§E12.4Fredholm の交代定理

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有限次元の内積空間上の線形写像AAについては、方程式Ax=yAx=yが解をもつための条件をAAの共役の核との直交性で述べることができ、AAが単射であることと全射であることは同値である。無限次元の Hilbert 空間上の有界線形作用素については、これらの事実は一般には成り立たない。たとえば、右シフトは単射であるが全射でない。一方、恒等作用素の零でないスカラー倍からコンパクト作用素を引いた作用素については、これらの事実が成り立つ。コンパクト作用素に関する最も基本的な結果の一つである Fredholm の交代定理は、このことを述べる定理である。たとえばL2([0,1])L^2([0,1])上の積分方程式12f(x)−x∫01f(y) dy=g(x)\frac12f(x)-x\int_0^1f(y)\,dy=g(x)の可解性は、この定理によってggの積分が00であることに帰着される。本記事では、Hilbert 空間上のコンパクト作用素に対する Fredholm の交代定理を導入し、基本的な性質や代表的な例について解説する。

1 有限階数作用素の摂動

補題 1.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、G∈B(H)G\in B(H)を有限階数作用素とする。このときG∗G^*も有限階数作用素である。さらに、ker⁡(I−G)\ker(I-G)とker⁡(I−G∗)\ker(I-G^*)は有限次元であり、dim⁡ker⁡(I−G)=dim⁡ker⁡(I−G∗)\dim\ker(I-G)=\dim\ker(I-G^*)が成り立つ。

証明.M=im⁡GM=\im Gとおく。MMは有限次元であるから、§E10.1 系 2.4によりHHの閉線形部分空間である。y∈Hy\in Hをとる。§E10.3 定理 2.2により、y=m+ny=m+nを満たすm∈Mm\in Mとn∈M⊥n\in M^\perpが存在する。§E12.1 命題 1.4 (1)によりn∈ker⁡G∗n\in\ker G^*であるから、G∗y=G∗mG^*y=G^*mである。したがってim⁡G∗=G∗(M)\im G^*=G^*(M)であり、dim⁡im⁡G∗≤dim⁡M<∞\dim\im G^*\le\dim M<\inftyであるから、G∗G^*は有限階数作用素である。

N=im⁡G∗N=\im G^*、W=M+NW=M+Nとおく。WWはHHの有限次元線形部分空間であるから、§E10.1 系 2.3により、HHの内積を制限して Hilbert 空間である。G(W)⊆M⊆WG(W)\subseteq M\subseteq WかつG∗(W)⊆N⊆WG^*(W)\subseteq N\subseteq Wであるから、GGとG∗G^*のWWへの制限はWWからWWへの有界線形作用素G1,G2G_1,G_2を定める。すべてのx,y∈Wx,y\in Wについて⟨G1x,y⟩=⟨Gx,y⟩=⟨x,G∗y⟩=⟨x,G2y⟩\langle G_1x,y\rangle=\langle Gx,y\rangle=\langle x,G^*y\rangle=\langle x,G_2y\rangleであるから、Hilbert 空間WWにおける§E12.1 命題 1.2の一意性によりG1∗=G2G_1^*=G_2である。WWの恒等作用素をIWI_Wとし、L=IW−G1L=I_W-G_1とおくと、§E12.1 命題 1.3 (1)と§E12.1 命題 1.3 (5)によりL∗=IW−G2L^*=I_W-G_2である。

LLはI−GI-GのWWへの制限であるからker⁡L⊆ker⁡(I−G)\ker L\subseteq\ker(I-G)である。x∈ker⁡(I−G)x\in\ker(I-G)ならばx=Gx∈M⊆Wx=Gx\in M\subseteq Wであるから、x∈ker⁡Lx\in\ker Lである。したがってker⁡(I−G)=ker⁡L\ker(I-G)=\ker Lである。L∗L^*はI−G∗I-G^*のWWへの制限であり、y∈ker⁡(I−G∗)y\in\ker(I-G^*)ならばy=G∗y∈N⊆Wy=G^*y\in N\subseteq Wであるから、ker⁡(I−G∗)=ker⁡L∗\ker(I-G^*)=\ker L^*である。

R=im⁡LR=\im Lとおき、R⊥W={w∈W:すべての r∈R について ⟨w,r⟩=0}R^{\perp_W}=\{w\in W:\text{すべての }r\in R\text{ について }\langle w,r\rangle=0\}とする。§E12.1 命題 1.4 (1)を Hilbert 空間WW上のLLに適用するとker⁡L∗=R⊥W\ker L^*=R^{\perp_W}である。RRは有限次元であるから、§E10.1 系 2.4によりWWの閉線形部分空間であり、§E10.3 命題 2.4により、WWからRRへの直交射影PPはim⁡P=R\im P=Rとker⁡P=R⊥W\ker P=R^{\perp_W}を満たす線形写像である。§E3.9 定理 1.3をLLとPPに適用すると

dim⁡W=dim⁡ker⁡L+dim⁡R=dim⁡R⊥W+dim⁡R\dim W=\dim\ker L+\dim R=\dim R^{\perp_W}+\dim R

であり、dim⁡W\dim Wは有限であるからdim⁡ker⁡L=dim⁡R⊥W=dim⁡ker⁡L∗<∞\dim\ker L=\dim R^{\perp_W}=\dim\ker L^*<\inftyである。ker⁡(I−G)=ker⁡L\ker(I-G)=\ker Lとker⁡(I−G∗)=ker⁡L∗\ker(I-G^*)=\ker L^*により、主張を得る。▨

2 Fredholm の交代定理

定理 2.1 (Fredholm の交代定理).HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、K∈K(H)K\in\mathcal K(H)、λ∈K∖{0}\lambda\in\mathbb K\setminus\{0\}とする。

  1. ker⁡(λI−K)\ker(\lambda I-K)とker⁡(λ‾I−K∗)\ker(\overline\lambda I-K^*)は有限次元であり、dim⁡ker⁡(λI−K)=dim⁡ker⁡(λ‾I−K∗)\dim\ker(\lambda I-K)=\dim\ker(\overline\lambda I-K^*)が成り立つ。
  2. im⁡(λI−K)\im(\lambda I-K)とim⁡(λ‾I−K∗)\im(\overline\lambda I-K^*)はHHの閉線形部分空間であり、 im⁡(λI−K)=ker⁡(λ‾I−K∗)⊥,im⁡(λ‾I−K∗)=ker⁡(λI−K)⊥\im(\lambda I-K)=\ker(\overline\lambda I-K^*)^\perp,\qquad\im(\overline\lambda I-K^*)=\ker(\lambda I-K)^\perp が成り立つ。すなわち、y∈Hy\in Hについて、λx−Kx=y\lambda x-Kx=yを満たすx∈Hx\in Hが存在することは、K∗z=λ‾zK^*z=\overline\lambda zを満たすすべてのz∈Hz\in Hについて⟨y,z⟩=0\langle y,z\rangle=0が成り立つための必要十分条件である。
  3. λI−K\lambda I-Kが単射であることと、λI−K\lambda I-Kが全射であることは同値である。これらが成り立つとき、V(λI−K)=(λI−K)V=IV(\lambda I-K)=(\lambda I-K)V=Iを満たすV∈B(H)V\in B(H)が存在する。

証明.主張 (1)を示す。K1=λ−1KK_1=\lambda^{-1}Kとおく。§E12.2 命題 1.8 (1)によりK1∈K(H)K_1\in\mathcal K(H)であり、λI−K=λ(I−K1)\lambda I-K=\lambda(I-K_1)であるからker⁡(λI−K)=ker⁡(I−K1)\ker(\lambda I-K)=\ker(I-K_1)である。§E12.1 命題 1.3 (1)、§E12.1 命題 1.3 (2)、§E12.1 命題 1.3 (5)により

λ‾I−K∗=(λI−K)∗=(λ(I−K1))∗=λ‾(I−K1∗)\overline\lambda I-K^*=(\lambda I-K)^*=\bigl(\lambda(I-K_1)\bigr)^*=\overline\lambda(I-K_1^*)

であるから、ker⁡(λ‾I−K∗)=ker⁡(I−K1∗)\ker(\overline\lambda I-K^*)=\ker(I-K_1^*)である。

§E12.2 定理 8.1をX=HX=HとK1K_1に適用すると、∥K1−F∥<1\lVert K_1-F\rVert<1を満たす有限階数作用素F∈B(H)F\in B(H)が存在する。S=K1−FS=K_1-Fとおくと、§E12.1 補題 3.1により、V(I−S)=(I−S)V=IV(I-S)=(I-S)V=Iを満たすV∈B(H)V\in B(H)が存在する。G=VFG=VFとおくと、im⁡G=V(im⁡F)\im G=V(\im F)は有限次元であるからGGは有限階数作用素であり、

(I−S)(I−G)=I−S−(I−S)VF=I−S−F=I−K1(I-S)(I-G)=I-S-(I-S)VF=I-S-F=I-K_1

である。V(I−S)=IV(I-S)=IによりI−SI-Sは単射であるから、ker⁡(I−K1)=ker⁡(I−G)\ker(I-K_1)=\ker(I-G)である。

§E12.1 命題 1.3 (3)、§E12.1 命題 1.3 (1)、§E12.1 命題 1.3 (5)を等式(I−S)(I−G)=I−K1(I-S)(I-G)=I-K_1に適用するとI−K1∗=(I−G∗)(I−S)∗I-K_1^*=(I-G^*)(I-S)^*であり、§E12.1 命題 1.3 (7)により(I−S)∗V∗=V∗(I−S)∗=I(I-S)^*V^*=V^*(I-S)^*=Iである。y∈ker⁡(I−K1∗)y\in\ker(I-K_1^*)ならば(I−G∗)(I−S)∗y=0(I-G^*)(I-S)^*y=0であるから(I−S)∗y∈ker⁡(I−G∗)(I-S)^*y\in\ker(I-G^*)であり、w∈ker⁡(I−G∗)w\in\ker(I-G^*)ならば(I−K1∗)V∗w=(I−G∗)w=0(I-K_1^*)V^*w=(I-G^*)w=0であるからV∗w∈ker⁡(I−K1∗)V^*w\in\ker(I-K_1^*)である。したがって(I−S)∗(I-S)^*の制限はker⁡(I−K1∗)\ker(I-K_1^*)からker⁡(I−G∗)\ker(I-G^*)への線形同型であり、その逆写像はV∗V^*の制限である。ker⁡(λI−K)=ker⁡(I−K1)=ker⁡(I−G)\ker(\lambda I-K)=\ker(I-K_1)=\ker(I-G)であり、ker⁡(λ‾I−K∗)=ker⁡(I−K1∗)\ker(\overline\lambda I-K^*)=\ker(I-K_1^*)はker⁡(I−G∗)\ker(I-G^*)と線形同型であるから、補題 1.1をGGに適用すると

dim⁡ker⁡(λI−K)=dim⁡ker⁡(I−G)=dim⁡ker⁡(I−G∗)=dim⁡ker⁡(λ‾I−K∗)<∞\dim\ker(\lambda I-K)=\dim\ker(I-G)=\dim\ker(I-G^*)=\dim\ker(\overline\lambda I-K^*)<\infty

を得る。

主張 (2)を示す。§E12.2 命題 5.2 (2)をKKとλ≠0\lambda\ne0に適用すると、im⁡(λI−K)\im(\lambda I-K)は閉線形部分空間である。§E12.3 系 3.3によりK∗∈K(H)K^*\in\mathcal K(H)であり、§E12.2 命題 5.2 (2)をK∗K^*とλ‾≠0\overline\lambda\ne0に適用すると、im⁡(λ‾I−K∗)\im(\overline\lambda I-K^*)も閉線形部分空間である。T=λI−KT=\lambda I-Kとおくと、§E12.1 命題 1.3 (1)、§E12.1 命題 1.3 (2)、§E12.1 命題 1.3 (5)によりT∗=λ‾I−K∗T^*=\overline\lambda I-K^*である。§E12.1 命題 1.4 (2)と§E12.1 命題 1.4 (4)をTTに適用すると

im⁡T=im⁡T‾=(ker⁡T∗)⊥,im⁡T∗=im⁡T∗‾=(ker⁡T)⊥\im T=\tpcl{\im T}=(\ker T^*)^\perp,\qquad\im T^*=\tpcl{\im T^*}=(\ker T)^\perp

を得る。y∈(ker⁡T∗)⊥y\in(\ker T^*)^\perpであることは、K∗z=λ‾zK^*z=\overline\lambda zを満たすすべてのz∈Hz\in Hについて⟨y,z⟩=0\langle y,z\rangle=0であることにほかならない。

主張 (3)の単射性と全射性の同値は§E12.2 系 5.8により、有界な両側逆作用素の存在は§E12.2 補題 5.5により従う。▨

例 2.2.L2([0,1])L^2([0,1])を[0,1][0,1]上の Lebesgue 測度に関するK\mathbb K値のL2L^2空間とし、1\mathbf 1を定数関数11、u(x)=xu(x)=xとする。f∈L2([0,1])f\in L^2([0,1])に対して

Kf=⟨f,1⟩u,すなわち(Kf)(x)=x∫01f(y) dyKf=\langle f,\mathbf 1\rangle u,\qquad\text{すなわち}\qquad(Kf)(x)=x\int_0^1f(y)\,dy

と定める。§E3.33 定理 1.3により∥Kf∥≤∥f∥ ∥u∥\lVert Kf\rVert\le\lVert f\rVert\,\lVert u\rVertであり、im⁡K⊆{cu:c∈K}\im K\subseteq\{cu:c\in\mathbb K\}であるから、KKは有限階数作用素であり、§E12.2 命題 1.4によりK∈K(L2([0,1]))K\in\mathcal K(L^2([0,1]))である。f,g∈L2([0,1])f,g\in L^2([0,1])について⟨Kf,g⟩=⟨f,1⟩⟨u,g⟩=⟨f,⟨g,u⟩1⟩\langle Kf,g\rangle=\langle f,\mathbf 1\rangle\langle u,g\rangle=\langle f,\langle g,u\rangle\mathbf 1\rangleであるから、§E12.1 命題 1.2の一意性によりK∗g=⟨g,u⟩1K^*g=\langle g,u\rangle\mathbf 1である。⟨u,1⟩=⟨1,u⟩=1/2\langle u,\mathbf 1\rangle=\langle\mathbf 1,u\rangle=1/2であるから、Ku=u/2Ku=u/2かつK∗1=1/2K^*\mathbf 1=\mathbf 1/2である。

λ=1/2\lambda=1/2とする。Kf=f/2Kf=f/2ならばf=2⟨f,1⟩uf=2\langle f,\mathbf 1\rangle uであるから、ker⁡(λI−K)={cu:c∈K}\ker(\lambda I-K)=\{cu:c\in\mathbb K\}である。K∗g=g/2K^*g=g/2ならばg=2⟨g,u⟩1g=2\langle g,u\rangle\mathbf 1であるから、ker⁡(λ‾I−K∗)={c1:c∈K}\ker(\overline\lambda I-K^*)=\{c\mathbf 1:c\in\mathbb K\}である。定理 2.1 (2)により、g∈L2([0,1])g\in L^2([0,1])について、積分方程式

12f(x)−x∫01f(y) dy=g(x)\frac12f(x)-x\int_0^1f(y)\,dy=g(x)

が解f∈L2([0,1])f\in L^2([0,1])をもつことは、∫01g(y) dy=0\int_0^1g(y)\,dy=0が成り立つための必要十分条件である。∫01g(y) dy=0\int_0^1g(y)\,dy=0ならば、f=2gf=2gは12(2g)−⟨2g,1⟩u=g\frac12(2g)-\langle2g,\mathbf 1\rangle u=gを満たす解であり、二つの解の差はker⁡(λI−K)\ker(\lambda I-K)に属するから、解の全体は{2g+cu:c∈K}\{2g+cu:c\in\mathbb K\}である。

g0(x)=x−1/2g_0(x)=x-1/2とおく。∫01g0(y) dy=0\int_0^1g_0(y)\,dy=0であるからg0∈im⁡(λI−K)g_0\in\im(\lambda I-K)であるが、⟨g0,u⟩=∫01(x2−x/2) dx=1/12≠0\langle g_0,u\rangle=\int_0^1(x^2-x/2)\,dx=1/12\ne0であるからg0∉ker⁡(λI−K)⊥g_0\notin\ker(\lambda I-K)^\perpである。したがって、im⁡(λI−K)\im(\lambda I-K)はker⁡(λI−K)⊥\ker(\lambda I-K)^\perpと一致しない。

3 交代定理の仮定を外した例

例 3.1.定理 2.1からλ≠0\lambda\ne0の仮定を外すことはできない。ℓ2\ell^2をK\mathbb K値数列の Hilbert 空間、(en)n≥1(e_n)_{n\ge1}をその標準基底とし、SSとLLを§E12.1 例 2.9の右シフトと左シフト、DDを(Dx)n=xn/n(Dx)_n=x_n/n(n≥1)(n\ge1)で定まるℓ2\ell^2上の作用素とする。W=SDW=SD、すなわち

W(x1,x2,x3,… )=(0,x1,x22,x33,… )W(x_1,x_2,x_3,\dots)=\Bigl(0,x_1,\frac{x_2}2,\frac{x_3}3,\dots\Bigr)

とおく。1/n→01/n\to0であるから、§E12.2 命題 1.9によりDDはコンパクトであり、§E12.2 命題 1.5によりW∈K(ℓ2)W\in\mathcal K(\ell^2)である。§E12.1 例 2.8によりD∗=DD^*=Dであり、§E12.1 命題 1.3 (3)と§E12.1 例 2.9によりW∗=D∗S∗=DLW^*=D^*S^*=DLである。

§E12.1 例 2.9によりS∗S=IS^*S=Iであるから∥Wx∥=∥Dx∥\lVert Wx\rVert=\lVert Dx\rVertであり、DDは単射であるからker⁡W={0}\ker W=\{0\}である。DDは単射であるからker⁡W∗=ker⁡L={ce1:c∈K}\ker W^*=\ker L=\{ce_1:c\in\mathbb K\}である。したがって

dim⁡ker⁡(0I−W)=0≠1=dim⁡ker⁡(0I−W∗)\dim\ker(0I-W)=0\ne1=\dim\ker(0I-W^*)

であり、定理 2.1 (1)の等式はλ=0\lambda=0では成り立たない。すべてのx∈ℓ2x\in\ell^2について(Wx)1=0(Wx)_1=0であるからe1∉im⁡We_1\notin\im Wであり、WWは単射であるが全射でない。さらに、z=(0,1,1/2,1/3,… )z=(0,1,1/2,1/3,\dots)はℓ2\ell^2に属して⟨z,e1⟩=0\langle z,e_1\rangle=0を満たすからz∈(ker⁡W∗)⊥z\in(\ker W^*)^\perpであるが、Wx=zWx=zならばすべてのnnについてxn=1x_n=1となってx∉ℓ2x\notin\ell^2であるから、z∉im⁡Wz\notin\im Wである。したがって、定理 2.1 (2)と定理 2.1 (3)の結論もλ=0\lambda=0では成り立たない。

例 3.2.定理 2.1のKKのコンパクト性を有界性に弱めることはできない。ℓ2\ell^2を複素数値数列の Hilbert 空間とし、SSとLLを§E12.1 例 2.9の右シフトと左シフトとして、0<∣λ∣<10<\lvert\lambda\rvert<1を満たすλ∈C\lambda\in\Cをとる。§E12.1 例 5.1によりker⁡(λI−S)={0}\ker(\lambda I-S)=\{0\}である。§E12.1 例 2.9によりS∗=LS^*=Lであり、∣λ‾∣<1\lvert\overline\lambda\rvert<1であるから、§E12.1 命題 5.3のuλ‾u_{\overline\lambda}についてker⁡(λ‾I−S∗)={cuλ‾:c∈C}\ker(\overline\lambda I-S^*)=\{cu_{\overline\lambda}:c\in\C\}は11次元である。したがってdim⁡ker⁡(λI−S)=0≠1=dim⁡ker⁡(λ‾I−S∗)\dim\ker(\lambda I-S)=0\ne1=\dim\ker(\overline\lambda I-S^*)である。§E12.1 定理 5.4によりλ∈σr(S)\lambda\in\sigma_r(S)であるから、λI−S\lambda I-Sは単射であるが、値域がℓ2\ell^2で稠密でないので全射でない。SSについて定理 2.1 (1)と定理 2.1 (3)の結論が成り立たないから、定理 2.1によりSSはコンパクトでない。

4 演習

問題 4.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、K∈K(H)K\in\mathcal K(H)、λ∈K∖{0}\lambda\in\mathbb K\setminus\{0\}とする。

  1. すべてのn≥1n\ge1についてdim⁡ker⁡(λI−K)n=dim⁡ker⁡(λ‾I−K∗)n<∞\dim\ker(\lambda I-K)^n=\dim\ker(\overline\lambda I-K^*)^n<\inftyであることを示せ。
  2. KKのλ\lambdaにおける代数的重複度と、K∗K^*のλ‾\overline\lambdaにおける代数的重複度が等しいことを示せ。
解答.

(1)を示す。n≥1n\ge1とする。§E12.2 補題 5.3により、(λI−K)n=λnI−Kn(\lambda I-K)^n=\lambda^nI-K_nを満たすKn∈K(H)K_n\in\mathcal K(H)が存在する。§E12.1 命題 1.3 (3)をn−1n-1回用いると((λI−K)n)∗=((λI−K)∗)n\bigl((\lambda I-K)^n\bigr)^*=\bigl((\lambda I-K)^*\bigr)^nであり、§E12.1 命題 1.3 (1)、§E12.1 命題 1.3 (2)、§E12.1 命題 1.3 (5)により(λI−K)∗=λ‾I−K∗(\lambda I-K)^*=\overline\lambda I-K^*かつ(λnI−Kn)∗=λn‾I−Kn∗(\lambda^nI-K_n)^*=\overline{\lambda^n}I-K_n^*である。したがって(λ‾I−K∗)n=λn‾I−Kn∗(\overline\lambda I-K^*)^n=\overline{\lambda^n}I-K_n^*である。λn≠0\lambda^n\ne0であるから、定理 2.1 (1)をKnK_nとλn\lambda^nに適用すると

dim⁡ker⁡(λI−K)n=dim⁡ker⁡(λnI−Kn)=dim⁡ker⁡(λn‾I−Kn∗)=dim⁡ker⁡(λ‾I−K∗)n<∞\dim\ker(\lambda I-K)^n=\dim\ker(\lambda^nI-K_n)=\dim\ker(\overline{\lambda^n}I-K_n^*)=\dim\ker(\overline\lambda I-K^*)^n<\infty

を得る。

(2)を示す。§E12.3 系 3.3によりK∗∈K(H)K^*\in\mathcal K(H)であり、λ‾≠0\overline\lambda\ne0である。§E12.2 補題 5.7をKKとλ\lambdaに、またK∗K^*とλ‾\overline\lambdaに適用すると、すべてのk≥pk\ge pについてker⁡(λI−K)k=Eλ(K)\ker(\lambda I-K)^k=E_\lambda(K)を満たすp≥1p\ge1と、すべてのk≥p′k\ge p'についてker⁡(λ‾I−K∗)k=Eλ‾(K∗)\ker(\overline\lambda I-K^*)^k=E_{\overline\lambda}(K^*)を満たすp′≥1p'\ge1が存在する。q=max⁡{p,p′}q=\max\{p,p'\}とおくと、(1)により

dim⁡Eλ(K)=dim⁡ker⁡(λI−K)q=dim⁡ker⁡(λ‾I−K∗)q=dim⁡Eλ‾(K∗)\dim E_\lambda(K)=\dim\ker(\lambda I-K)^q=\dim\ker(\overline\lambda I-K^*)^q=\dim E_{\overline\lambda}(K^*)

であるから、二つの代数的重複度は等しい。▨

問題 4.2.L2([0,1])L^2([0,1])を[0,1][0,1]上の Lebesgue 測度に関する複素数値のL2L^2空間とし、f∈L2([0,1])f\in L^2([0,1])とx∈[0,1]x\in[0,1]に対して(Vf)(x)=∫0xf(y) dy(Vf)(x)=\int_0^xf(y)\,dyと定める。

  1. VVはコンパクト作用素であり、V∗g(y)=∫y1g(x) dxV^*g(y)=\int_y^1g(x)\,dxで与えられることを示せ。
  2. λ∈C∖{0}\lambda\in\C\setminus\{0\}ならばker⁡(λ‾I−V∗)={0}\ker(\overline\lambda I-V^*)=\{0\}であることを示せ。
  3. 定理 2.1を用いて、σ(V)={0}\sigma(V)=\{0\}であることを示せ。
解答.

(1)を示す。[0,1]2[0,1]^2上の可測関数k(x,y)=1{y≤x}k(x,y)=\mathbf 1_{\{y\le x\}}とk~(y,x)=k(x,y)\widetilde k(y,x)=k(x,y)をとる。両者の絶対値は11以下であるから二乗可積分であり、§E12.2 定理 2.3により、VVと

(Wg)(y)=∫01k~(y,x)g(x) dx=∫y1g(x) dx(Wg)(y)=\int_0^1\widetilde k(y,x)g(x)\,dx=\int_y^1g(x)\,dx

で定まるWWは有界線形作用素であり、VVはコンパクトである。

f,g∈L2([0,1])f,g\in L^2([0,1])とする。§E10.22 定理 4.2により∥f∥L1≤∥f∥L2\|f\|_{L^1}\le\|f\|_{L^2}、∥g∥L1≤∥g∥L2\|g\|_{L^1}\le\|g\|_{L^2}である。∣k(x,y)f(y)g(x)‾∣≤∣f(y)∣∣g(x)∣|k(x,y)f(y)\overline{g(x)}|\le|f(y)||g(x)|と§E10.19 定理 2.3により、この積は[0,1]2[0,1]^2上で絶対可積分である。§E10.19 定理 3.2により

⟨Vf,g⟩=∫01∫01k(x,y)f(y)g(x)‾ dy dx=∫01f(y)∫y1g(x) dx‾ dy=⟨f,Wg⟩\langle Vf,g\rangle =\int_0^1\int_0^1k(x,y)f(y)\overline{g(x)}\,dy\,dx =\int_0^1f(y)\overline{\int_y^1g(x)\,dx}\,dy =\langle f,Wg\rangle

であるから、§E12.1 命題 1.2の一意性によりV∗=WV^*=Wである。

(2)を示す。λ≠0\lambda\ne0とし、g∈L2([0,1])g\in L^2([0,1])がV∗g=λ‾gV^*g=\overline\lambda gを満たすとする。ggの代表元をとり、y∈[0,1]y\in[0,1]についてh(y)=λ‾−1∫y1g(x) dxh(y)=\overline\lambda^{-1}\int_y^1g(x)\,dxとおく。§E10.22 定理 4.2をp=q=2p=q=2として適用すると、0≤y≤y′≤10\le y\le y'\le1について

∣h(y)−h(y′)∣≤∣λ∣−1∫yy′∣g(x)∣ dx≤∣λ∣−1(y′−y)1/2∥g∥\lvert h(y)-h(y')\rvert\le\lvert\lambda\rvert^{-1}\int_y^{y'}\lvert g(x)\rvert\,dx\le\lvert\lambda\rvert^{-1}(y'-y)^{1/2}\lVert g\rVert

であるから、hhは[0,1][0,1]上の連続関数である。V∗g=λ‾gV^*g=\overline\lambda gによりhhはggとほとんど至る所で一致するから、すべてのy∈[0,1]y\in[0,1]についてh(y)=λ‾−1∫y1h(x) dxh(y)=\overline\lambda^{-1}\int_y^1h(x)\,dxである。§E2.9 定理 1.7によりC=max⁡{∣h(y)∣:y∈[0,1]}C=\max\{\lvert h(y)\rvert:y\in[0,1]\}が定まる。n=0n=0のとき、すべてのy∈[0,1]y\in[0,1]について

∣h(y)∣≤C(1−y)n∣λ∣nn!\lvert h(y)\rvert\le\frac{C(1-y)^n}{\lvert\lambda\rvert^nn!}

が成り立つことはCCの定義から従う。n∈N≥0n\in\Nとし、すべてのy∈[0,1]y\in[0,1]についてこの不等式が成り立つとする。このとき、y∈[0,1]y\in[0,1]について

∣h(y)∣≤∣λ∣−1∫y1∣h(x)∣ dx≤∣λ∣−1∫y1C(1−x)n∣λ∣nn! dx=C(1−y)n+1∣λ∣n+1(n+1)!\lvert h(y)\rvert\le\lvert\lambda\rvert^{-1}\int_y^1\lvert h(x)\rvert\,dx\le\lvert\lambda\rvert^{-1}\int_y^1\frac{C(1-x)^n}{\lvert\lambda\rvert^nn!}\,dx=\frac{C(1-y)^{n+1}}{\lvert\lambda\rvert^{n+1}(n+1)!}

であるから、n+1n+1の場合にも同じ不等式が成り立つ。nnについての帰納法により、この不等式はすべてのn∈N≥0n\in\Nについて成り立つ。a>0a>0についてan/n!→0a^n/n!\to0(n→∞)(n\to\infty)であるから、すべてのy∈[0,1]y\in[0,1]についてh(y)=0h(y)=0である。したがってggはほとんど至る所で00であり、L2([0,1])L^2([0,1])の元としてg=0g=0である。

(3)を示す。λ∈C∖{0}\lambda\in\C\setminus\{0\}とする。(1)と(2)により、定理 2.1 (2)をK=VK=Vに適用するとim⁡(λI−V)=ker⁡(λ‾I−V∗)⊥={0}⊥=L2([0,1])\im(\lambda I-V)=\ker(\overline\lambda I-V^*)^\perp=\{0\}^\perp=L^2([0,1])であり、λI−V\lambda I-Vは全射である。したがって定理 2.1 (3)により、R(λI−V)=(λI−V)R=IR(\lambda I-V)=(\lambda I-V)R=Iを満たすR∈B(L2([0,1]))R\in B(L^2([0,1]))が存在する。§E12.1 定義 3.2によりλ∈ρ(V)\lambda\in\rho(V)である。n≥1n\ge1について、区間[(j−1)/n,j/n)[(j-1)/n,j/n)(j=1,…,n)(j=1,\dots,n)の指示関数はL2([0,1])L^2([0,1])の一次独立なnn個の元であるから、L2([0,1])L^2([0,1])は無限次元の複素 Hilbert 空間である。§E12.2 命題 4.2により0∈σ(V)0\in\sigma(V)である。したがってσ(V)={0}\sigma(V)=\{0\}である。▨

参考文献

  1. Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York, 2011.コンパクト作用素に対する Fredholm の交代定理の扱いを参考にした。
  2. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1990.Hilbert 空間上のコンパクト作用素の可解条件の扱いを参考にした。

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