^*/M^\perp\to M^*、ρ(f+M⊥)=f∣M\rho(f+M^\perp)=f|_M。ここでX∗/M⊥X^*/M^\perpには商ノルムを入れる。

証明.§E12.19 命題 1.2 (3)により、q′q'は(X/M)∗(X/M)^*からM⊥M^\perpへの線形全単射である。§E12.19 命題 2.1 (1)により、qqはXXの開単位球をX/MX/Mの開単位球へ写すから、φ∈(X/M)∗\varphi\in(X/M)^*について

∥q′φ∥=sup⁡∥x∥<1∣φ(qx)∣=sup⁡∥z∥X/M<1∣φ(z)∣=∥φ∥\lVert q'\varphi\rVert =\sup_{\lVert x\rVert<1}|\varphi(qx)| =\sup_{\lVert z\rVert_{X/M}<1}|\varphi(z)| =\lVert\varphi\rVert

である。

制限写像r ⁣:X∗→M∗r\colon X^*\to M^*、r(f)=f∣Mr(f)=f|_Mは有界線形写像であり、ker⁡r=M⊥\ker r=M^\perpである。したがってM⊥M^\perpはノルム位相に関して閉じており、rrは線形単射ρ ⁣:X∗/M⊥→M∗\rho\colon X^*/M^\perp\to M^*を誘導する。§E12.17 系 4.1と§E12.17 系 4.2により、任意のh∈M∗h\in M^*は∥f∥=∥h∥\lVert f\rVert=\lVert h\rVertを満たすf∈X∗f\in X^*へ延長される。よってρ\rhoは全射であり、h=f∣Mh=f|_Mについて

∥h∥≤inf⁡g∈M⊥∥f+g∥≤∥h∥\lVert h\rVert \leq\inf_{g\in M^\perp}\lVert f+g\rVert \leq\lVert h\rVert

が成り立つので、ρ\rhoは等長である。▨

命題 1.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、X,YX,YをK\mathbb K上のノルム空間、T∈B(X,Y)T\in B(X,Y)とする。このとき、共役作用素T′ ⁣:Y∗→X∗T'\colon Y^*\to X^*について

(im⁡T)⊥=ker⁡T′,(im⁡T′)⊥=ker⁡T(\im T)^\perp=\ker T',\qquad (\im T')_\perp=\ker T

が成り立つ。また、YYのノルム位相とX∗X^*の＊弱位相σ(X∗,X)\sigma(X^*,X)に関する閉包は、それぞれ

im⁡T‾=(ker⁡T′)⊥,cl⁡σ(X∗,X)(im⁡T′)=(ker⁡T)⊥\tpcl{\im T}=(\ker T')_\perp,\qquad \tpcl[\sigma(X^*,X)]{\im T'}=(\ker T)^\perp

である。

証明.g∈Y∗g\in Y^*に対してT′g=g∘TT'g=g\circ Tであるから、T′g=0T'g=0はg∣im⁡T=0g|_{\im T}=0と同値である。また、x∈Xx\in Xについて

x∈(im⁡T′)⊥⟺すべての g∈Y∗ について g(Tx)=0⟺Tx=0x\in(\im T')_\perp \quad\Longleftrightarrow\quad \text{すべての }g\in Y^*\text{ について }g(Tx)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad Tx=0

であり、最後の同値は§E12.17 系 4.3による。二つの閉包の等式は、それぞれ§E12.28 系 3.1 (2)と§E12.28 系 3.1 (3)を適用して得られる。▨

2 閉値域の特徴づけ

補題 2.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、X,YX,YをK\mathbb K上の Banach 空間、T∈B(X,Y)T\in B(X,Y)とする。このとき、im⁡T\im TがYYのノルム位相に関して閉じているための必要十分条件は、ある実数C>0C>0が存在して、すべてのx∈Xx\in Xについて

dist⁡(x,ker⁡T)≤C∥Tx∥\operatorname{dist}(x,\ker T)\leq C\lVert Tx\rVert

が成り立つことである。

証明.N=ker⁡TN=\ker Tとし、q ⁣:X→X/Nq\colon X\to X/Nを商写像とする。NNはノルム位相に関して閉じているので、§E12.19 命題 2.1 (3)によりX/NX/Nは Banach 空間である。§E12.19 命題 1.2 (3)により、TTは有界線形全単射S ⁣:X/N→im⁡TS\colon X/N\to\im T、S(qx)=TxS(qx)=Txを誘導する。像に入れるノルムはYYのノルムの制限である。

im⁡T\im Tがノルム位相に関して閉じていれば、im⁡T\im Tは Banach 空間である。§E12.21 系 3.2によりS−1S^{-1}は有界であるから、ある実数C>0C>0が存在して、すべてのx∈Xx\in Xについて

dist⁡(x,N)=∥qx∥=∥S−1Tx∥≤C∥Tx∥\operatorname{dist}(x,N)=\lVert qx\rVert=\lVert S^{-1}Tx\rVert\leq C\lVert Tx\rVert

が成り立つ。

逆に、ある実数C>0C>0に対してすべてのx∈Xx\in Xがdist⁡(x,N)≤C∥Tx∥\operatorname{dist}(x,N)\leq C\lVert Tx\rVertを満たすと仮定し、yn=Txny_n=Tx_nがYYのノルムに関してyyへ収束するとする。∥qxn−qxm∥≤C∥yn−ym∥\lVert qx_n-qx_m\rVert\leq C\lVert y_n-y_m\rVertであるから、(qxn)(qx_n)はX/NX/Nの Cauchy 列であり、あるz∈X/Nz\in X/Nへノルム収束する。SSのノルム連続性からy=Sz∈im⁡Ty=Sz\in\im Tである。したがってim⁡T\im Tはノルム位相に関して閉じている。▨

定理 2.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、X,YX,YをK\mathbb K上の Banach 空間、T∈B(X,Y)T\in B(X,Y)とする。このとき、次の五条件は同値である。

  1. im⁡T\im TはYYのノルム位相に関して閉じている。
  2. im⁡T′\im T'はX∗X^*のノルム位相に関して閉じている。
  3. im⁡T′\im T'は＊弱位相σ(X∗,X)\sigma(X^*,X)に関して閉じている。
  4. im⁡T=(ker⁡T′)⊥\im T=(\ker T')_\perp。
  5. im⁡T′=(ker⁡T)⊥\im T'=(\ker T)^\perp。

証明.命題 1.2により、(1)⇔\Leftrightarrow(4)と(3)⇔\Leftrightarrow(5)が成り立つ。＊弱位相はノルム位相より弱いので、主張 (3)から主張 (2)が従う。

主張 (1)を仮定する。N=ker⁡TN=\ker Tとし、q ⁣:X→X/Nq\colon X\to X/NとS ⁣:X/N→im⁡TS\colon X/N\to\im TをS∘q=TS\circ q=Tを満たす写像とする。§E12.19 命題 2.1 (3)と§E12.21 系 3.2によりS−1S^{-1}は有界である。f∈N⊥f\in N^\perpをとると、補題 1.1 (1)によりf=φ∘qf=\varphi\circ qを満たすφ∈(X/N)∗\varphi\in(X/N)^*が存在する。h=φ∘S−1∈(im⁡T)∗h=\varphi\circ S^{-1}\in(\im T)^*を§E12.17 系 4.1と§E12.17 系 4.2によりg∈Y∗g\in Y^*へ延長すると、

T′g=g∘T=h∘S∘q=φ∘q=fT'g=g\circ T=h\circ S\circ q=\varphi\circ q=f

となる。逆の包含はT′gT'gがker⁡T\ker T上で消えることから従う。よって主張 (5)が成り立つ。

主張 (2)を仮定する。§E10.2 系 2.3によりX∗,Y∗X^*,Y^*は Banach 空間であるから、補題 2.1をT′T'に適用すると、ある実数C>0C>0が存在して

dist⁡(g,ker⁡T′)≤C∥T′g∥(g∈Y∗)\operatorname{dist}(g,\ker T')\leq C\lVert T'g\rVert\qquad(g\in Y^*)

が成り立つ。r>0r>0とし、BY∗,BX∗B_{Y^*},B_{X^*}をそれぞれの閉単位球とする。f∈im⁡T′f\in\im T'、∥f∥≤r\lVert f\rVert\leq rならば、この評価と商ノルムの定義により、T′g=fT'g=fかつ∥g∥≤2Cr\lVert g\rVert\leq2Crを満たすg∈Y∗g\in Y^*が存在する。したがって

im⁡T′∩rBX∗=T′(2CrBY∗)∩rBX∗\im T'\cap rB_{X^*} =T'(2CrB_{Y^*})\cap rB_{X^*}

である。§E12.27 命題 7.2 (5)によりT′T'は双対対の転置と一致し、σ(Y∗,Y)\sigma(Y^*,Y)からσ(X∗,X)\sigma(X^*,X)への連続写像である。§E12.29 系 4.3により2CrBY∗2CrB_{Y^*}は＊弱コンパクトであるから、§E2.19 定理 4.2により像T′(2CrBY∗)T'(2CrB_{Y^*})も＊弱コンパクトである。＊弱位相は Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4により、この像はσ(X∗,X)\sigma(X^*,X)に関して閉集合である。rBX∗rB_{X^*}も＊弱閉集合であるので、im⁡T′∩rBX∗\im T'\cap rB_{X^*}は＊弱閉集合である。線形部分空間im⁡T′\im T'は凸集合であり、§E12.33 系 2.3により＊弱閉集合である。これで主張 (3)は示された。

主張 (5)を仮定し、N=ker⁡TN=\ker Tとする。N⊥N^\perpはX∗X^*のノルム位相に関して閉じているので、補題 2.1をT′T'に適用すると、ある実数C>0C>0が存在して、任意のf∈N⊥f\in N^\perp、∥f∥≤1\lVert f\rVert\leq1に対し

T′g=f,∥g∥≤2CT'g=f,\qquad\lVert g\rVert\leq2C

を満たすg∈Y∗g\in Y^*が存在する。補題 1.1 (1)と、X/NX/Nに適用した§E12.17 系 4.4により、任意のx∈Xx\in Xについて

dist⁡(x,N)=sup⁡f∈N⊥∥f∥≤1∣f(x)∣≤2C∥Tx∥\operatorname{dist}(x,N) =\sup_{\substack{f\in N^\perp\\\lVert f\rVert\leq1}}|f(x)| \leq2C\lVert Tx\rVert

である。補題 2.1により主張 (1)が成り立つ。▨

系 2.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、X,YX,YをK\mathbb K上の Banach 空間、T∈B(X,Y)T\in B(X,Y)とする。このとき、次が成り立つ。

  1. TTが全射であるための必要十分条件は、ある実数c>0c>0が存在して、すべてのg∈Y∗g\in Y^*について∥T′g∥≥c∥g∥\lVert T'g\rVert\geq c\lVert g\rVertが成り立つことである。
  2. T′T'が全射であるための必要十分条件は、ある実数c>0c>0が存在して、すべてのx∈Xx\in Xについて∥Tx∥≥c∥x∥\lVert Tx\rVert\geq c\lVert x\rVertが成り立つことである。

証明.TTが全射ならば、命題 1.2によりker⁡T′={0}\ker T'=\{0\}であり、定理 2.2によりim⁡T′\im T'はノルム位相に関して閉じている。補題 2.1をT′T'に適用すると、主張 (1)の評価を得る。逆に、その評価が成り立つならばker⁡T′={0}\ker T'=\{0\}であり、補題 2.1によりim⁡T′\im T'はノルム位相に関して閉じている。定理 2.2によりim⁡T=(ker⁡T′)⊥=Y\im T=(\ker T')_\perp=Yである。

T′T'が全射ならば、命題 1.2によりker⁡T=(X∗)⊥={0}\ker T=(X^*)_\perp=\{0\}であり、定理 2.2によりim⁡T\im Tはノルム位相に関して閉じている。補題 2.1をTTに適用すると、主張 (2)の評価を得る。逆に、その評価が成り立つならばker⁡T={0}\ker T=\{0\}であり、同じ補題によりim⁡T\im Tはノルム位相に関して閉じている。定理 2.2によりim⁡T′=(ker⁡T)⊥=X∗\im T'=(\ker T)^\perp=X^*である。▨

3 Hilbert 空間の場合

系 3.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、H,KH,KをK\mathbb K上の Hilbert 空間、T∈B(H,K)T\in B(H,K)とする。Hilbert 空間の共役作用素をT∗ ⁣:K→HT^*\colon K\to Hとする。このとき、im⁡T\im Tがノルム位相に関して閉じていることは、im⁡T∗\im T^*がノルム位相に関して閉じているための必要十分条件である。この条件が成り立つとき

im⁡T=(ker⁡T∗)⊥,im⁡T∗=(ker⁡T)⊥\im T=(\ker T^*)^\perp,\qquad \im T^*=(\ker T)^\perp

である。また、像の閉性を仮定しなくても、直交直和分解

H=ker⁡T⊕im⁡T∗‾,K=ker⁡T∗⊕im⁡T‾H=\ker T\oplus\tpcl{\im T^*},\qquad K=\ker T^*\oplus\tpcl{\im T}

が成り立つ。ここで⊥\perpは Hilbert 空間内の直交補空間を表し、閉包はノルム位相についてとる。

証明.§E10.5 系 1.2により、RHy=⟨ ⋅ ,y⟩R_Hy=\langle\,\cdot\,,y\rangleとRKz=⟨ ⋅ ,z⟩R_Kz=\langle\,\cdot\,,z\rangleはそれぞれH→H∗H\to H^*とK→K∗K\to K^*の全単射かつ等長な写像であり、複素数体上では共役線形である。§E12.3 命題 3.1 (1)のT′RK=RHT∗T'R_K=R_HT^*から

im⁡T′=RH(im⁡T∗)\im T'=R_H(\im T^*)

を得る。RHR_Hはノルム位相について同相写像であるから、定理 2.2により二つの像の閉性は同値である。

§E12.1 命題 1.4 (2)と§E12.1 命題 1.4 (4)により、ノルム閉包について

im⁡T‾=(ker⁡T∗)⊥,im⁡T∗‾=(ker⁡T)⊥\tpcl{\im T}=(\ker T^*)^\perp,\qquad \tpcl{\im T^*}=(\ker T)^\perp

である。像が閉じていれば閉包を外すことができる。核はノルム位相に関して閉じた線形部分空間であるから、§E10.3 定理 2.2をker⁡T\ker Tとker⁡T∗\ker T^*に適用すると、二つの直交直和分解を得る。▨

4 像の閉性と完備性を外した例

例 4.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、T ⁣:ℓ2→ℓ2T\colon\ell^2\to\ell^2を

T(x1,x2,…)=(x1,x2/2,x3/3,…)T(x_1,x_2,\ldots)=(x_1,x_2/2,x_3/3,\ldots)

で定める。このとき、すべてのx∈ℓ2x\in\ell^2について∥Tx∥2≤∥x∥2\lVert Tx\rVert_2\leq\lVert x\rVert_2であり、像は

im⁡T={y∈ℓ2∣(nyn)n∈N≥1∈ℓ2}\im T=\{y\in\ell^2\mid(ny_n)_{n\in\NN}\in\ell^2\}

である。§E12.2 問題 9.3 (1)の解答により、TTは単射であり、像は有限個の成分だけが零でない数列をすべて含んでノルム稠密であるが、(1/n)n∈N≥1∈ℓ2(1/n)_{n\in\NN}\in\ell^2を含まない。したがって像は全空間でなく、ノルム位相に関して閉じていない。

標準単位ベクトルene_nについて∥en∥2=1\lVert e_n\rVert_2=1、∥Ten∥2=1/n\lVert Te_n\rVert_2=1/nであるから、TTは正の定数による下からの評価を満たさない。また、§E12.5 例 2.5によりT∗=TT^*=Tかつker⁡T∗={0}\ker T^*=\{0\}であるから、im⁡T≠(ker⁡T∗)⊥\im T\ne(\ker T^*)^\perpである。

例 4.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、有限個の成分だけが零でないK\mathbb K値数列の空間X=c00X=c_{00}にℓ2\ell^2のノルムを入れる。このとき、包含写像J ⁣:X→ℓ2J\colon X\to\ell^2は線形等長写像であり、その像はノルム位相に関して稠密である。数列(1/n)n∈N≥1(1/n)_{n\in\NN}の有限切断はXXの Cauchy 列であるが、そのℓ2\ell^2における極限はXXに属さない。したがってXXは完備でなく、im⁡J\im Jはℓ2\ell^2のノルム位相に関して閉じていない。

J′ ⁣:(ℓ2)∗→X∗J'\colon(\ell^2)^*\to X^*は制限写像である。§E12.17 系 4.1と§E12.17 系 4.2により、任意のh∈X∗h\in X^*はノルムを保ってℓ2\ell^2へ延長されるので、J′J'は全射である。XXはノルム稠密であるから、この延長は一意であり、J′J'は等長同型である。よってim⁡J′=X∗\im J'=X^*はノルム位相でも＊弱位相でも閉じている。定義域の完備性を外すと、定理 2.2の閉性の同値は成り立たない。

例 4.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、X=(ℓ1,∥⋅∥1)X=(\ell^1,\lVert\cdot\rVert_1)、Y=(ℓ1,∥⋅∥∞)Y=(\ell^1,\lVert\cdot\rVert_\infty)とする。恒等写像T ⁣:X→YT\colon X\to YをTx=xTx=xで定める。このとき、§E10.1 命題 3.2によりXXは Banach 空間であり、§E12.34 命題 3.2により∥Tx∥∞≤∥x∥1\lVert Tx\rVert_\infty\leq\lVert x\rVert_1であるから、TTは有界線形全射である。したがってim⁡T=Y\im T=YはYYのノルム位相に関して閉じている。

b=(1/n)n∈N≥1∈c0∖ℓ1b=(1/n)_{n\in\NN}\in c_0\setminus\ell^1とし、b(N)=(1,1/2,…,1/N,0,0,…)∈ℓ1b^{(N)}=(1,1/2,\ldots,1/N,0,0,\ldots)\in\ell^1とおく。∥b−b(N)∥∞=1/(N+1)\lVert b-b^{(N)}\rVert_\infty=1/(N+1)であるから、(b(N))(b^{(N)})はYYの Cauchy 列である。YYで極限をもつならば、各成分の極限からその極限はbbでなければならないが、b∉Yb\notin Yである。したがってYYは完備でない。

§E12.34 命題 3.2によりℓ1⊆c0\ell^1\subseteq c_0であり、任意のz∈c0z\in c_0の有限切断はℓ1\ell^1に属してzzへ上限ノルムで収束する。§E10.1 例 3.4によりc0c_0は Banach 空間であるから、c0c_0はYYの完備化である。§E10.4 系 2.2により、制限写像c0∗→Y∗c_0^*\to Y^*は線形等長同型である。したがって§E12.34 定理 3.4と§E12.34 系 3.3 (2)により、

ℓ1⟶Y∗,a⟼ψa,ψa(x)=∑n=1∞xnan,ℓ∞⟶X∗,a⟼φa,φa(x)=∑n=1∞xnan\begin{aligned} \ell^1&\longrightarrow Y^*,& a&\longmapsto\psi_a,& \psi_a(x)&=\sum_{n=1}^\infty x_na_n,\\ \ell^\infty&\longrightarrow X^*,& a&\longmapsto\varphi_a,& \varphi_a(x)&=\sum_{n=1}^\infty x_na_n \end{aligned}

は線形等長同型である。実数体の場合も複素数体の場合も、これらの式は複素共役をとらない双線形の対による表示である。a∈ℓ1a\in\ell^1とx∈Xx\in Xについて(T′ψa)(x)=ψa(Tx)=φa(x)(T'\psi_a)(x)=\psi_a(Tx)=\varphi_a(x)であるから、この同定のもとでT′T'は包含写像ℓ1→ℓ∞\ell^1\to\ell^\inftyである。

各b(N)b^{(N)}はℓ1\ell^1に属し、ℓ∞\ell^\inftyのノルムについてb∉ℓ1b\notin\ell^1へ収束するから、im⁡T′\im T'はX∗X^*のノルム位相に関して閉じていない。したがって、終域の完備性を外すと、定理 2.2の像の閉性から共役作用素の像の閉性を導く含意は成り立たない。

参考文献

  1. Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York, 2011.閉値域定理と共役作用素による全射性の判定を参考にした。

前提記事

13 本の記事・単元を表示