§E12.34関数空間の双対

証明.$C_q$は共役線形であり、定義 1.1によりすべての$g\in L^q(\mu;\mathbb K)$について$\lVert C_qg\rVert_q=\lVert g\rVert_q$である。$\overline{\overline g}=g$であるから$C_q(C_qg)=g$であり、$C_q$は等長な全単射である。§E10.30 定義 1.1により$T_q$は共役線形であるから、$\Phi^{(p)}=T_q\circ C_q$は線形であり、$C_q\circ C_q$が恒等写像であるから$T_q=\Phi^{(p)}\circ C_q$でもある。$C_q$は全単射であるから、$\Phi^{(p)}$が単射であることと$T_q$が単射であることは同値であり、$\Phi^{(p)}$が全射であることと$T_q$が全射であることは同値である。$T_q$が等長ならば、すべての$g$について$\lVert\Phi^{(p)}g\rVert=\lVert T_q(C_qg)\rVert=\lVert C_qg\rVert_q=\lVert g\rVert_q$であり、$\Phi^{(p)}$が等長ならば、すべての$h$について$\lVert T_qh\rVert=\lVert\Phi^{(p)}(C_qh)\rVert=\lVert C_qh\rVert_q=\lVert h\rVert_q$である。したがって、$\Phi^{(p)}$が等長であることと$T_q$が等長であることは同値である。

§E10.30 定理 4.2により、$1<p<\infty$のとき$T_q$は等長な全単射であるから、前段により主張 (1)が成り立つ。§E10.30 命題 1.3により、$T_\infty$が単射であるための必要十分条件は$\mu$が半有限であることであり、半有限な場合に$T_\infty$は等長であるから、前段により主張 (2)が成り立つ。§E10.30 定理 3.1により、$T_\infty$が全単射であるための必要十分条件は$\mu$が局所化可能であることであり、局所化可能な場合に$T_\infty$は等長であるから、前段により主張 (3)が成り立つ。▨

証明.$1<p<\infty$ならば、定理 1.3 (1)により結論が成り立つ。$p=1$とする。§E10.29 命題 2.4 (1)により$\mu$は厳密局所化可能であり、§E10.29 命題 2.4 (2)により局所化可能である。定理 1.3 (3)により、$\Phi^{(1)}$は線形な等長全単射である。▨

証明.§E10.29 例 4.2により、$\mu$は半有限であり、局所化可能でない。定理 1.3 (2)により$\Phi^{(1)}$は単射かつ等長であり、定理 1.3 (3)により$\Phi^{(1)}$は全単射でない。$\Phi^{(1)}$は単射であるから、全射でない。▨

証明.$q=p/(p-1)$とおくと$1<q<\infty$であり、$q$の共役指数は$p$である。定理 1.3 (1)を指数$p$と指数$q$に適用すると、$\Phi^{(p)}\colon L^q\to(L^p)^*$と$\Phi^{(q)}\colon L^p\to(L^q)^*$はともに線形な等長全単射である。$\Lambda\in(L^p)^{**}$とする。すべての$g\in L^q$について$\lvert\Lambda(\Phi^{(p)}g)\rvert\leq\lVert\Lambda\rVert\lVert\Phi^{(p)}g\rVert=\lVert\Lambda\rVert\lVert g\rVert_q$であるから、$\Lambda\circ\Phi^{(p)}$は$(L^q)^*$に属する。$\Phi^{(q)}$は全射であるから、$\Lambda\circ\Phi^{(p)}=\Phi^{(q)}f$を満たす$f\in L^p$が存在し、すべての$g\in L^q$について

である。$\varphi\in(L^p)^*$とすると、$\Phi^{(p)}$は全射であるから$\varphi=\Phi^{(p)}g$を満たす$g\in L^q$が存在し、

である。ゆえに$\Lambda=J_{L^p}f$である。$\Lambda\in(L^p)^{**}$は任意であるから、§E12.27 定義 4.1の標準写像$J_{L^p}$は全射であり、$L^p(\mu;\mathbb K)$は回帰的である。▨

証明.系 2.1を$\mu$に適用すればよい。▨

証明.主張 (1)を示す。$\NN$の任意の部分集合は$\mathcal P(\NN)$に属するから、任意の写像$x\colon\NN\to\mathbb K$は可測である。$A\subseteq\NN$が$\kappa(A)=0$を満たすならば$A$は有限集合で$\lvert A\rvert=0$であるから、$A=\emptyset$である。したがって、§E10.22 定義 1.1により$x\sim_\kappa y$であることと$x=y$であることは同値である。ゆえに、数列にその類を対応させる写像は単射であり、各類は代表元である数列の像であるから全射である。類の和とスカラー倍は代表元の和とスカラー倍の類であるから、この写像は線形である。

主張 (2)を示す。$x\colon\NN\to\mathbb K$とする。各点で$\lvert x\rvert^p=\sum_{n=1}^\infty\lvert x_n\rvert^p\mathbf 1_{\{n\}}$であり、非負単関数の積分により$\int_{\NN}\lvert x_n\rvert^p\mathbf 1_{\{n\}}\,d\kappa=\lvert x_n\rvert^p\kappa(\{n\})=\lvert x_n\rvert^p$であるから、§E10.11 系 1.5により

である。§E10.22 定義 2.3と§E10.1 定義 3.1により主張が従う。

主張 (3)を示す。$\kappa$の零集合は空集合だけであるから、$M\in[0,\infty)$について、$\lvert x\rvert\leq M$が$\kappa$に関してほとんど至る所で成り立つことと、すべての$n$について$\lvert x_n\rvert\leq M$が成り立つことは同値である。§E10.22 定義 2.1の下限は$\sup_n\lvert x_n\rvert$に等しく（$\{\lvert x_n\rvert\}$が非有界のときは両辺が$\infty$）、§E10.22 定義 2.3と§E10.1 例 3.4により主張が従う。

主張 (4)を示す。$x\in\ell^1$とし、$N\in\NN$について$f_N=\sum_{n=1}^Nx_n\mathbf 1_{\{n\}}$とおく。$\int_{\NN}\mathbf 1_{\{n\}}\,d\kappa=1$であるから、§E10.10 定理 2.3により$\int_{\NN}f_N\,d\kappa=\sum_{n=1}^Nx_n$である。各点で$f_N\to x$であり、$\lvert f_N\rvert\leq\lvert x\rvert$であって、主張 (2)により$\lvert x\rvert$は可積分である。§E10.11 定理 3.1により$\int_{\NN}\lvert f_N-x\rvert\,d\kappa\to0$であり、§E10.10 定理 2.3と§E10.10 補題 2.5により

である。ゆえに$\int_{\NN}x\,d\kappa=\sum_{n=1}^\infty x_n$である。▨

証明.$x\in\ell^p$とする。$x=0$ならば$x\in c_0$であり、三つのノルムはすべて$0$である。$x\neq0$とし、$y=\lVert x\rVert_p^{-1}x$とおく。各$n$について$\lvert y_n\rvert^p\leq\sum_{j=1}^\infty\lvert y_j\rvert^p=1$であるから$\lvert y_n\rvert\leq1$であり、$\lvert y_n\rvert^q\leq\lvert y_n\rvert^p$である。したがって$\sum_{n=1}^\infty\lvert y_n\rvert^q\leq1$であり、$y\in\ell^q$かつ$\lVert y\rVert_q\leq1$である。$x=\lVert x\rVert_py$であるから、$x\in\ell^q$かつ$\lVert x\rVert_q\leq\lVert x\rVert_p$である。$z\in\ell^q$とすると、級数$\sum_n\lvert z_n\rvert^q$が収束するから$\lvert z_n\rvert^q\to0$であり、$z\in c_0$である。各$n$について$\lvert z_n\rvert^q\leq\sum_{j=1}^\infty\lvert z_j\rvert^q$であるから、$\lVert z\rVert_\infty\leq\lVert z\rVert_q$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$\NN$に補題 3.1の数え上げ測度$\kappa$を入れ、$r\in[1,\infty]$について、$x\in\ell^r$にその類を対応させる写像を$\iota_r\colon\ell^r\to L^r(\kappa;\mathbb K)$と書く。補題 3.1 (1)、補題 3.1 (2)、補題 3.1 (3)により、$\iota_r$は線形な等長全単射である。

$a\in\ell^q$と$x\in\ell^p$をとる。§E10.22 定理 4.2により$xa$の類は$L^1(\kappa;\mathbb K)$に属するから、補題 3.1 (2)により$xa\in\ell^1$であり、級数$\sum_nx_na_n$は絶対収束する。補題 3.1 (4)により

である。$R\colon L^p(\kappa;\mathbb K)^*\to(\ell^p)^*$を$R(\varphi)=\varphi\circ\iota_p$で定めると、$R$は線形であり、$\psi\mapsto\psi\circ\iota_p^{-1}$を逆写像にもつから全単射である。$\iota_p$は$\ell^p$の閉単位球を$L^p(\kappa;\mathbb K)$の閉単位球の上へ写すから、$\lVert R(\varphi)\rVert=\lVert\varphi\rVert$である。前段により$\Phi_a=R\bigl(\Phi^{(p)}_\kappa(\iota_qa)\bigr)\in(\ell^p)^*$であり、$a\mapsto\Phi_a$は合成$R\circ\Phi^{(p)}_\kappa\circ\iota_q$に等しい。§E10.8 例 1.3により$\kappa$は σ-有限であるから、定理 1.4により$\Phi^{(p)}_\kappa$は線形な等長全単射である。ゆえに、三つの線形な等長全単射の合成である$a\mapsto\Phi_a$は線形な等長全単射である。

主張 (2)を示す。$p=1$のとき$q=\infty$であるから、主張は主張 (1)の$p=1$の場合である。▨

証明.$a\in\ell^1$と$x\in c_0$について$\lvert x_na_n\rvert\leq\lVert x\rVert_\infty\lvert a_n\rvert$であるから、級数$\sum_nx_na_n$は絶対収束し、$\lvert\Psi_a(x)\rvert\leq\lVert x\rVert_\infty\lVert a\rVert_1$である。$\Psi_a$は$x$について線形であるから、この評価により$\Psi_a\in c_0^*$かつ$\lVert\Psi_a\rVert\leq\lVert a\rVert_1$である。$\Psi_a(x)$は$a$についても線形であるから、写像$a\mapsto\Psi_a$は線形である。

$n\in\NN$について、第$n$成分だけが$1$であり他の成分が$0$である数列を$e_n\in c_0$とし、$c\in\mathbb K$について、$c\neq0$のとき$\operatorname{sgn}c=\overline c/\lvert c\rvert$、$c=0$のとき$\operatorname{sgn}c=0$とおく。$\varphi\in c_0^*$をとり、$b_n=\varphi(e_n)$とおく。$N\in\NN$について$u_N=\sum_{n=1}^N(\operatorname{sgn}b_n)e_n$とおくと、$u_N\in c_0$かつ$\lVert u_N\rVert_\infty\leq1$であり、

である。$N$は任意であるから、$b=(b_n)_{n\in\NN}\in\ell^1$かつ$\lVert b\rVert_1\leq\lVert\varphi\rVert$である。$x\in c_0$とすると、$x_n\to0$であるから

であり、$\varphi$の連続性と線形性により$\varphi(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nx_nb_n=\Psi_b(x)$である。ゆえに$\varphi=\Psi_b$であり、$a\mapsto\Psi_a$は全射である。

$a\in\ell^1$とし、前段を$\varphi=\Psi_a$に適用すると、$b_n=\Psi_a(e_n)=a_n$であるから$b=a$であり、$\lVert a\rVert_1\leq\lVert\Psi_a\rVert$である。第一段とあわせて$\lVert\Psi_a\rVert=\lVert a\rVert_1$であり、$a\mapsto\Psi_a$は等長であるから単射である。▨

証明.$L\colon\ell^\infty(\R)\to\R$を Banach 極限とし、$x\in\ell^\infty(\R)$とする。定義 4.1 条件 (c)と$k$についての帰納法により、すべての$k\in\NN$について$L(S^kx)=L(x)$である。$k\in\NN$について$m_k=\inf_{n>k}x_n$とおくと、$S^kx-m_k\mathbf 1$の第$n$成分は$x_{n+k}-m_k\geq0$であるから、定義 4.1 条件 (a)と定義 4.1 条件 (b)により

である。$(m_k)_{k\in\NN}$は上に有界な単調非減少列であり、その極限は$\liminf_nx_n$であるから、$\liminf_nx_n\leq L(x)$である。この結論を$-x$に適用すると$\liminf_n(-x_n)\leq L(-x)=-L(x)$であり、$L(x)\leq\limsup_nx_n$である。$x$が収束するならば$\liminf_nx_n=\limsup_nx_n=\lim_nx_n$であるから、$L(x)=\lim_nx_n$である。また$-\lVert x\rVert_\infty\leq\liminf_nx_n$かつ$\limsup_nx_n\leq\lVert x\rVert_\infty$であるから$\lvert L(x)\rvert\leq\lVert x\rVert_\infty$であり、$L\in\ell^\infty(\R)^*$かつ$\lVert L\rVert\leq1$である。$\lVert\mathbf 1\rVert_\infty=1=L(\mathbf 1)$であるから$\lVert L\rVert=1$である。

$x\in\ell^\infty(\R)$について

とおく。$\bigl\lvert\frac1N\sum_{k=1}^Nx_k\bigr\rvert\leq\lVert x\rVert_\infty$であるから、$p(x)$は実数である。有界な実数列$(\alpha_N)$,$(\beta_N)$と$M\in\NN$について$\sup_{N\geq M}(\alpha_N+\beta_N)\leq\sup_{N\geq M}\alpha_N+\sup_{N\geq M}\beta_N$であるから、$M\to\infty$として$\limsup_N(\alpha_N+\beta_N)\leq\limsup_N\alpha_N+\limsup_N\beta_N$であり、実数$t\geq0$について$\limsup_Nt\alpha_N=t\limsup_N\alpha_N$である。$x+y$の平均は$x$の平均と$y$の平均の和であるから、$p$は$\ell^\infty(\R)$上の劣線形汎関数である。$\ell^\infty(\R)$の部分空間$\{0\}$上の零写像は$0\leq p(0)=0$を満たすから、§E12.17 定理 1.3により、すべての$x$について$F(x)\leq p(x)$を満たす線形写像$F\colon\ell^\infty(\R)\to\R$が存在する。

すべての$n$について$x_n\geq0$ならば、$-x$の平均はすべて$0$以下であるから$F(-x)\leq p(-x)\leq0$であり、$F(x)\geq0$である。$F(\mathbf 1)\leq p(\mathbf 1)=1$かつ$-F(\mathbf 1)=F(-\mathbf 1)\leq p(-\mathbf 1)=-1$であるから、$F(\mathbf 1)=1$である。$x\in\ell^\infty(\R)$と$N\in\NN$について

であるから、$p(x-Sx)=p(Sx-x)=0$である。したがって$F(x)-F(Sx)\leq0$かつ$F(Sx)-F(x)\leq0$であり、$F(Sx)=F(x)$である。ゆえに$F$は定義 4.1 条件 (a)、定義 4.1 条件 (b)、定義 4.1 条件 (c)を満たし、Banach 極限である。▨

証明.$a\in\ell^1$と$x\in\ell^\infty$について$\lvert x_na_n\rvert\leq\lVert x\rVert_\infty\lvert a_n\rvert$であるから、級数は絶対収束し、$\lvert I(a)(x)\rvert\leq\lVert x\rVert_\infty\lVert a\rVert_1$である。$I(a)$は$x$について線形であるから、この評価により$I(a)\in(\ell^\infty)^*$かつ$\lVert I(a)\rVert\leq\lVert a\rVert_1$である。$I(a)(x)$は$a$についても線形であるから、$I$は線形である。$c_0$は$\ell^\infty$の部分空間であり、ノルムは$\ell^\infty$のノルムの制限であって、$I(a)$の$c_0$への制限は定理 3.4の$\Psi_a$である。したがって$\lVert I(a)\rVert\geq\lVert\Psi_a\rVert=\lVert a\rVert_1$であり、$I$は等長である。

定理 4.2により Banach 極限$L$が存在する。$\mathbb K=\R$のとき$\Lambda=L$とし、$\mathbb K=\C$のとき$\Lambda(x)=L(\Re x)+iL(\Im x)$とおく。$\mathbb K=\C$の場合、$\Lambda$は加法的であり、実数$t$について$\Lambda(tx)=t\Lambda(x)$であり、$\Lambda(ix)=L(-\Im x)+iL(\Re x)=i\Lambda(x)$であるから、$\Lambda$は複素線形である。定理 4.2 (3)によりすべての$y\in\ell^\infty(\R)$について$\lvert L(y)\rvert\leq\lVert y\rVert_\infty$であるから、$\lvert\Lambda(x)\rvert\leq\lvert L(\Re x)\rvert+\lvert L(\Im x)\rvert\leq2\lVert x\rVert_\infty$であり、いずれの場合も$\Lambda\in(\ell^\infty)^*$である。

$\Lambda=I(a)$を満たす$a\in\ell^1$が存在すると仮定する。$n\in\NN$について、第$n$成分だけが$1$であり他の成分が$0$である数列を$e_n$とする。$e_n$は$0$に収束する実数列であるから、定理 4.2 (2)により$a_n=I(a)(e_n)=\Lambda(e_n)=L(e_n)=0$である。したがって$a=0$であり、$\Lambda(\mathbf 1)=I(0)(\mathbf 1)=0$である。一方、定義 4.1 条件 (b)により$\Lambda(\mathbf 1)=L(\mathbf 1)=1$である。この二つは両立しないから、$\Lambda$は$I$の像に属さず、$I$は全射でない。▨