§E12.11トレース級作用素

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Hilbert 空間上の作用素に対して、完全正規直交系に関する対角成分の和を定めることを考える。しかし、Hilbert–Schmidt 作用素であっても、対角成分の族が総和可能であるかどうかは完全正規直交系の選び方による場合がある。特異値の和が有限であるコンパクト作用素をトレース級作用素といい、トレース級作用素の対角成分の和は完全正規直交系の選び方によらない。この和をトレースといい、トレース級作用素は無限次元の Hilbert 空間でトレースを扱うための基本的な作用素のクラスである。例えば、ℓ2\ell^2上でD(xn)=(xn/n)D(x_n)=(x_n/n)と定めた対角作用素は Hilbert–Schmidt 作用素であるがトレース級作用素ではなく、二つのクラスの違いを示している。本記事では、トレース級作用素の定義と、トレースおよびトレースノルムの基本的な性質について解説する。

1 特異値による定義

定義 1.1.H1,H2H_1,H_2をK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、T∈K(H1,H2)T\in\mathcal K(H_1,H_2)とする。(sk(T))k∈N≥1, k≤p(s_k(T))_{k\in\NN,\,k\le p}を§E12.6 定義 7.1のTTの特異値の列とし、

∥T∥1=∑k≤psk(T)∈[0,∞]\|T\|_1=\sum_{k\le p}s_k(T)\in[0,\infty]

と定める（p=0p=0のとき∥T∥1=0\|T\|_1=0である）。∥T∥1\|T\|_1をTTの トレースノルム (trace norm) という。∥T∥1<∞\|T\|_1<\inftyであるとき、TTを トレース級作用素 (trace class operator) といい、その全体をS1(H1,H2)\mathcal S_1(H_1,H_2)と書く。S1(H)=S1(H,H)\mathcal S_1(H)=\mathcal S_1(H,H)とおく。

2 トレースノルムの特徴づけ

補題 2.1.H1,H2H_1,H_2をK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、JJを集合とする。H1H_1の元の族(aj)j∈J(a_j)_{j\in J}とH2H_2の元の族(bj)j∈J(b_j)_{j\in J}がM=∑j∈J∥aj∥∥bj∥<∞M=\sum_{j\in J}\|a_j\|\|b_j\|<\inftyを満たすとする。このとき、すべてのx∈H1x\in H_1について族(⟨x,aj⟩bj)j∈J(\langle x,a_j\rangle b_j)_{j\in J}は総和可能である。Tx=∑j∈J⟨x,aj⟩bjTx=\sum_{j\in J}\langle x,a_j\rangle b_jとおく。このとき、次が成り立つ。

  1. TTはH1H_1からH2H_2へのコンパクト作用素であり、∥T∥≤M\|T\|\le Mを満たす。
  2. すべての集合AAと、H1H_1の正規直交系(uα)α∈A(u_\alpha)_{\alpha\in A}、H2H_2の正規直交系(vα)α∈A(v_\alpha)_{\alpha\in A}について、∑α∈A∣⟨Tuα,vα⟩∣≤M\sum_{\alpha\in A}|\langle Tu_\alpha,v_\alpha\rangle|\le Mが成り立つ。

証明.x∈H1x\in H_1とする。j∈Jj\in Jについて∥⟨x,aj⟩bj∥≤∥x∥∥aj∥∥bj∥\|\langle x,a_j\rangle b_j\|\le\|x\|\|a_j\|\|b_j\|であるから、∑j∈J∥⟨x,aj⟩bj∥≤M∥x∥<∞\sum_{j\in J}\|\langle x,a_j\rangle b_j\|\le M\|x\|<\inftyである。H2H_2は Banach 空間であるから、§E12.7 補題 1.4により族(⟨x,aj⟩bj)j∈J(\langle x,a_j\rangle b_j)_{j\in J}は総和可能であり、∥Tx∥≤M∥x∥\|Tx\|\le M\|x\|を満たす。

主張 (1)を示す。§E12.7 補題 1.3 (1)によりTTは線形であり、前段によりT∈B(H1,H2)T\in B(H_1,H_2)かつ∥T∥≤M\|T\|\le Mである。JJの有限部分集合FFについてTFx=∑j∈F⟨x,aj⟩bjT_Fx=\sum_{j\in F}\langle x,a_j\rangle b_jとおく。TFT_Fの値域はbjb_j（j∈Fj\in F）の線形包に含まれるから、TFT_Fは有限階数作用素であり、§E12.2 命題 1.4によりコンパクトである。§E12.7 補題 1.3 (3)によりTx−TFx=∑j∈J∖F⟨x,aj⟩bjTx-T_Fx=\sum_{j\in J\setminus F}\langle x,a_j\rangle b_jであり、§E12.7 補題 1.4により∥Tx−TFx∥≤∥x∥∑j∈J∖F∥aj∥∥bj∥\|Tx-T_Fx\|\le\|x\|\sum_{j\in J\setminus F}\|a_j\|\|b_j\|である。非負の族(∥aj∥∥bj∥)j∈J(\|a_j\|\|b_j\|)_{j\in J}に§E12.7 定義 1.1と§E12.7 補題 1.3 (3)を適用すると、JJのすべての有限部分集合FFについて∑j∈J∖F∥aj∥∥bj∥=M−∑j∈F∥aj∥∥bj∥\sum_{j\in J\setminus F}\|a_j\|\|b_j\|=M-\sum_{j\in F}\|a_j\|\|b_j\|である。n∈N≥1n\in\NNについて、∑j∈Fn∥aj∥∥bj∥>M−1/n\sum_{j\in F_n}\|a_j\|\|b_j\|>M-1/nを満たすJJの有限部分集合FnF_nをとると、∥T−TFn∥≤M−∑j∈Fn∥aj∥∥bj∥<1/n\|T-T_{F_n}\|\le M-\sum_{j\in F_n}\|a_j\|\|b_j\|<1/nである。H2H_2は Banach 空間であるから、§E12.2 命題 1.6によりTTはコンパクトである。

主張 (2)を示す。α∈A\alpha\in Aとする。連続な線形汎関数y↦⟨y,vα⟩y\mapsto\langle y,v_\alpha\rangleに§E12.7 補題 1.3 (2)を適用すると⟨Tuα,vα⟩=∑j∈J⟨uα,aj⟩⟨bj,vα⟩\langle Tu_\alpha,v_\alpha\rangle=\sum_{j\in J}\langle u_\alpha,a_j\rangle\langle b_j,v_\alpha\rangleである。各項の絶対値は∥aj∥∥bj∥\|a_j\|\|b_j\|以下であるから、§E12.7 補題 1.4により

∣⟨Tuα,vα⟩∣≤∑j∈J∣⟨aj,uα⟩∣ ∣⟨bj,vα⟩∣|\langle Tu_\alpha,v_\alpha\rangle|\le\sum_{j\in J}|\langle a_j,u_\alpha\rangle|\,|\langle b_j,v_\alpha\rangle|

である。この不等式をα\alphaについて加え、§E12.7 補題 1.2を適用すると

∑α∈A∣⟨Tuα,vα⟩∣≤∑j∈J∑α∈A∣⟨aj,uα⟩∣ ∣⟨bj,vα⟩∣\sum_{\alpha\in A}|\langle Tu_\alpha,v_\alpha\rangle|\le\sum_{j\in J}\sum_{\alpha\in A}|\langle a_j,u_\alpha\rangle|\,|\langle b_j,v_\alpha\rangle|

を得る。j∈Jj\in JとAAの有限部分集合GGについて、有限次元の空間RG\R^Gにおける Cauchy–Schwarz の不等式（§E3.33 定理 1.3）と§E12.7 補題 2.2の不等式により

∑α∈G∣⟨aj,uα⟩∣ ∣⟨bj,vα⟩∣≤(∑α∈A∣⟨aj,uα⟩∣2)1/2(∑α∈A∣⟨bj,vα⟩∣2)1/2≤∥aj∥∥bj∥\sum_{\alpha\in G}|\langle a_j,u_\alpha\rangle|\,|\langle b_j,v_\alpha\rangle|\le\Bigl(\sum_{\alpha\in A}|\langle a_j,u_\alpha\rangle|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_{\alpha\in A}|\langle b_j,v_\alpha\rangle|^2\Bigr)^{1/2}\le\|a_j\|\|b_j\|

であり、GGについて上限をとると∑α∈A∣⟨aj,uα⟩∣ ∣⟨bj,vα⟩∣≤∥aj∥∥bj∥\sum_{\alpha\in A}|\langle a_j,u_\alpha\rangle|\,|\langle b_j,v_\alpha\rangle|\le\|a_j\|\|b_j\|である。これをjjについて加えると主張を得る。▨

命題 2.2.H1,H2H_1,H_2をK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とする。このとき、次が成り立つ。

  1. T∈K(H1,H2)T\in\mathcal K(H_1,H_2)とする。このとき、すべての集合AAと、H1H_1の正規直交系(uα)α∈A(u_\alpha)_{\alpha\in A}、H2H_2の正規直交系(vα)α∈A(v_\alpha)_{\alpha\in A}について、[0,∞][0,\infty]において∑α∈A∣⟨Tuα,vα⟩∣≤∥T∥1\sum_{\alpha\in A}|\langle Tu_\alpha,v_\alpha\rangle|\le\|T\|_1が成り立つ。TTの特異値の列を(sk)k≤p(s_k)_{k\le p}とし、(ek)k≤p(e_k)_{k\le p}を(λk+(T∗T))(\lambda_k^+(T^*T))に付随する正規直交系、fk=sk−1Tekf_k=s_k^{-1}Te_kとすると、∑k≤p∣⟨Tek,fk⟩∣=∥T∥1\sum_{k\le p}|\langle Te_k,f_k\rangle|=\|T\|_1である。
  2. T∈B(H1,H2)T\in B(H_1,H_2)とする。このとき、T∈S1(H1,H2)T\in\mathcal S_1(H_1,H_2)であるための必要十分条件は、集合JJと、H1H_1の元の族(aj)j∈J(a_j)_{j\in J}、H2H_2の元の族(bj)j∈J(b_j)_{j\in J}で、∑j∈J∥aj∥∥bj∥<∞\sum_{j\in J}\|a_j\|\|b_j\|<\inftyと、すべてのx∈H1x\in H_1についてTx=∑j∈J⟨x,aj⟩bjTx=\sum_{j\in J}\langle x,a_j\rangle b_jを満たすものが存在することである。このとき、このようなすべての族について∥T∥1≤∑j∈J∥aj∥∥bj∥\|T\|_1\le\sum_{j\in J}\|a_j\|\|b_j\|が成り立つ。主張 (1)の(sk)(s_k)、(ek)(e_k)、(fk)(f_k)について、J={k∈N≥1:k≤p}J=\{k\in\NN:k\le p\}、ak=skeka_k=s_ke_k、bk=fkb_k=f_kとおいた族は、この条件と等式∑k≤p∥ak∥∥bk∥=∥T∥1\sum_{k\le p}\|a_k\|\|b_k\|=\|T\|_1を満たす。

証明.主張 (1)を示す。§E12.6 定理 7.2 (1)によりTek=skfkTe_k=s_kf_kであり(fk)(f_k)は正規直交系であるから、⟨Tek,fk⟩=sk\langle Te_k,f_k\rangle=s_kであり、∑k≤p∣⟨Tek,fk⟩∣=∑k≤psk=∥T∥1\sum_{k\le p}|\langle Te_k,f_k\rangle|=\sum_{k\le p}s_k=\|T\|_1である。不等式は、∥T∥1=∞\|T\|_1=\inftyならば成り立つ。∥T∥1<∞\|T\|_1<\inftyとし、J={k∈N≥1:k≤p}J=\{k\in\NN:k\le p\}、ak=skeka_k=s_ke_k、bk=fkb_k=f_kとおく。∑k≤p∥ak∥∥bk∥=∑k≤psk=∥T∥1<∞\sum_{k\le p}\|a_k\|\|b_k\|=\sum_{k\le p}s_k=\|T\|_1<\inftyである。x∈H1x\in H_1とする。sks_kは実数であるから⟨x,ak⟩bk=sk⟨x,ek⟩fk\langle x,a_k\rangle b_k=s_k\langle x,e_k\rangle f_kであり、補題 2.1によりこの族は総和可能である。p=∞p=\inftyならば、§E12.7 補題 1.3 (4)によりその和は級数∑k=1∞sk⟨x,ek⟩fk\sum_{k=1}^\infty s_k\langle x,e_k\rangle f_kの極限に等しい。§E12.6 定理 7.2 (2)によりこの級数はTxTxに収束するから、ppが有限の場合も含めてTx=∑k≤p⟨x,ak⟩bkTx=\sum_{k\le p}\langle x,a_k\rangle b_kである。したがってTTは族(ak)(a_k)、(bk)(b_k)から補題 2.1によって定まる作用素であり、補題 2.1 (2)により不等式を得る。

主張 (2)を示す。T∈S1(H1,H2)T\in\mathcal S_1(H_1,H_2)ならば、TTはコンパクトであり、前段により、J={k∈N≥1:k≤p}J=\{k\in\NN:k\le p\}、ak=skeka_k=s_ke_k、bk=fkb_k=f_kとおいた族が条件と等式を満たす。逆に、集合JJと族(aj)(a_j)、(bj)(b_j)が条件を満たすとする。補題 2.1 (1)によりTTはコンパクトである。TTについて(ek)(e_k)、(fk)(f_k)を主張 (1)のとおりにとると、主張 (1)の等式と補題 2.1 (2)により

∥T∥1=∑k≤p∣⟨Tek,fk⟩∣≤∑j∈J∥aj∥∥bj∥<∞\|T\|_1=\sum_{k\le p}|\langle Te_k,f_k\rangle|\le\sum_{j\in J}\|a_j\|\|b_j\|<\infty

である。したがってT∈S1(H1,H2)T\in\mathcal S_1(H_1,H_2)であり、不等式が成り立つ。▨

定理 2.3.H1,H2H_1,H_2をK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とする。このとき、次が成り立つ。

  1. すべてのT∈S1(H1,H2)T\in\mathcal S_1(H_1,H_2)について∥T∥≤∥T∥HS≤∥T∥1\|T\|\le\|T\|_{\mathrm{HS}}\le\|T\|_1が成り立つ。特にS1(H1,H2)⊆S2(H1,H2)\mathcal S_1(H_1,H_2)\subseteq\mathcal S_2(H_1,H_2)である。
  2. S1(H1,H2)\mathcal S_1(H_1,H_2)はK(H1,H2)\mathcal K(H_1,H_2)の線形部分空間であり、∥⋅∥1\|\cdot\|_1はS1(H1,H2)\mathcal S_1(H_1,H_2)のノルムである。
  3. T∈S1(H1,H2)T\in\mathcal S_1(H_1,H_2)ならばT∗∈S1(H2,H1)T^*\in\mathcal S_1(H_2,H_1)であり、∥T∗∥1=∥T∥1\|T^*\|_1=\|T\|_1が成り立つ。
  4. H0,H3H_0,H_3をK\mathbb K上の Hilbert 空間とし、T∈S1(H1,H2)T\in\mathcal S_1(H_1,H_2)、A∈B(H2,H3)A\in B(H_2,H_3)、B∈B(H0,H1)B\in B(H_0,H_1)とする。このときATB∈S1(H0,H3)ATB\in\mathcal S_1(H_0,H_3)であり、∥ATB∥1≤∥A∥∥T∥1∥B∥\|ATB\|_1\le\|A\|\|T\|_1\|B\|が成り立つ。特に、S1(H)\mathcal S_1(H)はB(H)B(H)の両側イデアルである。

証明.主張 (1)を示す。TTの特異値の列を(sk)k≤p(s_k)_{k\le p}とする。n≤pn\le pについて∑k≤nsk2≤(∑k≤nsk)2\sum_{k\le n}s_k^2\le\bigl(\sum_{k\le n}s_k\bigr)^2であり、nnについて上限をとると、§E12.10 補題 3.1 (2)により∥T∥HS2=∑k≤psk2≤∥T∥12\|T\|_{\mathrm{HS}}^2=\sum_{k\le p}s_k^2\le\|T\|_1^2である。§E12.10 定理 2.2 (1)により∥T∥≤∥T∥HS\|T\|\le\|T\|_{\mathrm{HS}}である。

主張 (2)を示す。S,T∈S1(H1,H2)S,T\in\mathcal S_1(H_1,H_2)とし、c∈Kc\in\mathbb Kとする。§E12.2 命題 1.8 (1)によりS+TS+TとcTcTはコンパクトである。S+TS+Tについて(ek)(e_k)、(fk)(f_k)を命題 2.2 (1)のとおりにとると、同じ項の等式と不等式をS+TS+T、SS、TTに適用して

∥S+T∥1=∑k∣⟨(S+T)ek,fk⟩∣≤∑k∣⟨Sek,fk⟩∣+∑k∣⟨Tek,fk⟩∣≤∥S∥1+∥T∥1\|S+T\|_1=\sum_k|\langle(S+T)e_k,f_k\rangle|\le\sum_k|\langle Se_k,f_k\rangle|+\sum_k|\langle Te_k,f_k\rangle|\le\|S\|_1+\|T\|_1

を得る。cTcTについて(ek′)(e'_k)、(fk′)(f'_k)を同じくとると、∥cT∥1=∣c∣∑k∣⟨Tek′,fk′⟩∣≤∣c∣∥T∥1\|cT\|_1=|c|\sum_k|\langle Te'_k,f'_k\rangle|\le|c|\|T\|_1である。c≠0c\ne0ならば、この不等式をc−1c^{-1}とcTcTに適用して∥T∥1≤∣c∣−1∥cT∥1\|T\|_1\le|c|^{-1}\|cT\|_1を得るから、∥cT∥1=∣c∣∥T∥1\|cT\|_1=|c|\|T\|_1であり、c=0c=0ならば両辺は00である。p=0p=0である作用素00はS1(H1,H2)\mathcal S_1(H_1,H_2)に属する。したがってS1(H1,H2)\mathcal S_1(H_1,H_2)は線形部分空間であり、∥⋅∥1\|\cdot\|_1は三角不等式と斉次性を満たす。∥T∥1=0\|T\|_1=0ならば、主張 (1)により∥T∥=0\|T\|=0であり、T=0T=0である。

主張 (3)を示す。TTについて(sk)k≤p(s_k)_{k\le p}、(ek)(e_k)、(fk)(f_k)を命題 2.2 (1)のとおりにとり、J={k∈N≥1:k≤p}J=\{k\in\NN:k\le p\}、ak=skfka_k=s_kf_k、bk=ekb_k=e_kとおく。∑k∥ak∥∥bk∥=∑ksk=∥T∥1<∞\sum_k\|a_k\|\|b_k\|=\sum_ks_k=\|T\|_1<\inftyである。y∈H2y\in H_2について、補題 2.1により族(⟨y,ak⟩bk)k=(sk⟨y,fk⟩ek)k(\langle y,a_k\rangle b_k)_k=(s_k\langle y,f_k\rangle e_k)_kは総和可能であり、p=∞p=\inftyならば§E12.7 補題 1.3 (4)によりその和は級数∑k=1∞sk⟨y,fk⟩ek\sum_{k=1}^\infty s_k\langle y,f_k\rangle e_kの極限に等しい。§E12.6 定理 7.2 (2)によりこの級数はT∗yT^*yに収束するから、ppが有限の場合も含めてT∗y=∑k⟨y,ak⟩bkT^*y=\sum_k\langle y,a_k\rangle b_kである。命題 2.2 (2)により、T∗∈S1(H2,H1)T^*\in\mathcal S_1(H_2,H_1)かつ∥T∗∥1≤∥T∥1\|T^*\|_1\le\|T\|_1である。§E12.1 命題 1.3 (4)により(T∗)∗=T(T^*)^*=Tであるから、この不等式をT∗T^*に適用して∥T∥1≤∥T∗∥1\|T\|_1\le\|T^*\|_1を得る。

主張 (4)を示す。TTについて(sk)k≤p(s_k)_{k\le p}、(ek)(e_k)、(fk)(f_k)を命題 2.2 (1)のとおりにとる。命題 2.2 (2)により、すべてのy∈H1y\in H_1についてTy=∑k⟨y,skek⟩fkTy=\sum_k\langle y,s_ke_k\rangle f_kであり、∑ksk=∥T∥1\sum_ks_k=\|T\|_1である。x∈H0x\in H_0についてy=Bxy=Bxとし、§E12.7 補題 1.3 (2)をAAに適用すると

ATBx=∑k⟨Bx,skek⟩Afk=∑k⟨x,skB∗ek⟩AfkATBx=\sum_k\langle Bx,s_ke_k\rangle Af_k=\sum_k\langle x,s_kB^*e_k\rangle Af_k

である。§E12.1 命題 1.2により∥B∗∥=∥B∥\|B^*\|=\|B\|であるから、∑k∥skB∗ek∥∥Afk∥≤∥A∥∥B∥∑ksk=∥A∥∥T∥1∥B∥<∞\sum_k\|s_kB^*e_k\|\|Af_k\|\le\|A\|\|B\|\sum_ks_k=\|A\|\|T\|_1\|B\|<\inftyである。命題 2.2 (2)により、ATB∈S1(H0,H3)ATB\in\mathcal S_1(H_0,H_3)かつ∥ATB∥1≤∥A∥∥T∥1∥B∥\|ATB\|_1\le\|A\|\|T\|_1\|B\|である。▨

例 2.4.ℓ2\ell^2をK\mathbb K値数列の Hilbert 空間とし、(en)n≥1(e_n)_{n\ge1}を標準基底とする。(en)(e_n)は§E10.3 例 3.7により完全正規直交系である。有界な数列(λn)n≥1(\lambda_n)_{n\ge1}に対して、D(xn)=(λnxn)D(x_n)=(\lambda_nx_n)で定まるD∈B(ℓ2)D\in B(\ell^2)を考える（§E12.1 例 2.8）。このとき、次が成り立つ。

  1. D∈S1(ℓ2)D\in\mathcal S_1(\ell^2)であるための必要十分条件は∑n=1∞∣λn∣<∞\sum_{n=1}^\infty|\lambda_n|<\inftyであり、このとき∥D∥1=∑n=1∞∣λn∣\|D\|_1=\sum_{n=1}^\infty|\lambda_n|である。
  2. λn=1/n\lambda_n=1/nとすると、DDは Hilbert–Schmidt 作用素であるがトレース級作用素でない。したがってS1(ℓ2)⊊S2(ℓ2)\mathcal S_1(\ell^2)\subsetneq\mathcal S_2(\ell^2)である。

証明.主張 (1)を示す。⟨Den,en⟩=λn\langle De_n,e_n\rangle=\lambda_nである。D∈S1(ℓ2)D\in\mathcal S_1(\ell^2)ならば、命題 2.2 (1)をun=vn=enu_n=v_n=e_nに適用して∑n∣λn∣≤∥D∥1<∞\sum_n|\lambda_n|\le\|D\|_1<\inftyを得る。逆に∑n∣λn∣<∞\sum_n|\lambda_n|<\inftyとし、an=λn‾ena_n=\overline{\lambda_n}e_n、bn=enb_n=e_nとおく。∑n∥an∥∥bn∥=∑n∣λn∣<∞\sum_n\|a_n\|\|b_n\|=\sum_n|\lambda_n|<\inftyである。x∈ℓ2x\in\ell^2について⟨x,an⟩bn=λnxnen=⟨Dx,en⟩en\langle x,a_n\rangle b_n=\lambda_nx_ne_n=\langle Dx,e_n\rangle e_nであるから、§E12.7 補題 2.2 (3)によりDx=∑n⟨x,an⟩bnDx=\sum_n\langle x,a_n\rangle b_nである。命題 2.2 (2)により、D∈S1(ℓ2)D\in\mathcal S_1(\ell^2)かつ∥D∥1≤∑n∣λn∣\|D\|_1\le\sum_n|\lambda_n|である。

主張 (2)を示す。∑n1/n2<∞\sum_n1/n^2<\inftyであるから、§E12.10 例 6.1 (1)によりD∈S2(ℓ2)D\in\mathcal S_2(\ell^2)である。∑n1/n=∞\sum_n1/n=\inftyであるから、主張 (1)によりD∉S1(ℓ2)D\notin\mathcal S_1(\ell^2)である。定理 2.3 (1)によりS1(ℓ2)⊆S2(ℓ2)\mathcal S_1(\ell^2)\subseteq\mathcal S_2(\ell^2)であるから、この包含は真の包含である。▨

系 2.5.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の無限次元 Hilbert 空間とする。このとき、S1(H)⊊S2(H)\mathcal S_1(H)\subsetneq\mathcal S_2(H)である。

証明.§E12.7 命題 2.3により、HHの完全正規直交系(e)e∈E(e)_{e\in E}をとる。EEが有限ならば、§E12.7 補題 2.2 (3)によりEEはHHを張り、HHが無限次元であることに反する。したがってEEは無限集合であり、EEの相異なる元の列(un)n≥1(u_n)_{n\ge1}をとることができる。M=span⁡{un:n≥1}‾M=\tpcl{\operatorname{span}\{u_n:n\ge1\}}とおく。§E10.1 命題 1.4 (1)によりMMは Hilbert 空間である。

有限個の項を除いて00である数列の全体c00⊆ℓ2c_{00}\subseteq\ell^2上でU0(xn)=∑nxnunU_0(x_n)=\sum_nx_nu_nとおく。(un)(u_n)は正規直交系であるから、U0U_0は内積を保つ線形写像である。各x∈ℓ2x\in\ell^2の有限切断はxxへ収束するので、c00c_{00}はℓ2\ell^2で稠密である。§E10.4 系 2.2によりU0U_0はU∈B(ℓ2,M)U\in B(\ell^2,M)へ延長され、内積の連続性によりUUも内積を保つ。UxkUx_kがMMの元vvへ収束するならば、∥xk−xl∥=∥Uxk−Uxl∥\|x_k-x_l\|=\|Ux_k-Ux_l\|により(xk)(x_k)は Cauchy 列であり、ℓ2\ell^2の完備性により極限x∈ℓ2x\in\ell^2が存在する。UUの連続性によりv=Uxv=Uxであるから、im⁡U\im Uは閉じている。im⁡U\im Uはすべてのunu_nを含むのでMMに等しく、UUはℓ2\ell^2からMMへの等長同型である。

包含写像M↪HM\hookrightarrow HとUUの合成をJ∈B(ℓ2,H)J\in B(\ell^2,H)とする。JJは内積を保つから、すべてのx,y∈ℓ2x,y\in\ell^2について⟨x,J∗Jy⟩=⟨Jx,Jy⟩=⟨x,y⟩\langle x,J^*Jy\rangle=\langle Jx,Jy\rangle=\langle x,y\rangleであり、J∗J=Iℓ2J^*J=I_{\ell^2}である。D(xn)=(xn/n)D(x_n)=(x_n/n)とおき、B=JDJ∗∈B(H)B=JDJ^*\in B(H)とする。例 2.4 (2)によりD∈S2(ℓ2)∖S1(ℓ2)D\in\mathcal S_2(\ell^2)\setminus\mathcal S_1(\ell^2)であるから、§E12.10 定理 2.2 (5)によりB∈S2(H)B\in\mathcal S_2(H)である。B∈S1(H)B\in\mathcal S_1(H)と仮定すると、定理 2.3 (4)によりJ∗BJ∈S1(ℓ2)J^*BJ\in\mathcal S_1(\ell^2)であるが、J∗BJ=(J∗J)D(J∗J)=DJ^*BJ=(J^*J)D(J^*J)=DはD∉S1(ℓ2)D\notin\mathcal S_1(\ell^2)に反する。したがってB∉S1(H)B\notin\mathcal S_1(H)であり、定理 2.3 (1)の包含は真の包含である。▨

3 トレース

定理 3.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とする。このとき、次が成り立つ。

  1. T∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)とし、(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}をHHの完全正規直交系とする。このとき∑α∈A∣⟨Teα,eα⟩∣≤∥T∥1\sum_{\alpha\in A}|\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle|\le\|T\|_1であり、族(⟨Teα,eα⟩)α∈A(\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle)_{\alpha\in A}はK\mathbb Kにおいて総和可能である。
  2. (eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}をHHの完全正規直交系とする。このとき、写像S1(H)→K\mathcal S_1(H)\to\mathbb K、T↦∑α∈A⟨Teα,eα⟩T\mapsto\sum_{\alpha\in A}\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangleは線形であり、すべてのT∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)について∣∑α∈A⟨Teα,eα⟩∣≤∥T∥1\bigl|\sum_{\alpha\in A}\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle\bigr|\le\|T\|_1を満たす。
  3. T∈B(H)T\in B(H)とし、集合JJとHHの元の族(aj)j∈J(a_j)_{j\in J}、(bj)j∈J(b_j)_{j\in J}が∑j∈J∥aj∥∥bj∥<∞\sum_{j\in J}\|a_j\|\|b_j\|<\inftyと、すべてのx∈Hx\in HについてTx=∑j∈J⟨x,aj⟩bjTx=\sum_{j\in J}\langle x,a_j\rangle b_jを満たすとする。このときT∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)であり、族(⟨bj,aj⟩)j∈J(\langle b_j,a_j\rangle)_{j\in J}は総和可能であって、HHのすべての完全正規直交系(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}について ∑α∈A⟨Teα,eα⟩=∑j∈J⟨bj,aj⟩\sum_{\alpha\in A}\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle=\sum_{j\in J}\langle b_j,a_j\rangle が成り立つ。特に、すべてのT∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)について、∑α∈A⟨Teα,eα⟩\sum_{\alpha\in A}\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangleはHHの完全正規直交系(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}のとり方によらない。

証明.主張 (1)を示す。命題 2.2 (1)をuα=vα=eαu_\alpha=v_\alpha=e_\alphaに適用すると、∑α∣⟨Teα,eα⟩∣≤∥T∥1<∞\sum_\alpha|\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle|\le\|T\|_1<\inftyである。K\mathbb Kは Banach 空間であるから、§E12.7 補題 1.4により族は総和可能である。

主張 (2)を示す。τ(T)=∑α⟨Teα,eα⟩\tau(T)=\sum_\alpha\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangleとおく。S,T∈S1(H)S,T\in\mathcal S_1(H)とc∈Kc\in\mathbb Kについて、定理 2.3 (2)によりS+cT∈S1(H)S+cT\in\mathcal S_1(H)であり、⟨(S+cT)eα,eα⟩=⟨Seα,eα⟩+c⟨Teα,eα⟩\langle(S+cT)e_\alpha,e_\alpha\rangle=\langle Se_\alpha,e_\alpha\rangle+c\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangleであるから、§E12.7 補題 1.3 (1)によりτ(S+cT)=τ(S)+cτ(T)\tau(S+cT)=\tau(S)+c\tau(T)である。§E12.7 補題 1.4と主張 (1)により∣τ(T)∣≤∑α∣⟨Teα,eα⟩∣≤∥T∥1|\tau(T)|\le\sum_\alpha|\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle|\le\|T\|_1である。

主張 (3)を示す。命題 2.2 (2)によりT∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)である。HHの完全正規直交系(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}をとり、τ\tauを前段のとおりとする。j∈Jj\in Jについてθjx=⟨x,aj⟩bj\theta_jx=\langle x,a_j\rangle b_jとおくと、命題 2.2 (2)を一元の族に適用してθj∈S1(H)\theta_j\in\mathcal S_1(H)である。§E12.7 補題 2.2 (3)によりbj=∑α⟨bj,eα⟩eαb_j=\sum_\alpha\langle b_j,e_\alpha\rangle e_\alphaであり、連続な線形汎関数y↦⟨y,aj⟩y\mapsto\langle y,a_j\rangleに§E12.7 補題 1.3 (2)を適用すると

τ(θj)=∑α∈A⟨eα,aj⟩⟨bj,eα⟩=∑α∈A⟨bj,eα⟩⟨eα,aj⟩=⟨bj,aj⟩\tau(\theta_j)=\sum_{\alpha\in A}\langle e_\alpha,a_j\rangle\langle b_j,e_\alpha\rangle=\sum_{\alpha\in A}\langle b_j,e_\alpha\rangle\langle e_\alpha,a_j\rangle=\langle b_j,a_j\rangle

である。∣⟨bj,aj⟩∣≤∥aj∥∥bj∥|\langle b_j,a_j\rangle|\le\|a_j\|\|b_j\|であるから、§E12.7 補題 1.4により族(⟨bj,aj⟩)j∈J(\langle b_j,a_j\rangle)_{j\in J}は総和可能である。その和をσ\sigmaとおく。

M=∑j∈J∥aj∥∥bj∥M=\sum_{j\in J}\|a_j\|\|b_j\|とおく。非負の族(∥aj∥∥bj∥)j∈J(\|a_j\|\|b_j\|)_{j\in J}に§E12.7 定義 1.1と§E12.7 補題 1.3 (3)を適用すると、JJのすべての有限部分集合FFについて∑j∈J∖F∥aj∥∥bj∥=M−∑j∈F∥aj∥∥bj∥\sum_{j\in J\setminus F}\|a_j\|\|b_j\|=M-\sum_{j\in F}\|a_j\|\|b_j\|である。ε>0\ep>0とし、∑j∈F∥aj∥∥bj∥>M−ε\sum_{j\in F}\|a_j\|\|b_j\|>M-\epを満たすJJの有限部分集合FFをとると、∑j∈J∖F∥aj∥∥bj∥<ε\sum_{j\in J\setminus F}\|a_j\|\|b_j\|<\epである。TF=∑j∈FθjT_F=\sum_{j\in F}\theta_jとおく。§E12.7 補題 1.3 (3)により、すべてのx∈Hx\in Hについて(T−TF)x=∑j∈J∖F⟨x,aj⟩bj(T-T_F)x=\sum_{j\in J\setminus F}\langle x,a_j\rangle b_jであるから、命題 2.2 (2)により∥T−TF∥1≤∑j∈J∖F∥aj∥∥bj∥<ε\|T-T_F\|_1\le\sum_{j\in J\setminus F}\|a_j\|\|b_j\|<\epである。主張 (2)によりτ(TF)=∑j∈F⟨bj,aj⟩\tau(T_F)=\sum_{j\in F}\langle b_j,a_j\rangleであり、∣τ(T)−τ(TF)∣=∣τ(T−TF)∣≤∥T−TF∥1<ε|\tau(T)-\tau(T_F)|=|\tau(T-T_F)|\le\|T-T_F\|_1<\epである。§E12.7 補題 1.3 (3)と§E12.7 補題 1.4により∣σ−∑j∈F⟨bj,aj⟩∣≤∑j∈J∖F∣⟨bj,aj⟩∣<ε\bigl|\sigma-\sum_{j\in F}\langle b_j,a_j\rangle\bigr|\le\sum_{j\in J\setminus F}|\langle b_j,a_j\rangle|<\epである。したがって∣τ(T)−σ∣<2ε|\tau(T)-\sigma|<2\epであり、ε>0\ep>0は任意であるからτ(T)=σ\tau(T)=\sigmaである。

σ\sigmaは族(aj)(a_j)、(bj)(b_j)だけで定まり、(eα)(e_\alpha)によらない。命題 2.2 (2)により、すべてのT∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)はこのような族をもつから、最後の主張を得る。▨

定義 3.2.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、T∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)とする。HHの完全正規直交系(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}について

Tr⁡T=∑α∈A⟨Teα,eα⟩\operatorname{Tr}T=\sum_{\alpha\in A}\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle

とおき、Tr⁡T\operatorname{Tr}TをTTの トレース (trace) という。HHは§E12.7 命題 2.3により完全正規直交系をもち、定理 3.1 (3)によりこの値は完全正規直交系のとり方によらない。

例 3.3.ℓ2\ell^2をK\mathbb K値数列の Hilbert 空間とし、(em)m≥1(e_m)_{m\ge1}を標準基底とする。x∈ℓ2x\in\ell^2に対してTx∈ℓ2Tx\in\ell^2を、すべてのn≥1n\ge1について

(Tx)2n−1=x2nn,(Tx)2n=x2n−1n(Tx)_{2n-1}=\frac{x_{2n}}{n},\qquad(Tx)_{2n}=\frac{x_{2n-1}}{n}

と定める。n≥1n\ge1についてgn+=2−1/2(e2n−1+e2n)g_n^+=2^{-1/2}(e_{2n-1}+e_{2n})、gn−=2−1/2(e2n−1−e2n)g_n^-=2^{-1/2}(e_{2n-1}-e_{2n})とおき、G={gn+:n≥1}∪{gn−:n≥1}\mathcal G=\{g_n^+:n\ge1\}\cup\{g_n^-:n\ge1\}とする。このとき、次が成り立つ。

  1. TTはℓ2\ell^2上の自己共役な Hilbert–Schmidt 作用素であり、すべてのm≥1m\ge1について⟨Tem,em⟩=0\langle Te_m,e_m\rangle=0である。特に、族(⟨Tem,em⟩)m≥1(\langle Te_m,e_m\rangle)_{m\ge1}は総和可能であり、∑m≥1∣⟨Tem,em⟩∣=0\sum_{m\ge1}|\langle Te_m,e_m\rangle|=0である。
  2. (g)g∈G(g)_{g\in\mathcal G}はℓ2\ell^2の完全正規直交系であり、すべてのn≥1n\ge1についてTgn+=n−1gn+Tg_n^+=n^{-1}g_n^+とTgn−=−n−1gn−Tg_n^-=-n^{-1}g_n^-が成り立つ。TTはトレース級作用素でない。
  3. 族(⟨Tg,g⟩)g∈G(\langle Tg,g\rangle)_{g\in\mathcal G}はK\mathbb Kにおいて総和可能でない。

主張 (1)と主張 (3)により、定理 3.1の仮定T∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)を、ある一つの完全正規直交系について族(⟨Teα,eα⟩)(\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle)の絶対値の和が有限であるという条件へ弱めることはできない。

証明.主張 (1)を示す。x∈ℓ2x\in\ell^2について∑n≥1n−2(∣x2n∣2+∣x2n−1∣2)≤∥x∥2\sum_{n\ge1}n^{-2}(|x_{2n}|^2+|x_{2n-1}|^2)\le\|x\|^2であるから、Tx∈ℓ2Tx\in\ell^2であり、TTは線形で∥T∥≤1\|T\|\le1を満たす。Te2n−1=n−1e2nTe_{2n-1}=n^{-1}e_{2n}とTe2n=n−1e2n−1Te_{2n}=n^{-1}e_{2n-1}であるから、すべてのmmについて⟨Tem,em⟩=0\langle Te_m,e_m\rangle=0である。(em)(e_m)は§E10.3 例 3.7により完全正規直交系であり、∑m∥Tem∥2=∑n2n−2<∞\sum_m\|Te_m\|^2=\sum_n2n^{-2}<\inftyであるから、§E12.10 定義 1.2によりT∈S2(ℓ2)T\in\mathcal S_2(\ell^2)である。x,y∈ℓ2x,y\in\ell^2について

⟨Tx,y⟩=∑n≥1x2ny2n−1‾+x2n−1y2n‾n=⟨x,Ty⟩\langle Tx,y\rangle=\sum_{n\ge1}\frac{x_{2n}\overline{y_{2n-1}}+x_{2n-1}\overline{y_{2n}}}{n}=\langle x,Ty\rangle

であるから、TTは自己共役作用素である。

主張 (2)を示す。n≠n′n\ne n'ならばgn±g_n^\pmとgn′±g_{n'}^\pmは共通の座標をもたないから直交し、⟨gn+,gn−⟩=12(1−1)=0\langle g_n^+,g_n^-\rangle=\frac12(1-1)=0、∥gn±∥2=12(1+1)=1\|g_n^\pm\|^2=\frac12(1+1)=1である。したがって(g)g∈G(g)_{g\in\mathcal G}は正規直交系である。e2n−1=2−1/2(gn++gn−)e_{2n-1}=2^{-1/2}(g_n^++g_n^-)とe2n=2−1/2(gn+−gn−)e_{2n}=2^{-1/2}(g_n^+-g_n^-)により、G\mathcal Gの線形包は(em)(e_m)の線形包を含み、(em)(e_m)は完全であるから、(g)g∈G(g)_{g\in\mathcal G}は完全である。Tgn±=2−1/2n−1(e2n±e2n−1)Tg_n^\pm=2^{-1/2}n^{-1}(e_{2n}\pm e_{2n-1})であるから、Tgn+=n−1gn+Tg_n^+=n^{-1}g_n^+とTgn−=−n−1gn−Tg_n^-=-n^{-1}g_n^-が成り立つ。§E12.10 定理 2.2 (4)によりTTはコンパクトであり、命題 2.2 (1)をug=vg=gu_g=v_g=g（g∈Gg\in\mathcal G）に適用すると

∥T∥1≥∑g∈G∣⟨Tg,g⟩∣=∑n≥12n=∞\|T\|_1\ge\sum_{g\in\mathcal G}|\langle Tg,g\rangle|=\sum_{n\ge1}\frac2n=\infty

である。したがってTTはトレース級作用素でない。

主張 (3)を示す。族(⟨Tg,g⟩)g∈G(\langle Tg,g\rangle)_{g\in\mathcal G}が総和可能であると仮定し、その和をσ\sigmaとする。§E12.7 定義 1.1 (2)により、G\mathcal Gの有限部分集合F0F_0で、F0⊆FF_0\subseteq Fを満たすG\mathcal Gのすべての有限部分集合FFについて∣σ−∑g∈F⟨Tg,g⟩∣<12\bigl|\sigma-\sum_{g\in F}\langle Tg,g\rangle\bigr|<\frac12となるものがある。NNを、gn+g_n^+またはgn−g_n^-がF0F_0に属するすべてのnnについてn≤Nn\le Nを満たす自然数とし、M>NM>Nを∑N<n≤M1/n>1\sum_{N<n\le M}1/n>1を満たす自然数とする。F=F0∪{gn+:N<n≤M}F=F_0\cup\{g_n^+:N<n\le M\}とおくと、

∑g∈F⟨Tg,g⟩−∑g∈F0⟨Tg,g⟩=∑N<n≤M1n>1\sum_{g\in F}\langle Tg,g\rangle-\sum_{g\in F_0}\langle Tg,g\rangle=\sum_{N<n\le M}\frac1n>1

である。一方、FFとF0F_0はともにF0F_0を含むから、左辺の絶対値は12+12=1\frac12+\frac12=1より小さい。二つは両立しないから、族は総和可能でない。▨

4 Hilbert–Schmidt 作用素の積

定理 4.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とする。このとき、次が成り立つ。

  1. H1,G,H2H_1,G,H_2をK\mathbb K上の Hilbert 空間とし、T∈S2(H1,G)T\in\mathcal S_2(H_1,G)、R∈S2(G,H2)R\in\mathcal S_2(G,H_2)とする。このときRT∈S1(H1,H2)RT\in\mathcal S_1(H_1,H_2)であり、∥RT∥1≤∥R∥HS∥T∥HS\|RT\|_1\le\|R\|_{\mathrm{HS}}\|T\|_{\mathrm{HS}}が成り立つ。H2=H1H_2=H_1ならば、TR∈S1(G)TR\in\mathcal S_1(G)であり、Tr⁡(RT)=⟨T,R∗⟩HS=Tr⁡(TR)\operatorname{Tr}(RT)=\langle T,R^*\rangle_{\mathrm{HS}}=\operatorname{Tr}(TR)が成り立つ。
  2. 特に、H,GH,GをK\mathbb K上の Hilbert 空間とし、T∈S2(H,G)T\in\mathcal S_2(H,G)とすると、T∗T∈S1(H)T^*T\in\mathcal S_1(H)とTT∗∈S1(G)TT^*\in\mathcal S_1(G)が成り立ち、Tr⁡(T∗T)=Tr⁡(TT∗)=∥T∥HS2\operatorname{Tr}(T^*T)=\operatorname{Tr}(TT^*)=\|T\|_{\mathrm{HS}}^2である。
  3. H1,H2H_1,H_2をK\mathbb K上の Hilbert 空間とし、T∈S1(H1,H2)T\in\mathcal S_1(H_1,H_2)とする。このとき、R∈S2(H1)R\in\mathcal S_2(H_1)とS∈S2(H1,H2)S\in\mathcal S_2(H_1,H_2)で、T=SRT=SRと∥R∥HS2=∥S∥HS2=∥T∥1\|R\|_{\mathrm{HS}}^2=\|S\|_{\mathrm{HS}}^2=\|T\|_1を満たすものが存在する。さらに、Hilbert 空間GGとR′∈S2(H1,G)R'\in\mathcal S_2(H_1,G)、S′∈S2(G,H2)S'\in\mathcal S_2(G,H_2)がT=S′R′T=S'R'を満たすならば、∥T∥1≤∥S′∥HS∥R′∥HS\|T\|_1\le\|S'\|_{\mathrm{HS}}\|R'\|_{\mathrm{HS}}である。

証明.主張 (1)を示す。§E12.10 定理 2.2 (4)によりTTはコンパクトである。TTの特異値の列を(sk)k≤p(s_k)_{k\le p}とし、(ek)k≤p(e_k)_{k\le p}を(λk+(T∗T))(\lambda_k^+(T^*T))に付随する正規直交系、fk=sk−1Tekf_k=s_k^{-1}Te_kとする。§E12.6 定理 7.2 (1)により(fk)(f_k)はGGの正規直交系である。§E12.10 補題 3.1 (2)により∑ksk2=∥T∥HS2\sum_ks_k^2=\|T\|_{\mathrm{HS}}^2であり、§E12.10 補題 3.1 (1)をRRと(fk)(f_k)に適用すると∑k∥Rfk∥2≤∥R∥HS2\sum_k\|Rf_k\|^2\le\|R\|_{\mathrm{HS}}^2である。{k∈N≥1:k≤p}\{k\in\NN:k\le p\}の有限部分集合FFについて、RF\R^Fにおける Cauchy–Schwarz の不等式（§E3.33 定理 1.3）により∑k∈Fsk∥Rfk∥≤∥T∥HS∥R∥HS\sum_{k\in F}s_k\|Rf_k\|\le\|T\|_{\mathrm{HS}}\|R\|_{\mathrm{HS}}であるから、FFについて上限をとると

∑ksk∥Rfk∥≤∥R∥HS∥T∥HS\sum_ks_k\|Rf_k\|\le\|R\|_{\mathrm{HS}}\|T\|_{\mathrm{HS}}

である。x∈H1x\in H_1とする。§E12.6 定理 7.2 (2)により級数∑ksk⟨x,ek⟩fk\sum_ks_k\langle x,e_k\rangle f_kはTxTxに収束し、RRは連続であるから、級数∑ksk⟨x,ek⟩Rfk\sum_ks_k\langle x,e_k\rangle Rf_kはRTxRTxに収束する。この級数の第kk項のノルムは∥x∥sk∥Rfk∥\|x\|s_k\|Rf_k\|以下であるから、§E12.7 補題 1.4により族(sk⟨x,ek⟩Rfk)k(s_k\langle x,e_k\rangle Rf_k)_kは総和可能であり、p=∞p=\inftyならば§E12.7 補題 1.3 (4)によりその和は級数の極限に等しい。sks_kは実数であるから、ppが有限の場合も含めてRTx=∑k⟨x,skek⟩RfkRTx=\sum_k\langle x,s_ke_k\rangle Rf_kである。∑k∥skek∥∥Rfk∥=∑ksk∥Rfk∥<∞\sum_k\|s_ke_k\|\|Rf_k\|=\sum_ks_k\|Rf_k\|<\inftyであるから、命題 2.2 (2)によりRT∈S1(H1,H2)RT\in\mathcal S_1(H_1,H_2)かつ∥RT∥1≤∥R∥HS∥T∥HS\|RT\|_1\le\|R\|_{\mathrm{HS}}\|T\|_{\mathrm{HS}}である。

H2=H1H_2=H_1とする。§E12.10 定理 2.2 (3)によりR∗∈S2(H1,G)R^*\in\mathcal S_2(H_1,G)である。H1H_1の完全正規直交系(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}について⟨RTeα,eα⟩=⟨Teα,R∗eα⟩\langle RTe_\alpha,e_\alpha\rangle=\langle Te_\alpha,R^*e_\alpha\rangleであるから、定義 3.2と§E12.10 定理 2.2 (2)によりTr⁡(RT)=⟨T,R∗⟩HS\operatorname{Tr}(RT)=\langle T,R^*\rangle_{\mathrm{HS}}である。前段の積についての結論をR∈S2(G,H1)R\in\mathcal S_2(G,H_1)とT∈S2(H1,G)T\in\mathcal S_2(H_1,G)に適用するとTR∈S1(G)TR\in\mathcal S_1(G)であり、いま示したトレースと内積の等式からTr⁡(TR)=⟨R,T∗⟩HS\operatorname{Tr}(TR)=\langle R,T^*\rangle_{\mathrm{HS}}である。§E12.10 定理 2.2 (3)の内積の等式をX=T∗X=T^*、Y=RY=Rに適用し、§E12.1 命題 1.3 (4)を用いると、

Tr⁡(TR)=⟨R,T∗⟩HS=⟨T,R∗⟩HS=Tr⁡(RT)\operatorname{Tr}(TR)=\langle R,T^*\rangle_{\mathrm{HS}}=\langle T,R^*\rangle_{\mathrm{HS}}=\operatorname{Tr}(RT)

を得る。

主張 (2)を示す。§E12.10 定理 2.2 (3)によりT∗∈S2(G,H)T^*\in\mathcal S_2(G,H)である。主張 (1)をH1=H2=HH_1=H_2=HとR=T∗R=T^*に適用すると、T∗T∈S1(H)T^*T\in\mathcal S_1(H)、TT∗∈S1(G)TT^*\in\mathcal S_1(G)であり、§E12.1 命題 1.3 (4)と§E12.10 定理 2.2 (2)によりTr⁡(T∗T)=⟨T,T⟩HS=∥T∥HS2=Tr⁡(TT∗)\operatorname{Tr}(T^*T)=\langle T,T\rangle_{\mathrm{HS}}=\|T\|_{\mathrm{HS}}^2=\operatorname{Tr}(TT^*)である。

主張 (3)を示す。TTの特異値の列を(sk)k≤p(s_k)_{k\le p}とし、(ek)k≤p(e_k)_{k\le p}を(λk+(T∗T))(\lambda_k^+(T^*T))に付随する正規直交系、fk=sk−1Tekf_k=s_k^{-1}Te_kとする。§E12.7 命題 2.3により、{ek:k≤p}⊆E\{e_k:k\le p\}\subseteq Eを満たすH1H_1の完全正規直交系(e)e∈E(e)_{e\in E}をとる。e∈Ee\in Eについて、e=eke=e_kならばye=sk1/2eky_e=s_k^{1/2}e_k、ze=sk1/2fkz_e=s_k^{1/2}f_kとおき、eeが{ek:k≤p}\{e_k:k\le p\}に属さないならばye=0y_e=0、ze=0z_e=0とおく。§E12.6 定理 7.2 (1)により∥fk∥=1\|f_k\|=1であるから、∑e∈E∥ye∥2=∑e∈E∥ze∥2=∑k≤psk=∥T∥1<∞\sum_{e\in E}\|y_e\|^2=\sum_{e\in E}\|z_e\|^2=\sum_{k\le p}s_k=\|T\|_1<\inftyである。§E12.10 補題 2.1を完全正規直交系(e)e∈E(e)_{e\in E}について適用すると、R∈S2(H1)R\in\mathcal S_2(H_1)とS∈S2(H1,H2)S\in\mathcal S_2(H_1,H_2)で、すべてのe∈Ee\in EについてRe=yeRe=y_eとSe=zeSe=z_eを満たし、∥R∥HS2=∥S∥HS2=∥T∥1\|R\|_{\mathrm{HS}}^2=\|S\|_{\mathrm{HS}}^2=\|T\|_1を満たすものが存在する。k≤pk\le pについてSRek=sk1/2Sek=skfk=TekSRe_k=s_k^{1/2}Se_k=s_kf_k=Te_kである。e∈Ee\in Eが{ek:k≤p}\{e_k:k\le p\}に属さないならば、eeはすべてのeke_kと直交するから、§E12.6 定理 7.2 (1)によりTe=0=SReTe=0=SReである。SRSRとTTは連続な線形作用素であり、稠密なEEの線形包の上で一致するから、SR=TSR=Tである。最後の主張は、主張 (1)をT=S′R′T=S'R'に適用して得られる。▨

5 トレースの巡回性

命題 5.1.H,GH,GをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とする。このとき、次が成り立つ。

  1. T∈S1(H,G)T\in\mathcal S_1(H,G)、A∈B(G,H)A\in B(G,H)とする。このとき、AT∈S1(H)AT\in\mathcal S_1(H)とTA∈S1(G)TA\in\mathcal S_1(G)が成り立ち、Tr⁡(AT)=Tr⁡(TA)\operatorname{Tr}(AT)=\operatorname{Tr}(TA)と∣Tr⁡(AT)∣≤∥A∥∥T∥1|\operatorname{Tr}(AT)|\le\|A\|\|T\|_1が成り立つ。
  2. A∈B(G,H)A\in B(G,H)とする。このとき、 ∥A∥=sup⁡{∣Tr⁡(AT)∣:T∈S1(H,G), ∥T∥1≤1}\|A\|=\sup\{|\operatorname{Tr}(AT)|:T\in\mathcal S_1(H,G),\ \|T\|_1\le1\} が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。定理 2.3 (4)によりAT∈S1(H)AT\in\mathcal S_1(H)とTA∈S1(G)TA\in\mathcal S_1(G)であり、定理 3.1 (2)により∣Tr⁡(AT)∣≤∥AT∥1≤∥A∥∥T∥1|\operatorname{Tr}(AT)|\le\|AT\|_1\le\|A\|\|T\|_1である。定理 4.1 (3)により、T=SRT=SRを満たすR∈S2(H)R\in\mathcal S_2(H)とS∈S2(H,G)S\in\mathcal S_2(H,G)が存在する。§E12.10 定理 2.2 (5)により、AS∈S2(H)AS\in\mathcal S_2(H)とRA∈S2(G,H)RA\in\mathcal S_2(G,H)である。定理 4.1 (1)をASASとRR、およびRARAとSSに適用すると、

Tr⁡(AT)=Tr⁡((AS)R)=Tr⁡(R(AS))=Tr⁡((RA)S)=Tr⁡(S(RA))=Tr⁡(TA)\operatorname{Tr}(AT)=\operatorname{Tr}((AS)R)=\operatorname{Tr}(R(AS))=\operatorname{Tr}((RA)S)=\operatorname{Tr}(S(RA))=\operatorname{Tr}(TA)

を得る。

主張 (2)を示す。右辺の上限をγ\gammaとおく。T∈S1(H,G)T\in\mathcal S_1(H,G)が∥T∥1≤1\|T\|_1\le1を満たすならば、主張 (1)により∣Tr⁡(AT)∣≤∥A∥|\operatorname{Tr}(AT)|\le\|A\|であるから、γ≤∥A∥\gamma\le\|A\|である。T=0T=0は条件を満たすからγ≥0\gamma\ge0である。x∈Hx\in Hとy∈Gy\in Gについてθy,xz=⟨z,x⟩y\theta_{y,x}z=\langle z,x\rangle y（z∈Hz\in H）とおく。命題 2.2 (2)を一元の族a=xa=x、b=yb=yに適用すると、θy,x∈S1(H,G)\theta_{y,x}\in\mathcal S_1(H,G)かつ∥θy,x∥1≤∥x∥∥y∥\|\theta_{y,x}\|_1\le\|x\|\|y\|である。Aθy,xz=⟨z,x⟩AyA\theta_{y,x}z=\langle z,x\rangle Ayであるから、定理 3.1 (3)を一元の族a=xa=x、b=Ayb=Ayに適用してTr⁡(Aθy,x)=⟨Ay,x⟩\operatorname{Tr}(A\theta_{y,x})=\langle Ay,x\rangleを得る。y∈Gy\in Gが∥y∥≤1\|y\|\le1とAy≠0Ay\ne0を満たすとし、x=Ay/∥Ay∥x=Ay/\|Ay\|とおく。このとき∥θy,x∥1≤1\|\theta_{y,x}\|_1\le1であり、Tr⁡(Aθy,x)=⟨Ay,Ay⟩/∥Ay∥=∥Ay∥\operatorname{Tr}(A\theta_{y,x})=\langle Ay,Ay\rangle/\|Ay\|=\|Ay\|であるから、∥Ay∥≤γ\|Ay\|\le\gammaである。Ay=0Ay=0ならば∥Ay∥=0≤γ\|Ay\|=0\le\gammaである。したがって∥A∥=sup⁡∥y∥≤1∥Ay∥≤γ\|A\|=\sup_{\|y\|\le1}\|Ay\|\le\gammaである。▨

注意 5.2.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、A∈B(H)A\in B(H)とする。T∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)についてφA(T)=Tr⁡(AT)\varphi_A(T)=\operatorname{Tr}(AT)とおく。定理 3.1 (2)と命題 5.1 (1)により、φA\varphi_Aはノルム空間(S1(H),∥⋅∥1)(\mathcal S_1(H),\|\cdot\|_1)上の連続な線形汎関数であり、命題 5.1 (2)によりその作用素ノルムは∥A∥\|A\|に等しい。さらに、写像A↦φAA\mapsto\varphi_AはB(H)B(H)から(S1(H),∥⋅∥1)(\mathcal S_1(H),\|\cdot\|_1)の連続双対への全射である。すなわち、B(H)B(H)は(S1(H),∥⋅∥1)(\mathcal S_1(H),\|\cdot\|_1)の連続双対と、トレースを介して等長に同型である。本記事ではこの全射性を証明しない。

6 正のトレース級作用素

命題 6.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、T∈B(H)T\in B(H)を正作用素とする。このとき、次が成り立つ。

  1. TTがコンパクトであるとし、ppと(λk+(T))k≤p(\lambda_k^+(T))_{k\le p}をTTについての§E12.6 定義 6.1のppと列とする。このとき、T∗TT^*Tについての§E12.6 定義 6.1のppは同じppであり、すべてのk≤pk\le pについてsk(T)=λk+(T)s_k(T)=\lambda_k^+(T)が成り立つ。さらに、(λk+(T))(\lambda_k^+(T))に付随する正規直交系(uk)k≤p(u_k)_{k\le p}について、すべてのx∈Hx\in HでTx=∑k≤pλk+(T)⟨x,uk⟩ukTx=\sum_{k\le p}\lambda_k^+(T)\langle x,u_k\rangle u_kがノルム収束として成り立つ。
  2. HHのすべての完全正規直交系(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}について、[0,∞][0,\infty]における和∑α∈A⟨Teα,eα⟩\sum_{\alpha\in A}\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangleは、TTがコンパクトならば∥T∥1\|T\|_1に等しく、TTがコンパクトでなければ∞\inftyに等しい。特に、この和は完全正規直交系のとり方によらず、T∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)であるための必要十分条件はこの和が有限であることである。
  3. T∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)ならば、Tr⁡T=∥T∥1=∑k≤pλk+(T)\operatorname{Tr}T=\|T\|_1=\sum_{k\le p}\lambda_k^+(T)が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。§E12.1 命題 2.7 (1)によりTTは自己共役作用素であるから、T∗T=T2T^*T=T^2である。μ>0\mu>0とし、ν=μ1/2\nu=\mu^{1/2}とおく。x∈Hx\in Hについて⟨(νI+T)x,x⟩=ν∥x∥2+⟨Tx,x⟩≥ν∥x∥2\langle(\nu I+T)x,x\rangle=\nu\|x\|^2+\langle Tx,x\rangle\ge\nu\|x\|^2であるから、νI+T\nu I+Tは単射である。μI−T2=(νI+T)(νI−T)\mu I-T^2=(\nu I+T)(\nu I-T)であるから、ker⁡(μI−T2)=ker⁡(νI−T)\ker(\mu I-T^2)=\ker(\nu I-T)である。したがって、μ>0\mu>0がT2T^2の固有値であることとν\nuがTTの固有値であることは同値であり、そのとき二つの固有空間は一致する。t↦t2t\mapsto t^2は(0,∞)(0,\infty)の上で狭義単調増加であるから、§E12.6 定義 6.1によりT2T^2についてのppはTTについてのppに等しく、すべてのk≤pk\le pについてλk+(T2)=λk+(T)2\lambda_k^+(T^2)=\lambda_k^+(T)^2である。§E12.6 定義 7.1によりsk(T)=λk+(T)s_k(T)=\lambda_k^+(T)である。(uk)k≤p(u_k)_{k\le p}を(λk+(T))(\lambda_k^+(T))に付随する正規直交系とする。k≤pk\le pとμ=λk+(T)2\mu=\lambda_k^+(T)^2について{ul:λl+(T2)=μ}={ul:λl+(T)=λk+(T)}\{u_l:\lambda_l^+(T^2)=\mu\}=\{u_l:\lambda_l^+(T)=\lambda_k^+(T)\}はker⁡(λk+(T)I−T)=ker⁡(μI−T2)\ker(\lambda_k^+(T)I-T)=\ker(\mu I-T^2)の正規直交基底であるから、(uk)(u_k)は(λk+(T∗T))(\lambda_k^+(T^*T))に付随する正規直交系である。§E12.6 定理 7.2を(uk)(u_k)に適用するとsk(T)−1Tuk=uks_k(T)^{-1}Tu_k=u_kであり、§E12.6 定理 7.2 (2)により展開を得る。

主張 (2)を示す。(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}を完全正規直交系とする。TTがコンパクトであるとし、λk=λk+(T)\lambda_k=\lambda_k^+(T)とおき、(uk)(u_k)を主張 (1)のとおりとする。α∈A\alpha\in Aについて、主張 (1)の展開と内積の連続性により

⟨Teα,eα⟩=∑k≤pλk⟨eα,uk⟩⟨uk,eα⟩=∑k≤pλk∣⟨uk,eα⟩∣2\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle=\sum_{k\le p}\lambda_k\langle e_\alpha,u_k\rangle\langle u_k,e_\alpha\rangle=\sum_{k\le p}\lambda_k|\langle u_k,e_\alpha\rangle|^2

である。右辺は非負の項の級数であり、その和は有限部分和の上限であるから、§E12.7 定義 1.1 (1)の和に等しい。§E12.7 補題 1.2と§E12.7 補題 2.2 (4)により

∑α∈A⟨Teα,eα⟩=∑k≤pλk∑α∈A∣⟨uk,eα⟩∣2=∑k≤pλk∥uk∥2=∑k≤pλk\sum_{\alpha\in A}\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle=\sum_{k\le p}\lambda_k\sum_{\alpha\in A}|\langle u_k,e_\alpha\rangle|^2=\sum_{k\le p}\lambda_k\|u_k\|^2=\sum_{k\le p}\lambda_k

であり、主張 (1)により右辺は∑k≤psk(T)=∥T∥1\sum_{k\le p}s_k(T)=\|T\|_1に等しい。

TTがコンパクトでないとし、c=∑α∈A⟨Teα,eα⟩<∞c=\sum_{\alpha\in A}\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle<\inftyと仮定する。§E12.1 命題 2.7 (3)により∑α∈A∥Teα∥2≤∥T∥c<∞\sum_{\alpha\in A}\|Te_\alpha\|^2\le\|T\|c<\inftyであるから、§E12.10 定義 1.2によりT∈S2(H)T\in\mathcal S_2(H)であり、§E12.10 定理 2.2 (4)によりTTはコンパクトである。これはTTがコンパクトでないことに反するから、c=∞c=\inftyである。S1(H)\mathcal S_1(H)の元はコンパクトであり、コンパクトなTTについてはT∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)と∥T∥1<∞\|T\|_1<\inftyが同値であるから、最後の主張を得る。

主張 (3)を示す。T∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)とし、(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}を完全正規直交系とする。族(⟨Teα,eα⟩)α∈A(\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle)_{\alpha\in A}は非負の実数の族であり、主張 (2)により[0,∞][0,\infty]における和は∥T∥1<∞\|T\|_1<\inftyである。§E12.7 定義 1.1により、総和可能な族としての和も∥T∥1\|T\|_1に等しい。定義 3.2によりTr⁡T=∥T∥1\operatorname{Tr}T=\|T\|_1であり、主張 (1)により∥T∥1=∑k≤pλk+(T)\|T\|_1=\sum_{k\le p}\lambda_k^+(T)である。▨

注意 6.2.命題 6.1 (2)の最後の主張において、正作用素の仮定を自己共役作用素へ弱め、和を絶対値の和∑α∈A∣⟨Teα,eα⟩∣\sum_{\alpha\in A}|\langle Te_\alpha,e_\alpha\rangle|に置き換えることはできない。例 3.3のTTは自己共役作用素であり、標準基底(em)(e_m)について∑m≥1∣⟨Tem,em⟩∣=0\sum_{m\ge1}|\langle Te_m,e_m\rangle|=0を満たすが、例 3.3 (2)によりトレース級作用素でない。

系 6.3.H1,H2H_1,H_2を複素 Hilbert 空間とし、T∈B(H1,H2)T\in B(H_1,H_2)とする。∣T∣=(T∗T)1/2|T|=(T^*T)^{1/2}を§E12.8 定理 5.4のとおりとする。このとき、∣T∣|T|がコンパクトであることは、TTがコンパクトであるための必要十分条件である。TTがコンパクトであるとき、TTの特異値の列は∣T∣|T|についての§E12.6 定義 6.1の列(λk+(∣T∣))(\lambda_k^+(|T|))に等しい。さらに、H1H_1のすべての完全正規直交系(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}について、T∈S1(H1,H2)T\in\mathcal S_1(H_1,H_2)であるための必要十分条件は∑α∈A⟨∣T∣eα,eα⟩<∞\sum_{\alpha\in A}\langle|T|e_\alpha,e_\alpha\rangle<\inftyであり、このとき∥T∥1=Tr⁡∣T∣\|T\|_1=\operatorname{Tr}|T|が成り立つ。

証明.§E12.8 定理 5.4 (2)と§E12.8 定理 5.4 (3)により、部分等長作用素V∈B(H1,H2)V\in B(H_1,H_2)でT=V∣T∣T=V|T|とV∗T=∣T∣V^*T=|T|を満たすものが存在する。§E12.2 命題 1.5により、TTがコンパクトならば∣T∣=V∗T|T|=V^*Tはコンパクトであり、∣T∣|T|がコンパクトならばT=V∣T∣T=V|T|はコンパクトである。

TTがコンパクトであるとする。§E12.8 定理 5.1により∣T∣|T|は正作用素であり、§E12.1 命題 2.7 (1)により自己共役作用素であるから、∣T∣∗∣T∣=∣T∣2=T∗T|T|^*|T|=|T|^2=T^*Tである。§E12.6 定義 7.1により、∣T∣|T|の特異値の列とTTの特異値の列はともにT∗TT^*Tについての列から定まるから一致する。命題 6.1 (1)により∣T∣|T|の特異値の列は(λk+(∣T∣))(\lambda_k^+(|T|))であるから、TTの特異値の列も(λk+(∣T∣))(\lambda_k^+(|T|))であり、∥T∥1=∥∣T∣∥1\|T\|_1=\||T|\|_1である。

∣T∣|T|がコンパクトでないならば、TTはコンパクトでないからS1(H1,H2)\mathcal S_1(H_1,H_2)に属さず、命題 6.1 (2)により∑α⟨∣T∣eα,eα⟩=∞\sum_\alpha\langle|T|e_\alpha,e_\alpha\rangle=\inftyである。∣T∣|T|がコンパクトならば、命題 6.1 (2)により∑α⟨∣T∣eα,eα⟩=∥∣T∣∥1=∥T∥1\sum_\alpha\langle|T|e_\alpha,e_\alpha\rangle=\||T|\|_1=\|T\|_1である。したがって、和が有限であることはT∈S1(H1,H2)T\in\mathcal S_1(H_1,H_2)と同値である。このとき∣T∣∈S1(H1)|T|\in\mathcal S_1(H_1)であり、命題 6.1 (3)によりTr⁡∣T∣=∥∣T∣∥1=∥T∥1\operatorname{Tr}|T|=\||T|\|_1=\|T\|_1である。▨

7 演習

問題 7.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間でH≠{0}H\ne\{0\}を満たすものとし、A∈B(H)A\in B(H)、T∈S1(H)T\in\mathcal S_1(H)とする。命題 5.1 (1)を用いてAT−TA≠IAT-TA\ne Iを証明せよ。さらに、HHが有限次元ならば、AB−BA=IAB-BA=Iを満たすA,B∈B(H)A,B\in B(H)は存在しないことを証明せよ。

解答.

AT−TA=IAT-TA=Iと仮定する。命題 5.1 (1)によりAT,TA∈S1(H)AT,TA\in\mathcal S_1(H)であり、定理 2.3 (2)によりI=AT−TA∈S1(H)I=AT-TA\in\mathcal S_1(H)である。定理 3.1 (2)と命題 5.1 (1)によりTr⁡I=Tr⁡(AT)−Tr⁡(TA)=0\operatorname{Tr}I=\operatorname{Tr}(AT)-\operatorname{Tr}(TA)=0である。一方、IIは自己共役作用素であり、すべてのx∈Hx\in Hについて⟨Ix,x⟩=∥x∥2≥0\langle Ix,x\rangle=\|x\|^2\ge0であるから、§E12.1 定義 2.5によりIIは正作用素である。命題 6.1 (3)と定理 2.3 (1)によりTr⁡I=∥I∥1≥∥I∥\operatorname{Tr}I=\|I\|_1\ge\|I\|であり、H≠{0}H\ne\{0\}であるから∥I∥=1\|I\|=1である。したがって0=Tr⁡I≥10=\operatorname{Tr}I\ge1であり、矛盾する。よってAT−TA≠IAT-TA\ne Iである。

HHが有限次元であるとし、B∈B(H)B\in B(H)とする。§E12.7 命題 2.3により、HHは完全正規直交系(eγ)γ∈Γ(e_\gamma)_{\gamma\in\Gamma}をもつ。正規直交系は一次独立であるから、Γ\Gammaは有限集合である。§E12.7 補題 2.2 (3)とBBの線形性により、すべてのx∈Hx\in HについてBx=∑γ∈Γ⟨x,eγ⟩BeγBx=\sum_{\gamma\in\Gamma}\langle x,e_\gamma\rangle Be_\gammaである。∑γ∈Γ∥eγ∥∥Beγ∥<∞\sum_{\gamma\in\Gamma}\|e_\gamma\|\|Be_\gamma\|<\inftyであるから、命題 2.2 (2)によりB∈S1(H)B\in\mathcal S_1(H)である。前段をT=BT=Bに適用するとAB−BA≠IAB-BA\ne Iである。▨

問題 7.2.ℓ2\ell^2をK\mathbb K値数列の Hilbert 空間とし、(en)n≥1(e_n)_{n\ge1}を標準基底とする。

  1. DDを例 2.4 (2)の対角作用素とし、m≥1m\ge1についてDm(xn)=(x1,x2/2,…,xm/m,0,0,… )D_m(x_n)=(x_1,x_2/2,\dots,x_m/m,0,0,\dots)とおく。Dm∈S1(ℓ2)D_m\in\mathcal S_1(\ell^2)かつ∥D−Dm∥→0\|D-D_m\|\to0を示し、S1(ℓ2)\mathcal S_1(\ell^2)は作用素ノルムについてB(ℓ2)B(\ell^2)の閉集合でないことを証明せよ。
  2. m≥1m\ge1についてEm(xn)=(x1/m,…,xm/m,0,0,… )E_m(x_n)=(x_1/m,\dots,x_m/m,0,0,\dots)とおく。∥Em∥=1/m\|E_m\|=1/mとTr⁡Em=∥Em∥1=1\operatorname{Tr}E_m=\|E_m\|_1=1を示し、すべてのT∈S1(ℓ2)T\in\mathcal S_1(\ell^2)について∣Tr⁡T∣≤C∥T∥|\operatorname{Tr}T|\le C\|T\|を満たす実数C≥0C\ge0は存在しないことを証明せよ。
解答.

(1)を示す。DmD_mは数列(1,1/2,…,1/m,0,0,… )(1,1/2,\dots,1/m,0,0,\dots)の対角作用素であり、その絶対値の和は有限であるから、例 2.4 (1)によりDm∈S1(ℓ2)D_m\in\mathcal S_1(\ell^2)である。D−DmD-D_mは数列(0,…,0,1/(m+1),1/(m+2),… )(0,\dots,0,1/(m+1),1/(m+2),\dots)の対角作用素であり、§E12.1 例 2.8により∥D−Dm∥=sup⁡n>m1/n=1/(m+1)→0\|D-D_m\|=\sup_{n>m}1/n=1/(m+1)\to0である。例 2.4 (2)によりD∉S1(ℓ2)D\notin\mathcal S_1(\ell^2)であるから、S1(ℓ2)\mathcal S_1(\ell^2)の元の列(Dm)(D_m)は作用素ノルムについてS1(ℓ2)\mathcal S_1(\ell^2)に属さないDDへ収束する。したがって、S1(ℓ2)\mathcal S_1(\ell^2)は作用素ノルムについて閉集合でない。

(2)を示す。EmE_mは、n≤mn\le mのとき1/m1/m、n>mn>mのとき00である数列の対角作用素である。§E12.1 例 2.8により∥Em∥=1/m\|E_m\|=1/mであり、例 2.4 (1)によりEm∈S1(ℓ2)E_m\in\mathcal S_1(\ell^2)かつ∥Em∥1=m⋅(1/m)=1\|E_m\|_1=m\cdot(1/m)=1である。(en)(e_n)は§E10.3 例 3.7により完全正規直交系であるから、定義 3.2によりTr⁡Em=∑n⟨Emen,en⟩=m⋅(1/m)=1\operatorname{Tr}E_m=\sum_n\langle E_me_n,e_n\rangle=m\cdot(1/m)=1である。実数C≥0C\ge0がすべてのT∈S1(ℓ2)T\in\mathcal S_1(\ell^2)について∣Tr⁡T∣≤C∥T∥|\operatorname{Tr}T|\le C\|T\|を満たすと仮定し、m>Cm>Cを満たすmmをとる。T=EmT=E_mとすると1≤C/m1\le C/mであり、一方C/m<1C/m<1である。二つは両立しないから、そのようなCCは存在しない。▨

問題 7.3.H,GH,GをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、T∈S1(H,G)T\in\mathcal S_1(H,G)とする。∥A∥≤1\|A\|\le1を満たすA∈B(G,H)A\in B(G,H)の全体にわたる∣Tr⁡(AT)∣|\operatorname{Tr}(AT)|の上限をγ\gammaとし、そのうち有限階数作用素であるものにわたる上限をγ0\gamma_0とする。γ0=γ=∥T∥1\gamma_0=\gamma=\|T\|_1を証明せよ。

解答.

有限階数作用素はB(G,H)B(G,H)の元であるから、γ0≤γ\gamma_0\le\gammaである。命題 5.1 (1)により、∥A∥≤1\|A\|\le1ならば∣Tr⁡(AT)∣≤∥T∥1|\operatorname{Tr}(AT)|\le\|T\|_1であるから、γ≤∥T∥1\gamma\le\|T\|_1である。A=0A=0は有限階数作用素であるから、γ0≥0\gamma_0\ge0である。TTについて(sk)k≤p(s_k)_{k\le p}、(ek)(e_k)、(fk)(f_k)を命題 2.2 (1)のとおりにとる。p=0p=0ならば∥T∥1=0≤γ0\|T\|_1=0\le\gamma_0である。

n∈N≥1n\in\NNがn≤pn\le pを満たすとし、y∈Gy\in GについてAny=∑k≤n⟨y,fk⟩ekA_ny=\sum_{k\le n}\langle y,f_k\rangle e_kとおく。AnA_nは線形であり、その値域はe1,…,ene_1,\dots,e_nの線形包に含まれる。(ek)(e_k)は正規直交系であるから、§E12.7 補題 2.2をGGの正規直交系(fk)k≤n(f_k)_{k\le n}に適用すると∥Any∥2=∑k≤n∣⟨y,fk⟩∣2≤∥y∥2\|A_ny\|^2=\sum_{k\le n}|\langle y,f_k\rangle|^2\le\|y\|^2である。したがってAn∈B(G,H)A_n\in B(G,H)は∥An∥≤1\|A_n\|\le1を満たす有限階数作用素である。x∈Hx\in Hについて、§E12.1 命題 1.2と§E12.6 定理 7.2 (1)により⟨Tx,fk⟩=⟨x,T∗fk⟩=sk⟨x,ek⟩\langle Tx,f_k\rangle=\langle x,T^*f_k\rangle=s_k\langle x,e_k\rangleであるから、AnTx=∑k≤n⟨x,skek⟩ekA_nTx=\sum_{k\le n}\langle x,s_ke_k\rangle e_kである。定理 3.1 (3)をこの有限個の項による表示に適用するとTr⁡(AnT)=∑k≤n⟨ek,skek⟩=∑k≤nsk\operatorname{Tr}(A_nT)=\sum_{k\le n}\langle e_k,s_ke_k\rangle=\sum_{k\le n}s_kであるから、∑k≤nsk≤γ0\sum_{k\le n}s_k\le\gamma_0である。nnについて上限をとると∥T∥1≤γ0\|T\|_1\le\gamma_0を得る。したがってγ0=γ=∥T∥1\gamma_0=\gamma=\|T\|_1である。▨

参考文献

  1. Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, revised and enlarged ed., Academic Press, New York, 1980.トレース級作用素の定義、トレースの基底によらないこと、有界作用素の空間との双対を参考にした。
  2. Gerard J. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press, 1990.トレース級作用素と Hilbert–Schmidt 作用素の積による扱いを参考にした。

前提記事

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