§E12.40位相的テンソル積

証明.§E3.3 定理 2.1により$x_1,\ldots,x_m$を$E$の基底へ拡張し、$f_j(x_i)=\delta_{ij}$を満たす線形汎関数$f_j\colon E\to\mathbb K$を基底上の値で定める。双線形写像$(x,y)\mapsto f_j(x)y$に§E3.11 定理 1.2を適用すると、$T_j(x\otimes y)=f_j(x)y$を満たす線形写像$T_j\colon E\otimes_{\mathrm{alg}}F\to F$が存在する。仮定の等式へ$T_j$を適用すると$y_j=0$である。▨

証明.$u,v$の有限表示を連結すると$u+v$の表示になるので、下限を取ると三角不等式を得る。$t\neq0$に対して$u$の表示の第一因子を$t$倍する操作は$tu$の表示との全単射を与えるから、$(p\otimes_\pi q)(tu)=|t|(p\otimes_\pi q)(u)$である。零元は$0\otimes0$と表示されるので、その値は零である。

§E12.17 系 3.2 (1)により、$|f|\le p$、$|g|\le q$、$f(x)=p(x)$、$g(y)=q(y)$を満たす$f\in E',g\in F'$を取る。§E3.11 定理 1.2により$f\otimes g$を$(f\otimes g)(a\otimes b)=f(a)g(b)$で定めると、任意の有限表示$x\otimes y=\sum_i a_i\otimes b_i$に対して

である。下限を取ると$p(x)q(y)\le(p\otimes_\pi q)(x\otimes y)$であり、逆向きの不等式は一項の表示から従う。▨

証明.$B$が連続であるとし、$r$を$G$上の連続な半ノルムとする。$B(0,0)=0$であるから、§E12.16 定理 2.9と§E12.16 命題 2.4 (1)により、$p(x)<1$、$q(y)<1$ならば$r(B(x,y))<1$となる連続な半ノルム$p,q$が存在する。$s>p(x)$、$t>q(y)$なる正数を取ると$r(B(x,y))<st$である。$s\downarrow p(x)$、$t\downarrow q(y)$とすれば所要の評価を得る。

逆に、半ノルム評価が成り立つとする。$(x_0,y_0)\in E\times F$と連続な半ノルム$r$を固定し、対応する$p,q$を取る。双線形性から

である。右辺は$(h,k)\to(0,0)$のとき零に収束する。有限個の$r$に対する零近傍の共通部分を取ることにより、$B$は$(x_0,y_0)$で連続である。▨

証明.$B$が連続であるとすると、補題 1.4の半ノルム$r,p,q$と任意の有限表示$u=\sum_i x_i\otimes y_i$について

である。下限を取ると$r(\widetilde B u)\le(p\otimes_\pi q)(u)$である。したがって$\widetilde B$は連続である。

$\tau(x,y)=x\otimes y$とおく。$E\otimes_\pi F$上の任意の連続半ノルム$r$は、§E12.16 命題 2.4 (4)により有限個の$p_i\otimes_\pi q_i$の最大値の定数倍以下である。$p=C\max_i p_i$、$q=\max_i q_i$と取れば、命題 1.3により$r(\tau(x,y))\le p(x)q(y)$である。補題 1.4により$\tau\colon E\times F\to E\otimes_\pi F$は連続である。$\widetilde B$が連続ならば$B=\widetilde B\circ\tau$も連続である。$\tau$を連続にする局所凸位相$\theta$を代数的テンソル積に入れ、第一段を$B=\tau\colon E\times F\to(E\otimes_{\mathrm{alg}}F,\theta)$に適用すると、恒等写像$E\otimes_\pi F\to(E\otimes_{\mathrm{alg}}F,\theta)$は連続である。

ノルム空間の場合、$\|B(x,y)\|\le\|B\|\|x\|\|y\|$を有限表示に適用して$\|\widetilde Bu\|\le\|B\|\pi(u)$を得る。逆に、命題 1.3により$\|B(x,y)\|\le\|\widetilde B\|\|x\|\|y\|$である。各連続半ノルムはノルムの定数倍以下であるから、$\pi$は射影的テンソル位相を定める。▨

証明.$f\in U_p^\circ,g\in U_q^\circ$と有限表示$u=\sum_i x_i\otimes y_i$について$|(f\otimes g)(u)|\le\sum_i p(x_i)q(y_i)$である。下限と上限を取ると$p\otimes_\varepsilon q\le p\otimes_\pi q$となる。したがって上限は有限であり、線形汎関数の絶対値の上限であるから半ノルムである。純テンソルに対して§E12.17 系 3.2 (1)の$f,g$を選ぶと下から$p(x)q(y)$で評価され、命題 1.3と合わせて等式を得る。

$E,F$が Hausdorff であり、$u\neq0$とする。有限表示の第一因子の線形包の基底を取れば、$u=\sum_{i=1}^m x_i\otimes y_i$を$x_i$が一次独立であるように書くことができる。補題 1.1により、この表示の係数$y_i$は一意であり、少なくとも一つの$y_j$は非零である。$M=\operatorname{span}\{x_1,\ldots,x_m\}$の座標汎関数$f_0(x_i)=\delta_{ij}$は§E12.16 系 4.3 (2)により連続である。§E12.17 定理 3.1 (2)により$f_0$は$f\in E'$へ延長され、§E12.17 系 3.2 (2)により$g(y_j)\neq0$を満たす$g\in F'$がある。したがって$(f\otimes g)(u)=g(y_j)\neq0$である。$p=|f|$、$q=|g|$とすると$(p\otimes_\varepsilon q)(u)>0$であるから、§E12.16 命題 2.4 (3)により二つの位相は Hausdorff である。▨

証明.$G/\ker r_n$にノルム$\|x+\ker r_n\|=r_n(x)$を入れ、§E10.4 定理 1.2による Banach 完備化を$G_n$とする。商写像と完備化への埋め込みの合成を$j_n\colon G\to G_n$と書く。$P=\prod_{n\ge1}G_n$に積位相を入れ、

とおく。$\|j_n(x)\|=r_n(x)$であり、$(r_n)$は点を分離するので$j$は単射である。この等式と積位相の零近傍の定義から、$j$は位相的埋め込みである。加法とスカラー倍の連続性により$\widehat G$は線形部分空間である。$\iota$を$j$の終域を$\widehat G$に制限した写像とすれば、その像は稠密である。

$P$上の半ノルム$s_n(z)=\max_{1\le k\le n}\|z_k\|$は点を分離し、積位相を定める。§E12.16 命題 5.12の距離

について Cauchy 列$(z^{(l)})_l$を取る。各座標列$(z^{(l)}_n)_l$は$G_n$の Cauchy 列である。$G_n$は完備であるから、各座標列は極限$z_n$をもつ。$z=(z_n)_n$とすると、各$n$について$s_n(z^{(l)}-z)\to0$である。級数の有限頭部と尾部に分けることにより$d(z^{(l)},z)\to0$である。$\widehat G$は閉集合であるから$d$の制限についても完備であり、局所凸であるので Fréchet 空間である。

$\xi\in\widehat G$に対して$\iota(x_k)\to\xi$となる列を取る。$G$上の連続半ノルム$p$について、§E12.16 命題 2.4 (4)により$p\le Cr_n$を満たす$C\ge0,n\in\NN$が存在する。したがって

である。この評価により、$\widehat p(\xi)=\lim_k p(x_k)$が定まる。別の近似列との差も$r_n$について零へ収束するので、この値は近似列によらない。三角不等式と斉次性を極限へ移すと$\widehat p$は半ノルムであり、$\widehat p(\xi)\le C\|\xi_n\|$であるから連続である。とくに$\widehat r_n(\xi)=\|\xi_n\|$であり、これらは$\widehat G$の部分空間位相を定める。連続な延長は稠密な像の上で値が定まるので一意である。

$T\colon G\to H$を連続線形写像とする。任意の連続半ノルム$q$に対して$q\circ T\le Cr_n$となる$C,n$があるので、$\iota(x_k)\to\xi$ならば$(Tx_k)$は$H$の Cauchy 列である。$H$の点列完備性と Hausdorff 性により

が一意に定まる。二つの近似列の差に同じ評価を適用すると極限は一致し、和とスカラー倍の極限を取ると$\widehat T$は線形である。さらに$q(\widehat T\xi)\le C\widehat r_n(\xi)$であるから$\widehat T$は連続であり、定数列から$\widehat T\iota=T$を得る。稠密性により延長は一意である。

前段を$T=j$に適用した延長を$A\colon\widehat G\to G_1$とする。$S\colon j(G)\to\widehat G$、$S(j(x))=\iota(x)$は連続である。$G_1$上の連続半ノルムの$j(G)$への制限は部分空間位相を定めるので、§E12.16 命題 2.4 (4)により、$\widehat G$上の各連続半ノルム$q$について$q(Sz)\le p(z)$（$z\in j(G)$）となる$G_1$上の連続半ノルム$p$がある。$G_1$の各点を$j(G)$の点列で近似し、この評価を使って前段の極限による延長の構成を適用すると、連続線形写像$D\colon G_1\to\widehat G$を得る。$DA$と恒等写像は$\iota(G)$上で一致し、$AD$と恒等写像は$j(G)$上で一致する。連続性と稠密性により$DA=\id_{\widehat G}$、$AD=\id_{G_1}$である。▨

証明.定理 1.5により、連続双線形写像$B$は$E\otimes_\pi F$上の連続線形写像$\widetilde B$と一対一に対応する。命題 3.1 (2)により、$\widetilde B$は完備化上の連続線形写像へ一意に延長される。二つの対応はいずれも線形である。▨

証明. 稠密性により、各$k\ge1$に対して

を満たす$v_k\in E\otimes_{\mathrm{alg}}F$を取る。$w_k=v_k-v_{k-1}$とおくと、$r_k(u-v_{k-1})<\delta_k/2$であるから$r_k(w_k)<3\delta_k/4$である。射影半ノルムの下限の定義により、主張の評価を満たす有限表示を選ぶことができる。固定した$n$について$k\ge n$ならば$r_n(u-v_k)<2^{-k}$である。したがって$v_0+\sum_{k=1}^Nw_k=v_N\to u$である。▨

証明.$E,F$の位相を定める増加半ノルム列$(p_k),(q_k)$を取り、$r_k=p_k\otimes_\pi q_k$の完備化への延長も$r_k$と書き、$\delta_k=2^{-k}k^{-2}$とおく。$r_1(u-v_0)<\delta_1/2$となる代数的テンソル$v_0$を選び、補題 4.1の有限表示$w_k=\sum_j a_{kj}\otimes b_{kj}$を取る。和は有限であり不等式は狭義であるから、正数$A_{kj}>p_k(a_{kj})$、$B_{kj}>q_k(b_{kj})$を

となるように取ることができる。各項について

とおく。すると$a_{kj}\otimes b_{kj}=\lambda_{kj}x_{kj}\otimes y_{kj}$であり、$p_k(x_{kj})<1/k$、$q_k(y_{kj})<1/k$、$\sum_j\lambda_{kj}<2^{-k}$である。

$v_0$の有限表示の各項に係数$1$を付け、その後に$k$の順で上の有限族を並べる。零項を補うことにより無限列としてよい。固定した$l$について$k\ge l$ならば$p_l(x_{kj})<1/k$、$q_l(y_{kj})<1/k$であり、各族は有限なので両因子の列は零に収束する。係数の絶対値の総和も有限である。

逆に、主張の条件を満たす列を取る。各連続半ノルム$p,q$に対して$M_p=\sup_n p(x_n)<\infty$、$M_q=\sup_n q(y_n)<\infty$であり、任意の$N<L$について

である。部分和は Cauchy 列であるから、完備化で収束する。前段で構成した列にもこの評価が適用される。その有限族の末尾における部分和は補題 4.1により$u$へ収束するので、級数の和は$u$である。▨

証明. 右辺の任意の表示に命題 1.3と三角不等式を適用し、部分和の極限を取ると$\pi(u)\le\sum_n\|x_n\|\|y_n\|$である。$\pi$は代数的テンソル積上でノルムであり、その一つの半ノルムが位相を定めるので、命題 3.1 (1)による延長もノルムである。

$\eta>0$を取り、$p_k=\|\cdot\|_E$、$q_k=\|\cdot\|_F$、$\delta_k=\eta2^{-k-2}$とおく。$\pi(u-v_0)<\eta/16$となる代数的テンソル$v_0$を取り、その有限表示を積ノルムの和が$\pi(v_0)+\eta/4$未満となるように選ぶ。補題 4.1の表示を続けると、すべての項の積ノルムの総和は

である。積ノルムの総和が有限なので、三角不等式により部分和は Cauchy 列である。有限族の末尾の部分和は$u$へ収束するから、級数の和も$u$である。$\eta>0$は任意であるから下限公式を得る。▨

証明.$a\in H'$が$\|a\|\le1$を満たすとし、$z=\sum_{i=1}^n\overline{a(e_i)}e_i$とおくと、

である。$b\in K'$に対しても同じ評価が成り立つから、Cauchy–Schwarz の不等式により$\varepsilon(u_n)\le1$である。$a(x)=\langle x,e_1\rangle$、$b(y)=\langle y,f_1\rangle$を取れば値は$1$である。§E12.9 補題 2.1により$e_i\otimes f_i$は正規直交系である。したがって$\sigma(u_n)^2=n$である。

有限和の表示から$\pi(u_n)\le n$である。§E10.3 定理 3.4により双線形形式

は$|B_n(x,y)|\le\|x\|\|y\|$を満たす。定理 1.5により$n=|\widetilde B_n(u_n)|\le\pi(u_n)$である。ノルムの比$\sigma(u_n)/\varepsilon(u_n)$、$\pi(u_n)/\sigma(u_n)$、$\pi(u_n)/\varepsilon(u_n)$はいずれも非有界である。したがって、三つのノルムの相互の同値性は成り立たない。▨

証明.$H$の標準正規直交列を$(e_i)$とし、$s_N=\sum_{i=1}^N2^{-i}e_i\otimes e_i$とおく。$M>N$に対して$\pi(s_M-s_N)\le\sum_{i>N}2^{-i}$であるから、$(s_N)$は Cauchy 列である。

$s_N$が代数的テンソル$u=\sum_{j=1}^m x_j\otimes y_j$へ射影的テンソル位相で収束すると仮定する。座標汎関数$a_i(x)=x_i$はノルム$1$をもち、$|a_i\otimes a_l|\le\pi$である。したがってすべての$i,l$について

$1\le i,l\le m+1$に制限した左辺の行列の階数は$m$以下である。一方、右辺は対角成分がすべて非零の対角行列であり、階数は$m+1$である。二つの階数は一致しないから、このような$u$は存在しない。▨