Mercer の定理 | 関数解析 I

命題 1.1. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X$ を空でないコンパクト Hausdorff 空間、 $\mu$ を $X$ 上の有限な非負 Borel 測度、 $K\colon X\times X\to\mathbb K$ を連続な正定値核とする。 $H_K$ を再生核 $K$ をもつ Hilbert 空間とし、 $k_x=K(\cdot,x)$ とおく。このとき、 $x\mapsto k_x$ は $X$ から $H_K$ のノルム位相への連続写像であり、 $H_K$ は可分である。また、 $H_K\subseteq C(X,\mathbb K)$ であり、すべての $f\in H_K$ について

\|f\|_\infty\le\|f\|_{H_K}\sup_{x\in X}K(x,x)^{1/2}

が成り立つ。

$H_K$ の任意の有限または可算の正規直交基底 $(u_j)_{j\in J}$ に対して、すべての $x,y\in X$ で

K(x,y)=\sum_{j\in J}u_j(x)\overline{u_j(y)}, \qquad K(x,x)=\sum_{j\in J}|u_j(x)|^2

が成り立ち、第一の級数は絶対収束する。零空間の基底は空族とし、その和は零とする。とくに、 $K$ は $\mathcal B(X)\otimes\mathcal B(X)$ に関して可測である。

写像

\iota\colon H_K\longrightarrow L^2(X,\mu;\mathbb K),\qquad f\longmapsto[f]

は有界線形な Hilbert–Schmidt 作用素であり、

\|\iota\|_{\mathrm{HS}}^2=\int_X K(x,x)\,d\mu(x)

を満たす。

証明. 再生性により、すべての $x,y\in X$ について

\|k_x-k_y\|_{H_K}^2 =K(x,x)+K(y,y)-2\Re K(x,y)

である。 $K$ の連続性から $x\mapsto k_x$ はノルム位相に関して連続である。したがって $f\in H_K$ に対して $f(x)=\langle f,k_x\rangle_{H_K}$ は連続であり、§E12.44 命題 1.3の評価から一様ノルムの不等式を得る。

§E2.19 定理 4.2により、像 $C=\{k_x:x\in X\}$ はノルム位相でコンパクトである。各 $m\in\NN$ に対して、中心が $C$ に属する半径 $1/m$ の有限個の開球で $C$ を覆い、その中心の集合を $D_m$ とする。 $D=\bigcup_{m\ge1}D_m$ は $C$ の可算稠密部分集合である。§E12.44 命題 1.3により $C$ の線形包は $H_K$ で稠密であるから、 $D$ の線形包も稠密である。 $X$ は空でないので $D$ も空でなく、必要なら元を繰り返して $D$ を点列 $(d_n)_{n\in\NN}$ として並べることができる。したがって§E12.35 補題 4.1により、 $D$ の閉線形包である $H_K$ はノルム位相に関して可分である。

§E12.7 命題 2.3により $H_K$ の正規直交基底が存在する。異なる基底ベクトルの距離は $\sqrt2$ であるから、それらを中心とする半径 $1/3$ の開球は互いに素である。各球は可算稠密部分集合の点を含むので、基底は高々可算である。 $(u_j)_{j\in J}$ をそのような基底とすると、§E12.7 補題 2.2 (3)を $k_y$ に適用し、連続な評価 $f\mapsto f(x)$ を施すことにより

K(x,y)=\sum_{j\in J}\langle k_y,u_j\rangle_{H_K}u_j(x) =\sum_{j\in J}u_j(x)\overline{u_j(y)}

を得る。§E12.7 補題 2.2 (4)を $k_x$ に適用すると $\sum_j|u_j(x)|^2=\|k_x\|_{H_K}^2=K(x,x)$ である。したがって Cauchy–Schwarz の不等式により

\sum_{j\in J}|u_j(x)\overline{u_j(y)}| \le K(x,x)^{1/2}K(y,y)^{1/2}<\infty.

各 $u_j$ は連続であるから、 $(x,y)\mapsto u_j(x)\overline{u_j(y)}$ は $\mathcal B(X)\otimes\mathcal B(X)$ に関して可測である。可算和の各点極限として $K$ もこの σ 加法族に関して可測である。

$\mu(X)<\infty$ と一様ノルムの評価から

\|\iota f\|_2\le\mu(X)^{1/2}\|f\|_\infty \le\mu(X)^{1/2}\sup_{x\in X}K(x,x)^{1/2}\|f\|_{H_K}

であり、 $\iota$ は有界線形写像である。§E10.11 定理 1.1を非負項級数 $\sum_j|u_j(x)|^2$ に適用すると

\sum_{j\in J}\|\iota u_j\|_2^2 =\int_X\sum_{j\in J}|u_j(x)|^2\,d\mu(x) =\int_XK(x,x)\,d\mu(x)<\infty.

最後の積分は、連続関数 $x\mapsto K(x,x)$ の有界性と測度の有限性により有限である。Hilbert–Schmidt ノルムの定義から結論を得る。▨

命題 1.2. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X$ を空でないコンパクト Hausdorff 空間、 $\mu$ を $X$ 上の有限な非負 Borel 測度、 $K\colon X\times X\to\mathbb K$ を連続な正定値核とする。 $\iota\colon H_K\to L^2(X,\mu;\mathbb K)$ を $h\mapsto[h]$ とする。このとき、 $\iota$ の共役作用素は、すべての $f\in L^2(X,\mu;\mathbb K)$ と $x\in X$ に対して

(\iota^*f)(x)=\int_XK(x,y)f(y)\,d\mu(y)

を満たす。右辺は $f$ の代表元によらず定まり、 $x$ の連続関数である。

$L^2(X,\mu;\mathbb K)$ 上の積分作用素を

T_Kf=\left[x\longmapsto\int_XK(x,y)f(y)\,d\mu(y)\right]

とすると、 $T_K=\iota\iota^*$ である。 $T_K$ は正の自己共役なトレース級作用素であり、コンパクトで Hilbert–Schmidt である。さらに

\operatorname{Tr}T_K=\int_XK(x,x)\,d\mu(x)

が成り立つ。

証明. $f\in L^2(X,\mu;\mathbb K)$ と $x\in X$ を取り、 $k_x=K(\cdot,x)$ とおく。再生性と共役作用素の等式により

(\iota^*f)(x) =\langle\iota^*f,k_x\rangle_{H_K} =\langle f,\iota k_x\rangle_{L^2} =\int_X f(y)\overline{K(y,x)}\,d\mu(y) =\int_XK(x,y)f(y)\,d\mu(y).

積分は Cauchy–Schwarz の不等式により絶対収束し、 $f$ の代表元を替えても変わらない。命題 1.1により $\iota^*f\in H_K\subseteq C(X,\mathbb K)$ である。したがって $T_K$ は $\iota\iota^*$ として定まる。

$f,g\in L^2(X,\mu;\mathbb K)$ に対して

\langle T_Kf,g\rangle=\langle\iota^*f,\iota^*g\rangle =\langle f,T_Kg\rangle, \qquad \langle T_Kf,f\rangle=\|\iota^*f\|_{H_K}^2\ge0

である。命題 1.1と§E12.11 定理 4.1 (2)により、 $T_K$ はトレース級であり、 $\operatorname{Tr}T_K=\|\iota\|_{\mathrm{HS}}^2=\int_XK(x,x)\,d\mu(x)$ である。また、§E12.10 定理 2.2 (5)により $T_K$ は Hilbert–Schmidt であり、§E12.10 定理 2.2 (4)によりコンパクトである。▨

補題 2.1. $X$ をコンパクト空間とし、 $f_n,f\colon X\to\R$ を連続関数とする。このとき、すべての $x\in X$ について $f_n(x)\le f_{n+1}(x)$ かつ $f_n(x)\to f(x)$ であるならば、 $f_n\to f$ は $X$ 上で一様収束する。単調減少列についても同じ結論が成り立つ。

証明. $X=\emptyset$ ならば一様収束の条件は空虚に成り立つので、 $X\ne\emptyset$ とする。 $g_n=f-f_n$ とおくと、各 $g_n$ は連続であり、 $g_n\ge g_{n+1}\ge0$ かつ $g_n(x)\to0$ である。 $\varepsilon>0$ に対して $U_n=\{x:g_n(x)<\varepsilon\}$ とおく。 $(U_n)$ は増加する開被覆であるから、コンパクト性により有限部分被覆をもつ。その添字の最大値を $N$ とすると、 $U_N=X$ である。したがって $n\ge N$ とすべての $x\in X$ に対して $0\le g_n(x)<\varepsilon$ であり、一様収束を得る。単調減少列には $-f_n\uparrow-f$ の場合を適用する。▨

定理 2.2 (Mercer の定理). $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X$ を空でないコンパクト Hausdorff 空間、 $\mu$ を $X$ 上の有限な非負 Borel 測度、 $K\colon X\times X\to\mathbb K$ を連続な正定値核とする。さらに、空でない任意の開集合 $U\subseteq X$ に対して $\mu(U)>0$ であるとする。この条件を $\mu$ が全台 (full support) をもつという。

$T_K=\iota\iota^*$ 、 $\iota\colon H_K\to L^2(X,\mu;\mathbb K)$ 、 $\iota h=[h]$ とする。 $T_K$ の正の固有値を重複度込みで非増加順に並べた族を $(\lambda_n)_{n\in I}$ とし、対応する正規直交固有関数を $(e_n)_{n\in I}$ とする。ここで $I$ は空集合、 $\{1,\ldots,r\}$ 、または $\NN$ であり、各固有空間の正規直交基底をすべて含める。

このとき、各 $e_n$ は連続な代表元

\widetilde e_n(x)=\lambda_n^{-1}(\iota^*e_n)(x) =\lambda_n^{-1}\int_XK(x,y)e_n(y)\,d\mu(y)

をただ一つもつ。また、すべての $x,y\in X$ について

K(x,y)=\sum_{n\in I}\lambda_n\widetilde e_n(x)\overline{\widetilde e_n(y)}, \qquad \sum_{n\in I}\lambda_n=\operatorname{Tr}T_K=\int_XK(x,x)\,d\mu(x)

が成り立つ。核の級数は絶対収束し、絶対値の級数も $X\times X$ 上で一様収束する。とくに、核の級数は $X\times X$ 上で一様収束する。

証明. $h\in C(X,\mathbb K)$ が $[h]=0$ を満たすとする。 $h(x_0)\ne0$ となる $x_0\in X$ が存在すれば、連続性により $x_0$ の開近傍 $U$ と $c>0$ が存在して $|h(x)|\ge c$ （ $x\in U$ ）となる。全台性から

\int_X|h|^2\,d\mu\ge c^2\mu(U)>0

となるが、 $[h]=0$ からこの積分は零である。したがって $h=0$ であり、連続な代表元は存在すれば一意である。とくに $\iota$ は単射である。

命題 1.2により $T_K$ は正のコンパクト自己共役作用素である。§E12.6 定理 4.1 (1)と§E12.6 定理 4.1 (3)により、主張の族 $(\lambda_n,e_n)_{n\in I}$ を取ることができる。 $T_Ke_n=\lambda_ne_n$ と因子分解から、 $\widetilde e_n=\lambda_n^{-1}\iota^*e_n\in H_K$ は $e_n$ の連続な代表元である。

$v_n=\lambda_n^{-1/2}\iota^*e_n=\sqrt{\lambda_n}\,\widetilde e_n\in H_K$ とおくと、

\langle v_n,v_m\rangle_{H_K} =\frac{\langle T_Ke_n,e_m\rangle_{L^2}}{\sqrt{\lambda_n\lambda_m}} =\delta_{nm}.

$h\in H_K$ がすべての $v_n$ と直交すると、 $\langle\iota h,e_n\rangle=\langle h,\iota^*e_n\rangle=0$ である。§E12.6 定理 4.1 (2)により $\iota h\in\ker T_K$ であるから

\|\iota^*\iota h\|_{H_K}^2 =\langle T_K\iota h,\iota h\rangle_{L^2}=0, \qquad \|\iota h\|_2^2=\langle h,\iota^*\iota h\rangle_{H_K}=0.

$\iota$ の単射性から $h=0$ であり、§E12.7 補題 2.2の同値性により $(v_n)_{n\in I}$ は $H_K$ の正規直交基底である。命題 1.1の基底による核表示を適用すると

K(x,y)=\sum_{n\in I}v_n(x)\overline{v_n(y)}, \qquad K(x,x)=\sum_{n\in I}|v_n(x)|^2

を得る。

$N\in\NN$ に対して

d_N(x)=K(x,x)-\sum_{\substack{n\in I\\n\le N}}|v_n(x)|^2 =\sum_{\substack{n\in I\\n>N}}|v_n(x)|^2

とおく。 $d_N$ は連続であり、各点で単調減少して零に収束する。補題 2.1により $\sup_{x\in X}d_N(x)\to0$ である。Cauchy–Schwarz の不等式により

\sum_{\substack{n\in I\\n>N}}|v_n(x)\overline{v_n(y)}| \le d_N(x)^{1/2}d_N(y)^{1/2} \le\sup_{z\in X}d_N(z).

したがって絶対値の級数の尾部は $X\times X$ 上で一様に零へ収束する。 $v_n=\sqrt{\lambda_n}\,\widetilde e_n$ を代入すると所要の核展開を得る。固有値の和は§E12.11 命題 6.1 (3)と命題 1.2によりトレースと対角線上の積分に等しい。▨

例 2.3. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X=[-1,1]$ に正規化 Lebesgue 測度 $d\mu(x)=dx/2$ を入れ、 $K(x,y)=1+xy$ とする。このとき、 $\mu$ は全台をもつ有限 Borel 測度であり、 $K$ は連続である。任意の有限族 $x_1,\ldots,x_m\in X$ と $c_1,\ldots,c_m\in\mathbb K$ に対して

\sum_{i,j=1}^m\overline{c_i}c_jK(x_i,x_j) =\left|\sum_{j=1}^mc_j\right|^2 +\left|\sum_{j=1}^mc_jx_j\right|^2\ge0

であるから、 $K$ は正定値核である。

$e_1(x)=1$ 、 $e_2(x)=\sqrt3\,x$ とおく。このとき、

\int_X1\,d\mu=1,\qquad \int_Xx\,d\mu=0,\qquad \int_Xx^2\,d\mu=\frac13

であるから、 $e_1,e_2$ は $L^2(X,\mu;\mathbb K)$ で正規直交する。命題 1.2により、すべての $f\in L^2(X,\mu;\mathbb K)$ について

T_Kf=\left[x\longmapsto\int_Xf(y)\,d\mu(y)+x\int_Xyf(y)\,d\mu(y)\right] =\langle f,e_1\rangle e_1+\frac13\langle f,e_2\rangle e_2.

したがって $T_Ke_1=e_1$ 、 $T_Ke_2=\frac13e_2$ であり、 $e_1,e_2$ に直交する関数に対して $T_Kf=0$ である。ゆえに $T_K$ の階数は $2$ であり、正の固有値は $\lambda_1=1$ と $\lambda_2=1/3$ である。定理 2.2の核展開とトレース公式は、それぞれ

K(x,y)=e_1(x)\overline{e_1(y)}+\frac13e_2(x)\overline{e_2(y)}=1+xy,

\operatorname{Tr}T_K=1+\frac13=\frac43 =\int_X(1+x^2)\,d\mu(x)

となる。

例 3.1. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X=[0,2]$ とする。 $\mu(A)=\lambda(A\cap[0,1])$ によって有限 Borel 測度を定める。ここで $\lambda$ は Lebesgue 測度である。 $\phi(x)=\max\{x-1,0\}$ とおき、

K(x,y)=1+\phi(x)\phi(y)

とする。このとき、 $K$ は連続であり、任意の有限族 $x_1,\ldots,x_m\in X$ と $c_1,\ldots,c_m\in\mathbb K$ に対して

\sum_{i,j=1}^m\overline{c_i}c_jK(x_i,x_j) =\left|\sum_{j=1}^mc_j\right|^2 +\left|\sum_{j=1}^mc_j\phi(x_j)\right|^2\ge0

であるから、 $K$ は正定値核である。しかし $\mu((1,2])=0$ であり、 $\mu$ は全台をもたない。

$\iota\colon H_K\to L^2(X,\mu;\mathbb K)$ 、 $\iota h=[h]$ とし、 $T_K=\iota\iota^*$ とおく。 $\phi=0$ が $\mu$ に関してほとんどいたるところで成り立つので、命題 1.2により

(\iota^*f)(x)=\int_{[0,1]}f(y)\,dy

である。したがって $T_K$ は定数関数への直交射影であり、正の固有値は $1$ だけで、その重複度は $1$ である。正規化した固有関数 $e=[1]$ から得る連続な代表元 $\widetilde e=\iota^*e$ は定数関数 $1$ である。固有関数から得る核の和は $\widetilde e(x)\overline{\widetilde e(y)}=1$ であるが、 $K(2,2)=2$ であり、 $X\times X$ 上の核表示は成り立たない。一方、 $\operatorname{Tr}T_K=1=\int_XK(x,x)\,d\mu(x)$ であり、トレース公式は保たれる。

例 3.2. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X=[0,1]$ に Lebesgue 測度 $\lambda$ を入れ、 $K(x,y)=\mathbf1_{\{x=y\}}$ とする。このとき、対角線は $X\times X$ の閉集合であり、その指示関数は $\mathcal B(X)\otimes\mathcal B(X)$ に関して可測である。実際、対角線は

\bigcap_{m\ge1}\{(x,y):|x-y|<1/m\}

であり、 $|x-y|$ は積 σ 加法族に関して可測である。任意の有限族 $x_1,\ldots,x_m\in X$ と $c_1,\ldots,c_m\in\mathbb K$ に対して、 $F=\{x_1,\ldots,x_m\}$ とおくと

\sum_{i,j=1}^m\overline{c_i}c_jK(x_i,x_j) =\sum_{a\in F}\left|\sum_{j:x_j=a}c_j\right|^2\ge0.

したがって $K$ は正定値核である。しかし $K(0,0)=1$ 、 $K(0,1/n)=0$ （ $n\ge1$ ）であるから、 $K$ は連続でない。

各 $x\in X$ に対して $\lambda(\{x\})=0$ であるから、すべての $f\in L^2(X,\lambda;\mathbb K)$ について

\int_XK(x,y)f(y)\,d\lambda(y)=0.

ゆえに積分作用素 $T_K$ は零作用素であり、 $\operatorname{Tr}T_K=0$ である。一方、 $\int_XK(x,x)\,d\lambda(x)=1$ である。 $\lambda$ は全台をもつが、連続性を外すとトレース公式は成り立たない。

§E12.45Mercer の定理

1 連続核と二乗可積分関数

2 固有関数による核展開

3 全台性と連続性の必要性

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